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2018年中考数学复习-弧长及扇形的面积

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初中数学审核员

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                           考点四十二:弧长及扇形的面积 

聚焦考点☆温习理解

1.弧长及扇形的面积
                                          nπr
(1)半径为    r,n°的圆心角所对的弧长公式:l=180;
                                              nπr2 1
(2)半径为    r,n°的圆心角所对的扇形面积公式:S=                360 =2lr.
2.圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,若设圆锥的母线长为                       l,底面半径为      r,那么这个扇形的半径为           l,扇形的

弧长为    2πr.

(1)圆锥侧面积公式:S        圆锥侧=πrl;

(2)圆锥全面积公式:S        圆锥全=πrl+πr2.

3.求阴影部分面积的几种常见方法

(1)公式法;

(2)割补法;

(3)拼凑法;

(4)等积变形构造方程法;

(5)去重法.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、弧长公式的应用

【例   1】(浙江省金华市第五中学            2018 届九年级上册期末模拟)已知扇形的圆心角为                  45°,半径长为

10,则该扇形的弧长为(  )
    3                   5                                                    9
A.                    B.                            C. 3π                   D. 
     4                    2                                                     4
【答案】B
                                   45 10   5
【解析】试题解析:根据弧            长公式:l=             =   .
                                     180     2
故选   B.

【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式.

【举一反三】
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

(江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学                    2016 届九年级下学期二模)如图,在             6×6 的方格纸中,每
                                                                         
个小方格都是边长为         1 的正方形,其中       A、B、C  为格点.作△ABC      的外接圆⊙O,则弧        BC  的长为(   )


     5            5           3           3
A.          B.         C.         D.     
     2           4           2           4

【答案】A


【解析】


考点典例二、扇形面积的计算

【例   2】(广东省汕头市龙湖区           2017 届九年级   5 月模拟)已知圆心角为          120°的扇形面积为       12 ,那么扇

形的弧长为(     )

A. 4    B. 2    C. 4     D. 2

【答案】C

                                                     120   r 2
【解析】试题分析:根据扇形的面积计算公式可得:                         12π            ,则  r=6,根据弧长的计算公式
                                                         360
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           nπr  120 6
可得:     l              4π .
          180     180
【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式,属于简单题.扇形的面积计算公式

          nπr 2  1
为:    S         lr  (S 为扇形的面积,l      为扇形的弧长,n       为扇形所对的圆心角的度数,r             为扇形所在
          360    2
                                   nπr
的圆的半径),弧长的计算公式为:                l       (l 为扇形的弧长,n      为扇形所对的圆心角的度数,r             为扇形
                                   180
所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算.

【举一反三】

(2016  辽宁营口第     12 题)如图,AB     是⊙O  的直径,弦     CD 垂直平分    OB,垂足为点     E,连接   OD、BC,若

BC=1,则扇形     OBD 的面积为    .


         
【答案】       .
         6


考点:扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质.

考点典例三、扇形面积公式的运用

【例   3】(重庆市南岸区南开(融侨)中学               2017 年中考数学二模)如图,等边△ABC             内接于⊙O,已知

⊙O  的半径为    2,则图中的阴影部分面积为(   )
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    8               4              8                    9 3
A.      2 3      B.      3      C.     3 3      D. 4 
     3                3               3                     4

【答案】A

【解析】解:连接         OB、OC,连接    AO 并延长交   BC 于 H,则   AH⊥BC.


                            3                                 1
∵△ABC   是等边三角形,∴BH=           AB=  3 ,OH=1,∴△OBC   的面积=         ×BC×OH=   3 ,则△OBA   的面积
                            2                                 2

=△OAC  的面积=△OBC    的面积=     3 ,由圆周角定理得,∠BOC=120°,∴图中的阴影部分面积=

 240  22       8
           2 3 =    2 3 .故选   A.
    360          3

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算,掌握等边三角形的性质、扇形面积公式

是解题的关键. 

