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2017 年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．7 的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C． D．
2．大美山水“硒都•恩施”是一张亮丽的名片，八方游客慕名而来，今年“五•一”
期间，恩施州共接待游客 1450000 人，将 1450000 用科学记数法表示为（
）
A．0.145×106 B．14.5×105 C．1.45×105 D．1.45×106
3．下列计算正确的是（ ）
A．a（a﹣1）=a2﹣a B．（a4）3=a7 C．a4+a3=a7 D．2a 5÷a3=a2
4．下列图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明和他的爸爸妈妈共 3 人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（
）
A． B． C． D．
6．如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4
7．函数 y= + 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥1 且 x≠3C．x≠3D．1≤x≤3
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8．关于 x 的不等式组 无解，那么 m 的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0
9．中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方
形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”．将其围成一个正方
体后，则与“牛”相对的是（ ）
A．羊 B．马 C．鸡 D．狗
10．某服装进货价 80 元/件，标价为 200 元/件，商店将此服装打 x 折销售后仍
获利 50%，则 x 为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则
DE 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，在平面直角坐标系中 2 条直线为 l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线
l1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 l2 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线
2
交 l2 于点 C，点 A、E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax +bx+c 过 E、B、C 三点，下列
判断中：
①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线 x=1 对称；④抛物线过点（b，c）；
⑤S 四边形 ABCD=5，
其中正确的个数有（ ）
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A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每题 3 分，满分 12 分，将答案填在答题纸上）
13．16 的平方根是 ．
14．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2= ．
15．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，以直角边 AB 为直径作半圆交 AC 于点
D，以 AD 为边作等边△ADE，延长 ED 交 BC 于点 F，BC=2 ，则图中阴影部分
的面积为 ．（结果不取近似值）
16．如图，在 6×6 的网格内填入 1 至 6 的数字后，使每行、每列、每个小粗线
宫中的数字不重复，则 a×c= ．
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三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17．先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中 x= ．
18．如图，△ABC、△CDE 均为等边三角形，连接 BD、AE 交于点 O，BC 与
AE 交于点 P．求证：∠AOB=60°．
19．某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同
学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取 10%进行调查，根据调
查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数（人
数）
羽毛球 30
篮球 a
乒乓球 36
排球 b
足球 12
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的 a= ，b= ；
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（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 度；
（3）全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
20．如图，小明家在学校 O 的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家
在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到
学校的距离．（结果精确到 1 米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73，
≈2.45）
21．如图，∠AOB=90°，反比例函数 y=﹣ （x＜0）的图象过点 A（﹣1，a），反
比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图象过点 B，且 AB∥x 轴．
（1）求 a 和 k 的值；
（2）过点 B 作 MN∥OA，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，交双曲线 y= 于另一
点，求△OBC 的面积．
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22．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共
享单车．经市场调查得知，购买 3 辆男式单车与 4 辆女式单车费用相同，购买
5 辆男式单车与 4 辆女式单车共需 16000 元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单比女式单车多 4 辆，两种单车至少需要 22 辆，购置两
种单车的费用不超过 50000 元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需
总费用最低，最低费用是多少？
23．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，且 BE∥CD，过点 C 的切线
与 EB 的延长线交于点 P，连接 BC．
（1）求证：BC 平分∠ABP；
（2）求证：PC2=PB•PE；
（3）若 BE﹣BP=PC=4，求⊙O 的半径．
24．如图，已知抛物线 y=ax2+c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点 F（0，2）的
直线 l：y=kx+2 与抛物线交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，过点 B 作 x 轴的
垂线，垂足为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 B 在抛物线上运动时，判断线段 BF 与 BC 的数量关系（＞、＜、=），
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并证明你的判断；
（3）P 为 y 轴上一点，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点 P（0，
m），求自然数 m 的值；
（4）若 k=1，在直线 l 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得△QBF 的面积最大？
若存在，求出点 Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．
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2017 年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．7 的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C． D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值的定义即可解题．
【解答】解：∵正数的绝对值是其本身，
∴|7|=7，
故选 B．
2．大美山水“硒都•恩施”是一张亮丽的名片，八方游客慕名而来，今年“五•一”
期间，恩施州共接待游客 1450000 人，将 1450000 用科学记数法表示为（
）
A．0.145×106 B．14.5×105 C．1.45× 105 D．1.45×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值
与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜
1 时，n 是负数．
【解答】解：将 1450000 用科学记数法表示为 1.45×106．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a（a﹣1）=a2﹣a B．（a4）3=a7 C．a4+a3=a7 D．2a5÷a3=a2
