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人教版(新)数学八年级上册第十三章第三节线段的垂直平分线的性质和判定习题

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初中数学审核员

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          第   1 课时 线段的垂直平分线的性质和判定

    探究点一:线段垂直平分线的性质
    【类型一】 应用线段垂直平分线的性质求线段的长
          如图,在△ABC      中,AB=AC=20cm,DE     垂直平分    AB,垂足为    E,交  AC 于 D,若
△DBC  的周长为    35cm,则  BC 的长为(  )


    A.5cm
    B.10cm
    C.15cm
    D.17.5cm

    解析:∵△DBC     的周长=BC+BD+CD=35cm,又∵DE          垂直平分    AB,∴AD=BD,故    BC+

AD+CD=35cm.∵AC=AD+DC=20cm,∴BC=35-20=15cm.故选          C.
    方法总结:利用线段垂直平分线的性质,可以实现线段之间的相互转化,从而求出未
知线段的长.
    【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用


         如图,在四边形       ABCD 中,AD∥BC,E    为 CD 的中点,连接      AE、BE,BE⊥AE,延长
AE 交 BC 的延长线于点      F.
    求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.

    解析:(1)根据     AD∥BC 可知∠ADC=∠ECF,再根据         E 是 CD 的中点可求出

△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答.(2)根据线段垂直平分线的性质判断出

AB=BF 即可.
    证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF.∵E           是 CD 的中点,∴DE=EC.又∵∠AED=
∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD.
    (2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.∵BE⊥AE,∴BE            是线段   AF 的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF,∴AB=BC+AD.
    方法总结:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段垂直平分线上的
点到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等.
    【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用
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         如图,在四边形       ADBC 中,AB  与 CD 互相垂直平分,垂足为点          O.


    (1)找出图中相等的线段;
    (2)OE,OF 分别是点     O 到∠CAD 两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系.

    解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段;

    (2)由条件可证明△AOC≌△AOD,可得            AO 平分∠DAC,根据角平分线的性质可得              OE=

OF.
    解:(1)∵AB、CD    互相垂直平分,∴OC=OD,AO=OB,且             AC=BC=AD=BD;
                                              AC=AD,
                                              OC=OD,
    (2)OE=OF,理由如下:在△AOC         和△AOD  中,∵{AO=AO,)∴△AOC≌△AOD(SSS),
∴∠CAO=∠DAO.又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF.
    方法总结:本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适用
条件和表示方法是解题的关键.
    探究点二:线段垂直平分线的判定


          如图所示,在△ABC       中,AD  平分∠BAC,DE⊥AB     于点  E,DF⊥AC  于点   F,试说明
AD 与 EF 的关系.

    解析:先利用角平分线的性质得出               DE=DF,再证△AED≌△AFD,易证         AD 垂直平分    EF.
    解:AD  垂直平分     EF.∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EAD=∠FAD,DE=DF.在
                    ∠DAE=∠DAF,
                    ∠AED=∠AFD,
△ADE  和△ADF  中,∵{     AD=AD,     )∴△ADE≌△ADF,∴AE=AF,∴A、D         均在线段
EF 的垂直平分线上,即直线          AD 垂直平分线段      EF.
    方法总结:当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时,这条直线就是该线
段的垂直平分线,解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化
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