【举一反三】

(2017-2018 学年上学期苏州市张家港梁丰初中初三数学期末)如图,半径为                           1 的四个圆两两相切,则图中

阴影部分的面积为(   )


A.        B.        C.         D. 

【答案】A

【解析】∵半径为         1 的四个圆两两相切,

∴四边形是边长为         2 的正方形,圆的面积为         π,

阴影部分的面积=2×2−π=4−π,
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故选   A.

考点典例四、圆锥的侧面展开图

【例   4】(江苏省苏州市虎丘区立达中学              2017 年中考二模)圆锥的底面半径为              4cm,高为   3cm,则它的表

面积为(      )

A.  12π  cm2                 B. 20π  cm2                       C. 26π   cm2              D. 

36π cm2

【答案】D


【点睛】本题考查了圆锥的计算,勾股定理,圆的面积公式,圆的周长公式和扇形面积公式求解.注意圆

锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径                   2+底面周长×母线长÷2         的应用.

【举一反三】

(2017  年内蒙古乌兰察布市集宁七中中考数学一模)将一个半径为                          R,圆心角为     90°的扇形围成一个圆

锥的侧面(无重叠),设圆锥底面半径为                  r,则  R 与 r 的关系正确的是(  )

A . R=8r    B. R=6r    C. R=4r    D. R=2r

【答案】C

【解析】试     题解析:根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长,则
                90πR
扇形的弧长是:               2πr,  
                180
   πR
即      2πr, 
    2
∴R=4r.

故选   C.

考点典例五、求阴影部分的面积

【例   5】(陕西西安市西北工业大学附属中学               2017 届九年级五模)             如图,在         中,           ,

         ,以     中点   为圆心,作圆心角为           的扇形      ,点   恰好在    上,下列关于图中阴影部分的说
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法正确的是(    ).


    

A. 面积为          B. 面积为

C. 面积为           D. 面积随扇形位置的变化而变化

【答案】C

【解析】作            于   ,        于  ,连接     ,如图所示:


∵        ,         ,

∴            ,


                ,


               ,

∴         ,

∴四边形         是正方形,

∴           ,

∴                 ,

∵          ,

∴                 ,
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

∴              ,

在        和       中,


              ,

∴        ≌           ,

∴四边形         的面积     正方形        的面积,


又∵               ,              ,


∴                               ,

∴                  .


∴                                         . 

故选   .

【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△DMG≌△DNH,得到

S 四边形 DGCH=S 四边形 DMCN 是解题的关键.

【举一反三】

(2017  年湖南省张家界市永定区中考数学一模)已知:AB                    是⊙O  的直径,直线       CP 切⊙O 于点   C,过点

B 作 BD⊥CP  于 D.

(1)求证:CB2=AB•DB;

(2)若⊙O     的半径为    2,∠B  CP=30°,求图中阴影部分的面积            .


【答案】(1)证明见解析;
                    2
(2)阴影部分的面积=              3
                    3
【解析】试题分析:(1)由            CP 是    ⊙O  的切线,得出∠BCD=∠BAC,AB         是直径,得出∠ACB=90°,所以
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

∠ACB=∠CDB=90°,得出结论△ACB∽△CDB,从而得出结论;
                                                      2
(2)求出△OCB      是正三角形,阴影部分的面积=S            扇形 OCB-S△OCB= π  3 .
                                                      3
试题解析:

(1)提示:先证∠ACB=∠CDB=90°,

再证∠BAC=∠BCD,

得△ACB∽△CDB,
   CB    AB
∴          ,即CB2   ABDB    
   DB    CB


(2)解:如图,连接       OC,

∵直线    CP 是⊙O  的切线,∠BCP=30°,

∴∠COB=2∠BCP=60°,

∴△OCB   是正三角形,

∵⊙O   的半径为    2,

                      60πr2  2
∴S△OCB=  3 ,S 扇形 OCB=         π ,
                       360   3
                                2
 ∴阴影部分的面积=S        扇形 OCB-S△OCB=  π  3 .
                                3
课时作业☆能力提升

