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2018年中考数学复习-与圆有关的计算

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                             考点四十一:与圆有关的计算

聚焦考点☆温习理解

一、正多边形与圆

  1.正多边形      的半径:正多边形外接圆的半径。

  2.正多边形的边心距:正多边形内切圆的半径。

                                                    1800
  3.正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角=                             。
                                                      n

  4.正    n 边形的   n 条半径把正    n 边形分成    n 个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分

成两个全等的直角三角形。

二、弧长和扇形面积

1、弧长公式
                                      nr
n°的圆心角所对的弧长          l 的计算公式为      l 
                                      180
2、扇形面积公式
       n        1
 S       R 2   lR
  扇   360       2
其中   n 是扇形的圆心角度数,R         是扇形的半径,l       是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积
     1
 S   l  2r  rl
     2
其中   l 是圆锥的母线长,r       是圆锥的地面半径。

 

名师点睛☆典例分类

考点典例一、正多边形与圆的有关计算

【例   1】(2017  四川宜宾第     15 题)如图,⊙O      的内接正五边形       ABCDE 的对角线    AD 与 BE 相交于点   G,

AE=2,则   EG 的长是     .
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【答案】      5 ﹣1

【解析】


∴EG=   5 ﹣1

考点:正多边形和圆.

【举一反三】

(2017  江苏徐州第     15 题)正六边形的每个内角等于          .

【答案】120°.

【解析】

试题解析:六边形的内角和为:(6-2)×180°=720°,

                        720
∴正六边形的每个内角为:                 =120°.
                          6

考点:多边形的内角与外角.

考点典例二、计算弧长

【例   2】(2017  浙江宁波第     9 题)如图,在      Rt△ABC  中,∠A°  = 90 , BC = 2 2 ,以  BC 的中点   O 为圆心

分别与    AB , AC 相切于   D ,  E 两点,则   DA E 的长为(    )
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   p                      p
A.                      B.                     C.p                 D. 2p
   4                      2
【答案】B.

【解析】

试题解析:如图,连接          OD,OE


∵AC,AB   是圆  O 的切线

∴OE⊥AC,OD⊥AB

∵O  是 BC 的中点

∴点   E,点  D 分别是   AC,AB 的中点

      1         1
∴OE=   AB,OD=     AC
      2         2

∵OE=OD

 ∴AC=AB

∵BC=2   2

由勾股定理得       AB=2 

∴OE=1

           90    1  
 DA E 的弧长=            =  .
              180      2

故选   B.

考点:1.三角形的中位线;2.弧长的计算.

【点睛】本题考查了弧长公式,等边三角形的性质和判定的应用,注意:已知圆的半径是                                      R,弧  AB 对的圆
                              n R
心角的度数是       n°,则弧    AB 的长=      .
                              180
【举一反三】

(2017  山东烟台第     9 题)如图,□      ABCD  中,  B   700 , BC  6 ,以 AD  为直径的⊙     O 交 CD 于点  E ,

则弧   DE 的长为(    )
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    1             2            7            4
A.            B.          C.         D.   
    3             3            6            3
【答案】B.

【解析】

试题解析:连接        OE,如图所示:


∵四边形     ABCD 是平行四边形,

∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,

∴OA=OD=3,

∵OD=OE,

∴∠OED=∠D=70°,

∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°,

           40  3    2
∴  DAE 的长=              .
             180      3

故选:B.

考点:弧长的计算;平行四边形的性质;圆周角定理.

考点典例三、圆锥的有关计算

【例   3】(2017  贵州遵义第     8 题)已知    圆锥的底面积为       9πcm2,母线长为      6cm,则圆锥的侧面积是(  

)

A.18πcm2    B.27πcm2    C.18cm2 D.27cm2

【答案】A.
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考点:圆锥的计算.

【点晴】考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式;用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长.

【举一反三】

(2017  黑龙江齐齐哈尔第        9 题)一个圆锥的侧面积是底面积的              3 倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是

(   )

A.120                 B.180          C.  240          D. 300  

【答案】A

【解析】

试题分析:设底面圆的半径为             r,侧面展开扇形的半径为           R,扇形的圆心角为        n 度.

                   2
由题意得     S 底面面积=πr  ,

l 底面周长=2πr,

                  2
S 扇形=3S 底面面积=3πr   ,

l 扇形弧长=l  底面周长=2πr.

