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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节垂直于弦的直径学案

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初中数学审核员

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                        24.1.2  垂直于弦的直径

                                ——垂径定理及其推论

    一、新课导入

    1.导入课题:圆是轴对称图形吗?这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.

(板书课题)

    2.学习目标:

    (1)能通过折纸探究圆的轴对称性,能证明圆是轴对称图形.

    (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.

    (3)能利用垂径定理解决相应问题.

    3.学习重、难点:

    重点:圆的轴对称性、垂径定理及其推论. 

    难点:利用垂径定理进行计算或证明.

    二、分层学习


    1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第       81 页“探究”——圆的轴对称性.

    (2)自学时间:2     分钟.

    (3)自学方法:完成探究提纲.

    (4)探究参考提纲:

    ①操作:用纸剪一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径所在直线对折,重复几次.

    a. 通过上面的折纸,圆是轴对称图形吗?有几条对称轴?

    是轴对称图形,有无数条对称轴.

    b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗?若不对,应该怎样说?

    不对,应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.

    ②猜想:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

    ③证明:怎样证明圆是轴对称图形呢?

    a. 要证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.

    b. 怎样证明两点关于已知直线对称?

    两点的连线被已知直线垂直平分.
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    c. 如图,设    CD 是⊙O   的任意一条直径,A        为⊙O   上异于点    C,D 的任意一点,过

A 作 AA′⊥CD,垂足为       M.交⊙O   于点  A′,下面只需证明       A′是点  A 关于直线    CD 的对称点. 

    如图,连接     OA,OA′.

    在△OAA′中,∵OA=OA′,

    ∴△OAA′是等腰三角形.

    又 AA′⊥CD,

    ∴AM=MA′.

    即 CD  是 AA′的垂直平分线.

    ∴点  A′、A  关于直径所在的直线对称

    即圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

    2.自学:学生可结合探究提纲,相互研讨学习.

    3.助学:

    (1)师助生:

    ①明了学情:关注证明过程的逻辑性与规范性.

    ②差异指导:指导学生探究证明思路.

    (2)生助生:小组内相互交流、研讨.

    4.强化:

    (1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

    (2)要证某图形是轴对称图形,只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这

个图形上.


    1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第       82 页例  2 之前的部分.

    (2)自学时间:8     分钟.

    (3)自学方法:完成探究提纲. 

    (4)探究参考提纲:

    ①垂径定理:
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    b.归纳:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

    ②垂径定理的推论:


    b. 反例:当弦     AA′为直径时,结论还成立吗?为什么?

    不成立,因为任意两条直径都互相平分,但不一定垂直.

    c. 限定:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 

    2.自学:学生可结合自学指导相互研讨学习.

    3.助学:

    (1)师助生:

    ①明了学情:了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.

    ②差异指导:依据学情进行个别指导或分类指导.

    (2)生助生:小组内相互交流研讨、订正结论.

    4.强化:

    (1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.

    (2)垂径定理的条件:过圆心,垂直于弦;结论:平分弦,平分弦所对的两条弧.


    1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第       83 页“练习”第    1 题. 

    (2)自学时间:4     分钟.

    (3)自学方法:完成探究提纲.

    (4)探究提纲:

    ①线段   OE 满足垂径定理的题设条件:条件              1:AB  是弦;条件     2:OE⊥AB.  

    ②依据垂径定理得,          AE=12AB=BE.

    ③要求⊙O     的半径,只需连接        OA,在   Rt△AOE  中,由勾

股定理,就可求得⊙O          的半径为    5.

    ④给出你的解答过程:
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    2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.

    3.助学:

    (1)师助生:

    ①明了学情:观察学生是否会构造直角三角形,书写过程是否规范.

    ②差异指导:从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.

    (2)生助生:生生互动交流、研讨、订正.

    4.强化:

    (1)常规辅助线:过圆心作弦的垂线段.

    (2)设圆的半径为     r,弦长为    a,圆心到弦的距离为         d,则有                 因此,在这

三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.

    (3)练习:如图,已知⊙O         的半径为    1,弦  AB  的长为    3,求圆心    O 到弦  AB 的距离.

    解:如图,作      OE⊥AB,垂足为       E,则  OE 垂直平分     AB.  


    1.自学指导:

    (1)自学范围:教材第       82 页例  2.

    (2)自学时间:6     分钟.

    (3)自学方法:阅读、思考、总结、提高.

    (4)自学参考提纲:


2.自学:学生依据自学指导自主学习.

    3.助学:
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    (1)师助生:

    ①明了学情:从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的

学习情况.

    ②差异指导:根据学情合理指导.

    (2)生助生:小组内相互交流、研讨.

    3.强化:

    (1)强调常规辅助线和解题规范.

