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人教版(新)数学八年级上册第十三章第四节最短路径问题习题

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         13.4 课题学习 最短路径问题

    【类型一】 两点的所有连线中,线段最短
          如图所示,在河       a 两岸有   A、B 两个村庄,现在要在河上修建一座大桥,为方便
交通,要使桥到这两村庄的距离之和最短,应在河上哪一点修建才能满足要求?(画出图形,
做出说明)


    解析:利用两点之间线段最短得出答案.
    解:如图所示,连接         AB 交直线   a 于点  P,此时桥到这两村庄的距离之和最短.理由:
两点之间线段最短.


    方法总结:求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两
点,与直线的交点即为所求.
    【类型二】 运用轴对称解决距离最短问题
         在图中直线     l 上找到一点     M,使它到    A,B 两点的距离和最小.


    解析:先确定其中一个点关于直线               l 的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线

l 的交点   M 即为所求的点.
    解:如图所示:(1)作点         B 关于直线    l 的对称点   B′;(2)连接     AB′交直线    l 于点  M;
(3)点  M 即为所求的点.
    方法总结:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求,根据轴对称的性质、利用三角
形的三边关系求解.
    【类型三】 最短路径选址问题
         如图,小河边有两个村庄           A,B,要在河边建一自来水厂向             A 村与 B 村供水.
    (1)若要使厂址到      A,B 两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作图痕迹,写
出必要的文字说明)?
    (2)若要使厂址到      A,B 两村的水管最短,应建在什么地方?
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    解析:(1)欲求到      A、B 两村的距离相等,即作出           AB 的垂直平分线与       EF 的交点即可,

交点即为厂址所在位置;(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出                          A 点关于直线     EF 的对称

点  A′,再连接   A′B 交 EF 于点 N,即可得出答案.
    解:(1)作出    AB 的垂直平分线与       EF 的交点   M,交点   M 即为厂址所在位置;


                                         
    (2)如图所示:作      A 点关于直线     EF 的对称点   A′,再连接      A′B 交 EF 于点  N,点   N 即为
所求.
    【类型四】 运用轴对称解决距离之差最大问题
          如图所示,A,B      两点在直线     l 的两侧,在     l 上找一点    C,使点   C 到点  A、B 的距
离之差最大.


    解析:此题的突破点是作点            A(或 B)关于直线    l 的对称点    A′(或 B′),作直线    A′B(AB′)与

直线   l 交于点  C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.
    解:如图所示,以直线          l 为对称轴,作点       A 关于直线   l 的对称点    A′,A′B   的连线交
l 于点  C,则点   C 即为所求.理由:在直线           l 上任找一点    C′(异于点     C),连接   CA,C′A,
C′A′,C′B.因为点       A,A′关于直线      l 对称,所以     l 为线段   AA′的垂直平分线,则有
CA=CA′,所以     CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点          C′在  l 上,所以    C′A=C′A′.在
△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所以                 C′A′-C′B<CA-CB.


    方法总结:如果两点在一条直线的同侧,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的
差最大,如果两点在一条直线的异侧,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最
小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点
的对称点来解决.
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