1.   (2017  年广东省中考数学学业一模)三角板               ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2         3 ,三角板绕直

角顶点    C 逆时针旋转,当点       A 的对应点    A′落在   AB 边的起始位置上时即停止转动,则              B 点转过的路径长为

(  )
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    3          4
A.    π    B.     3 π    C.  2π    D. 3π
    2          3
【答案】C


2. (江苏省苏州市高新区          2017 届初中毕业暨升学考试模拟)如图,菱形                 ABCD 放置在直线     l 上(AB 与直线

l 重合),AB=4,∠DAB=60°,将菱形           ABCD 沿直线   l 向右无滑动地在直线         l 上滚动,从点     A 离开出发点

到点   A 第一次落在直线      l 上为止,点     A 运动经过的路径总长度为(   )


A.          B.        C.             D. 

【答案】D

【解析】画出图形即可知道,从点               A 离开出发点到      A 第一次落在直线上为止,点           A 运动经过的路径的长度

为图中的弧线长,由此即可解决问题.

解:如图,从点        A 离开出发点到点      A 第一次落在直线       l 上为止,点    A 运动经过的路径的长度为图中的弧线

长.
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由题意可知        =     ,∠DOA2=120°,DO=4       ,


所以点    A 运动经过的路径的长度=                                             ,

故选   D.

3. (浙江省金华市第五中学           2018 届九年级上册期末模拟)如图,点              A、B、C   在⊙O  上,若∠BAC=45°,

OB=2,则图中阴影部分的面积为(  )


                     2                                           2
A. π﹣4          B.      1               C. π﹣2            D.      2
                     3                                           3
【答案】C

【解析】试题解析:∵∠BAC=45°,

∴∠BOC=90°,

∴△OBC   是等腰直角三角形,

∵OB=2,

                           2
∴△OBC   的 BC 边上的高为:          OB=  2 ,
                           2

∴BC=2   2

                     90  22  1
∴S  阴影=S 扇形 OBC﹣S△OBC=           2 2  2    2 .
                       360     2

故选   C.

4.        (山东省临沂市临沭县青云镇中心中学                2017 届九年级第一次模拟)如图,AB            是⊙O   的直径,弦

CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2         3  ,则阴影部分图形的面积为(    )
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                                 2
A. 4     B.  2     C.      D. 
                                  3
【答案】D

【解析】连接       OD.


∵CD⊥AB,
         1
∴CE=DE=   CD=  3  (垂径定理),
         2
又∵∠CDB=30°,

∴∠COB=60°(圆周角定理),

∴OC=2,

故
   S阴影  S扇形OBD  SCOE  SBED
   60  4  1         1
           OE  EC   BE  ED  
    360     2         2

   2    3    3
              
   3    2    2

    3
      .
    2

故选:D.

5.  (2017 年福建省漳州一中分校九年级数学综合)如果圆锥的母线长为                          6cm,底面圆半径为       3cm,则这个

圆锥的侧面积为(  )

A. 9πcm2    B. 18πcm2    C. 27πcm2    D. 36πcm2

【答案】B

【解析】底面圆半径为          3cm,则底面周长=6π,圆锥的侧面积=               ×6π×6=18πcm2.
故选   B.
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6.   (2017 年辽宁省鞍山二十中中考数学模拟)一个圆锥形的零件,如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长

为  4cm 的等边三角形,那么圆锥的表面积是(  )

A. 8πcm2    B. 10πcm2    C. 12πcm2    D. 16πcm2

【答案】C


7.(2017  年天津市东丽区立德中学中考数学模拟)已知如图,圆锥的母线长                            6cm,底面半径是      3cm,在

B 处有一只蚂蚁,在        AC 中点  P 处有一颗米粒,蚂蚁从         B 爬到  P 处的最短距离是(  )


A. 3  3 cm    B. 3 5 cm    C. 9cm    D. 6cm

【答案】B

【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形,设该扇形的圆心角为                           n,
      n r 1
则:        =  ×2×3π,其中      r=3,
      180  2
∴n=180°,如图所示:


由题意可知,AB⊥AC,且点          P 为 AC 的中点,

在  Rt△ABP 中,AB=6,AP=3,

∴BP=   AB2  AP2  =3 5 cm,

故蚂蚁沿线段       Bp 爬行,路程最短,最短的路程是             3  5 cm.