        1                    1

                           2
由  S 扇形= 2 l 扇形弧长×R 得  3πr = 2 ×2πr×R,

故  R=3r.

           n R           n 3r

由  l 扇形弧长= 180   得:2πr=    180    ,解得   n=120°.

故选   A.

考点:1.圆锥的计算;2.几何体的展开图.

考点典例四、求扇形的面积

【例   4】(2017  湖南怀化第     14 题)如图,⊙O      的半径为    2,点   A , B 在⊙O  上,∠A°  OB = 90 ,则阴影部

分的面积为          .
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【答案】π﹣2.


考点:扇形面积的计算.

【点睛】此题考查了扇形的面积计算,属于基础题,解答本题的关键是掌握扇形的面积公式,难度一般.

【举一反三】
(2017  新疆乌鲁木齐第       14 题)用等分圆周的方法,在半径为1的图中画出如图所示图形,则图中阴影部分
面积为          . 


             3 3
【答案】π﹣           .
              2
【解析】

试题解析:如图,设         AAB 的中点我    P,连接   OA,OP,AP,

                 3        3
△OAP  的面积是:        ×12=    ,
                 4       4
                       
扇形   OAP 的面积是:S    扇形=   ,
                        6

                              3
AP 直线和   AP 弧面积:S    弓形=   ﹣     ,
                         6    4

                       3  3
阴影面积:3×2S       弓形=π﹣       .
                         2
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              3  3
故答案为:π﹣            .
                2


考点:扇形面积的计算.

考点典例五、求圆锥侧面积
【例   5】(2017  新疆乌鲁木齐第       8 题)如图,是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体
的侧面积是(   )


A.                B. 2               C. 4              D. 5  
【答案】B.
【解析】
试题解析:由三视图可知,原几何体为圆锥,

       2
∵l=   ( )2  ( 3)2  2,
       2
       1        1        2
∴S  侧=  •2πr•l=   ×2π×     ×2=2π.
       2        2        2
故选   B.

考点:由三视图判断几何体;圆锥的计算.

【点睛】本题考查了圆锥的计算,圆锥的高。圆锥的底面半径和圆锥的母线构成一个直角三角形,扇形的
             1
面积公式为:        lR
             2
【举一反三】

有一圆锥,它的高为         8cm,底面半径为       6cm,则这个圆锥的侧面积是        cm2.(结果保留               π)

【答   案】60π.
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考点:1.圆锥的计算;2.勾股定理.

考点典例六、求阴影部分的面积

【例   6】(2017  浙江衢州第     10 题 )运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB                   是⊙O   的直径,CD,

EF 是⊙O  的弦,且     AB∥CD∥EF,AB=  10,CD=6,EF=8。则图中阴影部分的面积是(  )


    25
A.                         B. 10
    2
C.  24  4                  D. 24  5

【答案】A.

【解析】

试题解析:作直径         CG,连接   OD、OE、OF、DG.


∵CG  是圆的直径,

∴∠CDG=90°,则      DG= CG2  CD2     102  62 =8,

又∵EF=8,

∴DG=EF,
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∴  DAG  EAF ,

∴S  扇形 ODG=S 扇形 OEF,

∵AB∥CD∥EF,

∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,


                                          1     2 25
∴S  阴影=S 扇形 OCD+S 扇形 OEF=S 扇形 OCD+S 扇形 ODG=S 半圆= π×5 = π.
                                          2        2

故选   A.

考点:1.圆周角定理;2.扇形面积的计算.

【点睛】本题考查了扇形面积公式,求出                  S△BED=S△OEC 是解决本题的关键.

【举一反三】

(2017  重庆  A 卷第  9 题)如图,矩形       ABCD 的边 AB=1,BE  平分∠ABC,交     AD 于点 E,若点    E 是 AD 的中点,

以点   B 为圆心,BE    为半径画弧,交       BC 于点 F,则图中阴影部分的面积是(  )


              3                     3   
A.  2      B.         C. 2      D.    
        4      2    4          8       2   8

【答案】B.

【解析】

试题解析:∵矩形         ABCD 的边 AB=1,BE  平分∠ABC,

∴∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC,

∴∠AEB=∠CBE=45°,

∴AB=AE=1,BE=    2 ,

∵点   E 是 AD 的中点,

∴AE=ED=1,

∴图中阴影部分的面积=S          矩形 ABCD﹣S△ABE﹣S 扇形 EBF
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        1         45 (2)2
=1×2﹣    ×1×1﹣
        2             360

  3   
=      . 
  2   4

故选   B.