    (2)练习:如图是一条水平铺设的直径为               2m 的通水管道横截面,其水面宽为              1.6m,则

这条管道中的水最深为          0.4m.  

    三、评价

    1.学生的自我评价(围绕三维目标):在这节课的学习中你有哪些收

获?还有何困惑?

    2.教师对学生的评价:

    (1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.

    (2)纸笔评价:课堂评价检测.

    3.教师的自我评价(教学反思):

    (1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入

手,得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽

象、复杂、一般,层层递进,有利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的

启发和引导,培养学生大胆猜想,小心求证的科学研究素质.

    (2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角

形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.


                            (时间:12   分钟满分:100     分)

    一、基础巩固(80      分)

    1.(10 分) 下列说法中正确的是(B) 

    A.  在同一个圆中最长的弦只有一条

    B.  垂直于弦的直径必平分弦

    C.  平分弦的直径必垂直于弦
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    D.  圆是轴对称图形,每条直径都是它的对称轴

    2.(10 分)如图,⊙O    的弦  AB 垂直于半径      OC,垂足为     D,则下列


结论中错误的是(C) 

    A. ∠AOD=∠BOD            B. AD=BD         

    C. OD=DC                

    3.(10 分)半径为   5 的⊙O  内有一点    P,且  OP=4,则过点     P 的最长弦的长是       10,最短弦

的长是   6.

    4.(10 分)如图,在⊙O     中,AB、AC     为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB               于 D,

OE⊥AC   于 E.求证:四边形      ADOE  是正方形. 

    证明:∵AB⊥AC,OD⊥AB,OE⊥AC.  

    ∴四边形    ADOE  是矩形.

    又∵OD   垂直平分     AB,OE  垂直平分    AC,AB=AC,
           1    1
    ∴AE=2AC=2AB=AD,
    ∴四边形    ADOE  是正方形.

    5.(10 分)如图,在半径为      50mm  的⊙O   中,弦   AB 的长为   50mm.求:  

    (1)∠AOB  的度数;

    (2)点 O 到 AB 的距离.

    解:(1)∵OA=OB=AB=50mm,

    ∴△AOB    是等边三角形,∴∠AOB=60°.
                            1
    (2)作 OM⊥AB,则∠AOM=2∠AOB=30°.


    即点  O 到  AB 的距离为    25 3mm.

     6.(10 分)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点                  O 为圆心的圆的一部分,如果

M 是⊙O   中弦   CD 的中点,EM     经过圆心    O 交⊙O   于点  E,并且  CD=4m,EM=6m.求⊙O     的半

径.

    解:连接    OC.  
                                    1
    ∵OM   平分  CD,OM⊥CD   且  CM=MD=2CD=2m. 
    设半径为    r,在  Rt△OCM   中,OC=r,OM=EM-OE=6-r,
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                                                 10                10
    由勾股定理得      OC2=cm2+Om2,即    r2=22+(6-r)2.解得 r= 3 ,即⊙O 的半径为    3 m.


8.(10 分)如图,两个圆都以点        O 为圆心.求证:AC=BD.  

    证明:过    O 作  OE⊥AB,垂足为      E,连接    OA,OC,OD,OB,

    则 AE=BE,CE=DE,

    ∴AE-CE=BE-DE,即     AC=BD.  


    二、综合应用(10      分)

    9.(10 分) ⊙O 的半径为    13cm,AB、CD    是⊙O   的两条弦,AB∥CD,AB=24cm,

CD=10cm,求    AB 和 CD 之间的距离.

    解:分两种情况讨论.

    第一种情况:当       AB、CD   在圆心   O 的同侧时.

    如图(1),过点     O 作 OM⊥CD,垂足为       M,交   AB 于点   E.

    ∵AB∥CD.     ∴OE⊥AB.  


    第二种情况:当       AB、CD   在圆心   O 的异侧时,

    如图(2),同第一种情况可得          OE=5cm,OM=12cm,

    ∴EM=OM+OE=17cm.

    即 AB  和 CD 之间的距离为      7cm 或  17cm.


    三、拓展延伸(10      分)

    10.(10 分) 如图,AB   和  CD 分别是⊙O    上的两条弦,圆心        O 到它们的垂线段分别是

OM  和 ON,如果    AB>CD,OM     和  ON 的大小有什么关系?为什么?
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解:OM<ON.

理由如下:连接       OA、OC.  

则 OA=OC.    ∵ON⊥CD,    OM⊥AB,
       1        1
∴CN=2CD,AM=2AB.  
又∵AB>CD,∴CN<AM,

∴CN2<AM2.

在 Rt△OCN   和 Rt△OAM   中,OM2=OA2-AM2,ON2=OC2-CN2,

∴Om2<ON2.∴OM<ON.
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