8.   (2017  年吉林省长春市中考数学模拟)如图,在小正方形的边长都为                          1 的方格纸中,△ABO      的顶点都
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在小正方形的顶点上,将△ABO            绕点   O 顺时针方向旋转      90°得到△A1B1O,则点      A 运动的路径长为_____.


【答案】      5  


9.(2017  年湖北省黄冈市白莲中学中考数学三模)如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条                                   AB 和 AC 的

夹角为    120°,AB  长为  30cm,AD  长为  12cm,则贴纸(两面贴)的面积是_____cm2.


【答案】504π

【解析】试题解析:设          AB=R,AD=r,则有

         1   2 1    2
S 贴纸=2(   πR  -  πr  )
         3     3
  2
=   π(R2-r2)
  3
  2
=   π(R+r)(R-r)
  3
  2
=   π(30+12)(30-12)
  3
=504π(cm2).

故答案为     504π.
                                                                                     4
10.    (2017 年辽宁省    营口市大石桥市水源镇中考数学模拟)如图,△ABC                     中,∠C=90°,tanA=      ,以
                                                                                     3
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C 为圆心的圆与      AB 相切于   D.若圆   C 的半径为    1,则阴影部分的面积         S=_____.


         25  6
【答案】
           24
【解析】连接       CD,

∵以   C 为圆心的圆与     AB 相切于   D,⊙C   的半径为    1,∠ACB=90°,

                        90 12  
∴CD⊥AB,CD=1,S    扇形 CEF=          ,
                          360     4
        CD    4
∵tanA=        ,CD=1,
        AD    3
      3
∴AD=    ,
      4
                                   5
∴在   Rt△ADC 中,由勾股定理可得:AC=            ,
                                   4
                       BC    4
又∵在    Rt△ABC 中,tanA=          ,
                        AC   3
      5
∴BC=   ,
      3
        1       25
∴S△ACB=   AC•BC=   ,
        2       24
                     25      25  6
∴S  阴影=S△ABC﹣S 扇形 CEF=             .
                     24   4     24
            25  6
故答案为:              .
              24


11.(2017  年广东省韶关市南雄市中考数学模拟)如图,三个同心圆扇形的圆心角∠AOB                              为  120o,半径

OA 为 6cm,C、D   是圆弧   AB 的三等分点,则阴影部分的面积等于_____cm2.
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【答案】4π
                     40 36
【解析】解:扇形面积=                   =4π(cm2).
                        360
12.(2017  年广东省东莞市中堂六校中考数学三模)如图,在△ABC                      中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,

AB=12cm,将△ABC    以点  B 为中心顺时针旋转,使点          C 旋转到   AB 边延长线上的点       D 处,则  AC 边扫过的图形

(阴影部分)的面积是_____cm2.(结果保留                π).


【答案】36π

【解析】∵∠C       是直角,∠ABC=60°,

∴∠BAC=90°﹣60°=30°,


∴BC=  AB= ×12=6cm,

∵△ABC   以点  B 为中心顺时针旋转得到△BDE,

∴S△BDE=S△ABC,∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°,

∴阴影部分的面积=S        扇形 ABE+S△BDE﹣S 扇形 BCD﹣S△ABC


                                                   2
=S 扇形 ABE﹣S 扇形 BCD=      -        =48π﹣12π=36πcm

点睛:能根据题意确定出出阴影部分的面积=S                   扇形 ABE﹣S 扇形 BCD,是解题的关键.