考点:1.矩形的性质;2.扇形的面积计算.

课时作业☆能力提升

一.选择题

1.(2017   甘肃兰州第     2 题)如图,正方形       ABCD  内接于半径为      2 的⊙O  ,则图中阴影部分的面积为(    )


A.p +1              B.p +2             C.p - 1             D.p - 2

【答案】D.

【解析】

试题解析:连接        AO,DO,


∵ABCD  是正方形,

∴∠AOD=90°,

AD=  OA2  OD2   2  2 ,

                                              1
圆内接正方形的边长为          2  2 ,所以阴影部分的面积=           [4π﹣(2     2 )2]=(π﹣2)cm2.
                                              4

故选   D.

考点:1    正多边形和圆;2.扇形面积的计算.

2. (2017  湖南株洲第     6 题)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(  )
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A.正三角形      B.正方形       C.正五边形     D.正六边形

【答案】A.

【解析】


3. (2017  湖北咸宁第     7 题)如图,⊙     O 的半径为    3 ,四边形    ABCD  内接于⊙    O ,连接   OB,OD   ,若

                     
 BOD    BCD  ,则  BD 的长为()


                  3
A.           B.           C. 2          D. 3
                  2
【答案】C.

试题分析:已知四边形          ABCD 内接于⊙O,根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°,由圆周角定

理可得∠BOD=2∠A,再由∠BOD=∠BCD          可得  2∠A+∠A=180°,所以∠A=60°,即可得∠BOD=120°,所以
         120 3
 BAD 的长=         =2π;故选     C.
           180
考点:弧长的计算;圆内接四边形的性质.

4.  (2017  贵州黔东南州第       8 题)如图,正方形       ABCD 中,E  为 AB 中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC      交 BD 于 O,

则∠DOC   的度数为(  )


A.60°   B.67.5°     C.75°   D.54°
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【答案】A.

【解析】

试题解析:如图,连接          DF、BF.


∵FE⊥AB,AE=EB,

∴FA=FB,

∵AF=2AE,

∴AF=AB=FB,

∴△AFB   是等边三角形,

∵AF=AD=AB,

∴点   A 是△DBF  的外接圆的圆心,

         1
∴∠FDB=   2 ∠FAB=30°,

∵四边形     ABCD 是正方形,

∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,∠ADB=∠DBC=45°,

∴∠FAD=∠FBC,

∴△FAD≌△FBC,

∴∠ADF=∠FCB=15°,

∴∠DOC=∠O   BC+∠OCB=60°.

故选   A.

5.   (2016 内蒙古巴彦淖尔第        9 题)如图,⊙O      的外切正六边形       ABCDEF 的边长为   2,则图中阴影部分的面

积为(  )
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                             3                                        
A.   3         B.         3          C.       2         D.         3 
         2                     2                   3                     3
【答案】A.


考点:正多边形和圆;扇形面积的计算

二.填空题

6.        (2017  山东德州第     17 题)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆                      O 的圆心与矩形

 ABCD  对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(                    E 为上切点),与左右两边相交(             F,G 为其中两

个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m                                 ,根据设计要求,若

 EOF   45  ,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面枳的比值)为          .


        (+2)2
【答案】
            8
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【解析】

试题解析:如图,过         F 作 FG⊥OF,连接    OG,OM,ON


△OFH  是等腰直角三角形,

                 2
∴FH=O  Fsin45°=    ,AB=   2 ,BC=2OF=2
                 2

∴矩形    ABCD 面积= 2  2

∴S  空白=2S  扇形   FOM+2SΔAOG

      90    12     1
= 2             +2     1  1 
         360          2

  
=   +1
  2

              (+2)2
∴窗户的透光率=
                   8

考点:扇形的面积及概率

7.  (2017 甘肃庆阳第     17 题)如图,在△ABC       中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点        A 为圆心、AC    的长为半

径画弧,交      AB 边于点  D,则弧    CD 的长等于              .(结果保留         π)


         
【答案】       .
         3
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考点:弧长的计算;含          30 度角的直角三角形.

8. (2017  广西贵港第     17 题)如图,在扇形       OAB  中,  C 是 OA 的中点,     CD  OA,CD   与  AAB 交于点  D ,

以  O 为圆心,    OC 的长为半径作      CAE 交 OB 于点  E ,若  OA   4,AOB  120 ,则图中阴影部分的面积为          

.(结果保留       )


         4
【答案】         2  3 .
         3

【解析】

试题解析:连接        OD、AD,

∵点   C 为 OA 的中点,

∴∠CDO=30°,∠DOC=60°,

∴△ADO   为等边三角形,

          60   42   8
∴S  扇形 AOD=             ,
             360      3

∴S  阴影=S 扇形 AOB﹣S 扇形 COE﹣(S 扇形 AOD﹣S△COD)

  120  42   120   22    8     1
=                        (       2  2 3)  
     360         360        3     2

  16     4      8
=               2  3
  3      3      3
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  4
=     2  3 .
  3

考点:扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质.

9.     (2017 江苏无锡第      17 题)如图,已知矩形        ABCD 中,AB=3,AD=2,分别以边       AD,BC  为直径在矩形

ABCD 的内部作半圆      O1 和半圆  O2,一平行于     AB 的直线   EF 与这两个半圆分别交于点          E 、点  F,且

                                        A        A
EF=2(EF  与 AB 在圆心   O1 和 O2 的同侧),则由     AE ,EF,  FB ,AB  所围成图形(图中阴影部分)的面积等

于     .


         5 3   
【答案】         ﹣   .
          4    6

【解析】

试题解析:连接        O1O2,O1E,O2F,则四边形     O1O2FE 是等腰梯形,过      E 作 EG⊥O1O2,过  F⊥O1O2,


∴四边形     EGHF 是矩形,

∴GH=EF=2,

      1
∴O1G=   ,
      2

∵O1E=1,

       3
∴GE=     ,
       2

   OG     1
∴   1     ;
   O1E    2

∴∠O1EG=30°,
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∴∠AO1E=30°,

同理∠BO2F=30°,

                                                         30    12  1           3
∴阴影部分的面积=S        矩形   ABO2O1﹣2S 扇形 AO1E﹣S 梯形 EFO2O1=3×1﹣2×         =  (2+3)×       =3﹣
                                                             360      2          2

 5 3   
     ﹣   . 
  4     6

考点:1.扇形面积的计算;2.矩形的性质.

10. (2017  山东烟台第     18 题)如图    1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图                    2 所示的扇形     AOB .已

知  OA  6 ,取 OA  的中点   C ,过点   C 作 CD   OA 交弧  AB 于点   D ,点  F 是弧  AB  上一点,若将扇形

 BOD  沿 OD  翻折,点    B 恰好与点    F 重合.用剪刀沿着线段         BD, DF, FA 依次剪下,则剪下的纸片(形状

同阴影图形)面积之和为       .


【答案】36π﹣108

【解析】

试题解析:如图,∵CD⊥OA,

∴∠DCO=∠AOB=90°,

                 1    1
∵OA=OD=OB=6,OC=    OA=  OD,
                 2    2

∴∠ODC=∠BOD=30°,

作  DE⊥OB 于点   E,
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      1
则  DE=  OD=3,
      2

                       30  62   1
∴S  弓形 BD=S 扇形 BOD﹣S△BOD=       ﹣   ×6×3=3π﹣9,
                         360      2

则剪下的纸片面积之和为           12×(3π﹣9)=36π﹣108

考点:扇形面积的计算

11. (2017  浙江嘉兴第     13 题)如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径为8cm                     的  A O , AABm  90 ,

弓形   ACB  (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为          .


【答案】(32+48π)cm2

【解析】

试题解析:连接        OA、OB,


 

∵  AAB =90°,

∴∠AOB=90°,

        1
∴S△AOB=   ×8×8=32,
        2

                     270    82
扇形   ACB(阴影部分)=                  =48π,
                         360
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则弓形    ACB 胶皮面积为(32+48π)cm2

考点:1.垂径定理的应用;2.扇形面积的计算.

12. (2017  郴州第   14 题)已知圆锥的母线长为          5cm ,高为   4cm ,则该圆锥的侧面积为          

 cm2 (结果保留     ).


【答案】15π.


考点:圆锥的计算.

13. (2017  哈尔滨第    18 题)已知扇形的弧长为         4p ,半径为    8,则此扇形的圆心角为                       .