13.(2017  年安徽省六安八中中考数学模拟)如图,在直角坐标系中,点                          P 的坐标为(3,     4),将   OP 绕原

点  O 逆时针旋转     90°得到线段     OP′.

(1)在图中画出线段         OP′;

                   A
(2)求    P′的坐标和     PP '的长度.
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                            5
【答案】(1)详见解析;(2)                .
                             2
【解析】试题分析:

(1)按要求在图中画出线段            OP′即可;

(2)①根据(1)中所画线段            OP′对照图形写出点        P′的坐标即可;②先由点           P 的坐标计算出      OP 的长,
                        n r
然后根据弧长公式:          l 弧长=    计算即可.
                        180
试题解    析:

(1)所画线段       OP′如下图:


(2)①由图可知:点         P′的坐标为(﹣4,3);

②∵点    P 的坐标为(3,4),

∴OP=   32  42  5,

又∵旋转角∠POP′=90°,
           90 5   5
∴  l 弧长 PP′=          .
            180     2

14.(浙江省湖州市九校         2017 届九年级四月联合模拟)如图,AB             是⊙O   的直径,点     C 在 AB 的延长线上,

CD 与⊙O  相切于点     D,CE⊥AD,交    AD 的延长线于点     E.

(1)求证:∠BDC=∠A;

(2)若    CE=2 3 ,DE=2,求   AD 的长,

(3)在(2)的条件下,求弧            BD 的长。
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                                         2
【答案】(1)证明见解析;(2)              4  3  (3)   
                                         3


试题解析:      1 证明:连接     OD  ,


∵  CD 是 A O 切线,

∴  ODC    90 ,

即  ODB   BDC    90.  

∵  AB 为 A O 的直径,

ADB     90 ,  

即  ODB   ADO    90, 
BDC     ADO, 
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OA    OD, 

ADO     A, 

BDC     A. 

 2CE   AE, E     ADB   90, 

DB   A EC, DCE     BDC, 

BDC     A, 

A    DCE, 

E    E, 

A AEC∽A,CED     
   CE    AE
          .  
   DE   CE
EC   2  DE  AE, 

        2
2   3  22  AD, 
  AD  4.  

                              CE    2 3     3
 3 在直角A   ACE   中,  tanA               .  
                              AE     6     3

A    30, 

DOB     2A   60 ,  

                       3   4 3
 BD  AD   tanA  4        . 
                      3     3

                                  4  3
AOBD   是等边三角形,则       OD   BD      . 
                                   3

                  4 3
            60π
                    4  3π
则  BD 的长是          3         .
               180        4

15.(辽宁营口大石桥市水源镇九年一贯制学校                   2017 届中考数学模拟)           如图,在△ABC     中,AB=AC,以

AB 为直径的⊙O     分别交线段     BC,AC  于点  D,E,过点    D 作 DF⊥AC,垂足为     F,线段   FD,AB  的延长线相交于

点  G.

(1)求证:DF      是⊙O  的切线;
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(2)若    CF=2,DF=2  3 ,求图中阴影部分的面积.


                                    8
【答案】(1)证明见解析;(2)8               3    . 
                                    3
【解析】(1)连接        AD、OD,由    AB 为直径可得出点      D 为 BC 的中点,由此得出        OD 为△BAC 的中位线,再根

据中位线的性质即可得出           OD⊥DF,从而证出      DF 是⊙O  的切线;

(2)CF=1,DF=     3 ,通过解直角三角形得出          CD=2、∠C=60°,    从而得出△ABC     为等边三角形,再利用分

割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.

(1)证明:连接        AD、OD,如图所示.

∵AB  为直径,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,∵AC=AB,

∴点   D 为线段   BC 的中点.

∵点   O 为 AB 的中点,

∴OD  为△BAC  的中位线,

∴OD∥AC,

∵DF⊥AC,

∴OD⊥DF,

∴DF  是⊙O  的切线.
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