【答案】90°

【解析】
                                  nA 8
试题分析:设扇形的圆心角为             n°,则           =4π,解得,n=90,故圆心角为           90°.
                                   180
考点:弧长的计算.

14. (2017  黑龙江绥化第      16 题)一个扇形的半径为         3cm ,弧长为    2cm ,则此扇形的面积为          

 cm2 .(用含    的式子表示)
【答案】3π.
【解析】

                        1    1
试题分析:根据题意得:S=           2 rl= 2 ×2π×3=3π,则此扇形的面积为            3πcm2.

考点:1.扇形面积的计算;2.弧长的计算.

15. (2017  黑龙江绥化第      18 题)半径为    2 的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为          

.
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【答案】1:       2 :  3 .
【解析】

试题分析:由题意可得,

                                  1
正三角形的边心距是:2×sin30°=2×             2  =1,

                                    2
正四边形的边心距是:2×sin45°=2×              2 =  2 ,

                                   3
正六边形的边心距是:2×sin60°=2×              2 =  3 ,

∴半径为     2 的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为:1:                          2 :   3 .

考点:正多边形和圆.

三.计算题

16. (2017  郴州第   23 题)如图,     AB 是 A O 的弦,   BC 切  A O 于点  B, AD  BC 垂足为   D,OA  是 A O 的

半径,且     OA  3.

(1)求证:      AB 平分  OAD   ;

(2)若点     E 是优弧   AAEB  上一点,且    AEB    600 ,求扇形   OAB 的面积(计算结果保留           )


【答案】(1)详见解析;(2)3π.

【解析】

试题分析:(1)连接         OB,由切线的性质得出         OB⊥BC,证出     AD∥OB,由平行线的性质和等腰三角形的性质

证出∠DAB=∠OAB,即可得出结论;(2)由圆周角定                  理得出∠AOB=120°,由扇形面积公式即可得出答

案.

试题解析:
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(1)证明:连接        OB,如图所示:

∵BC  切⊙O  于 点  B,

∴OB⊥BC,

∵AD⊥BC,

∴AD∥OB,

∴∠DAB=∠OBA,

∵OA=OB,

∴∠OAB=∠OBA,

∴∠DAB=∠OAB,

∴AB  平分∠OAD;

(2)解:∵点       E 是优弧  AAEB  上一点,且∠AEB=60°,

∴∠AOB=2∠AEB=120°,

                 120 32
∴扇形    OAB 的面积=     360   =3π.


考点:圆的综合题.

17. (2017  湖北孝感第     23 题) 如图,    A O 的直径   AB  10,  弦 AC  6,ACB  的平分线交     A O 于 D,  过

点  D 作 DE  A AB 交 CA 延长线于点     E ,连接   AD, BD.


 
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(1)由    AB , BD  , AAD 围成的曲边三角形的面积是          ;

(2)求证:      DE 是 A O 的切线;

(3)求线段      DE 的长.

              25  25                         35
                
【答案】(1)       2    4  ;(2)证明见解析;(3)            4 .

【解析】

试题分析:(1)连接         OD,由   AB 是直径知∠ACB=90°,结合        CD 平分∠ACB   知

             1

∠ABD=∠ACD=   2 ∠ACB=45°,从而知∠AOD=90°,根据曲边三角形的面积=S                 扇形 AOD+S△BOD 可得答案;

(2)由∠AOD=90°,即       OD⊥AB,根据     DE∥AB 可得  OD⊥DE,即可得证;

(3)勾股定理求得        BC=8,作   AF⊥DE 知四边形    AODF 是正方形,即可得        DF=5,由

                                               EF    AC
                                                  
∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC     知  tan∠EAF=tan∠CBA,即    AF   BC  ,求得   EF 的长即可得.


(2)由(1)知∠AOD=90°,即          OD⊥AB,

∵DE∥AB,∴OD⊥DE,∴DE       是⊙O   的切线;

                              2     2
(3)∵AB=10、AC=6,∴BC=        AB   AC  =8,

过点   A 作 AF⊥DE 于点  F,则四边形      AODF 是正方形,
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∴AF=OD=FD=5,∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC,∴tan∠EAF=tan∠CBA           ,

   EF    AC      EF   6        15              15    35
                   
∴  AF    BC ,即    5   8 ,∴EF=   4 ,∴DE=DF+EF=  4 +5= 4 .

考点:1.切线的判定;2.圆周角定理;3.正方形的判定与性质;4.正切函数的定义.
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