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【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a2﹣a，符合题意；
B、原式=a12，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=2a2，不符合题意，
故选 A
4．下列图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
5．小明和他的爸爸妈妈共 3 人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的 概率是（
）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【解答】解：设小明为 A，爸爸为 B，妈妈为 C，
则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），
（CBA），
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∴他的爸爸妈妈相邻的概率是： ，
故选 D．
6．如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】先根据题意得出 AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠4．
故选 D．
7．函数 y= + 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥1 且 x≠3C．x≠3D．1≤x≤3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0 且 x﹣3≠0，
解得 x≥1 且 x≠3，
故选：B．
8．关于 x 的不等式组 无解，那么 m 的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0
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【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大
取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案．
【解答】解：解不等式 x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式 3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵不等式组无解，[来源:学科网 ZXXK]
∴m≤﹣1，
故选：A
9．中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方
形内分别标有六畜：“猪”、“牛”、“羊”、“马”、“鸡”、“狗”．将其围成一个正方
体后，则与“牛”相对的是（ ）
A．羊 B．马 C．鸡 D．狗
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一
特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“猪”相对的字是“羊”；
“马”相对的字是“狗”；
“牛”相对的字是“鸡”．
故选：C．
10．某服装进货价 80 元/件，标价为 200 元/件，商店将此服装打 x 折销售后仍
获利 50%，则 x 为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】8A：一元一次方程的应用．
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【分析】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得
出结论．
【解答】解：根据题意得：200× ﹣80=80×50%，
解得：x=6．
故选 B．
11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则
DE 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】由 DE∥BC 可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC 可得出∠B=∠EFC，
进而可得出 BD∥EF，结合 DE∥BC 可证出四边形 BDEF 为平行四边形，根据平
行四边形的性质可得出 DE=BF，由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，根据相似三
角形的性质可得出 BC= DE，再根据 CF=BC﹣BF= DE=6，即可求出 DE 的长度．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形 BDEF 为平行四边形，
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∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ，
∴BC= DE，
∴CF=BC﹣BF= DE=6，
∴DE=10．
故选 C．
12．如图，在平面直角坐标系中 2 条直线为 l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线
l1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 l2 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线
2
交 l2 于点 C，点 A、E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax +bx+c 过 E、B、C 三点，下列
判断中：
①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线 x=1 对称；④抛物线过点（b，c）；
⑤S 四边形 ABCD=5，
其中正确的个数有（ ）
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A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H5：
二次函数图象上点的坐标特征；P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据直线 l1 的解析式求出 A（1，0），B（0，3），根据关于 y 轴对称
的两点坐标特征求出 E（﹣1，0）．根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相
同得出 C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3，再根据二次函数图象上点的坐标
特征求出 C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3，进而
判断各选项即可．
【解答】解：∵直线 l1：y=﹣3x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
∴A（1，0），B（0，3），
∵点 A、E 关于 y 轴对称，
∴E（﹣1，0）．
∵直线 l2：y=﹣3x+9 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C，
∴D（3，0），C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3，
把 y=3 代入 y=﹣3x+9，得 3=﹣3x+9，解得 x=2，
∴C（2，3）．
∵抛物线 y=ax2+bx+c 过 E、B、C 三点，
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∴ ，解得 ，
∴y=﹣x2+2x+3．
①∵抛物线 y=ax2+bx+c 过 E（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故①正确；
②∵a=﹣1，b=2，c=3，
∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误；
③∵抛物线过 B（0，3），C（2，3）两点，
∴对称轴是直线 x=1，
∴抛物线关于直线 x=1 对称，故③正确；
④∵b=2，c=3，抛物线过 C（2，3）点，
∴抛物线过点（b，c），故④正确；
⑤∵直线 l1∥l2，即 AB∥CD，又 BC∥AD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴S 四边形 ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．[来源:学科网]
综上可知，正确的结论有 3 个．
故选 C．
二、填空题（每题 3 分，满分 12 分，将答案填在答题纸上）
13．16 的平方根是 ±4 ．
【考点】21：平方根．
【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得
x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16 的平方根是±4．
故答案为：±4．
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14．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2= 3a（x﹣y）2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式 3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，
=3a（x2﹣2xy+y2），
=3a（x﹣y）2，
故答案为：3a（x﹣y）2．
15．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，以直角边 AB 为直径作半圆交 AC 于点
D，以 AD 为边作等边△ADE，延长 ED 交 BC 于点 F，BC=2 ，则图中阴影部分
的面积为 3 ﹣ π ．（结果不取近似值）
【考点】MO：扇形面积的计算；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．
【分析】根据题意结合等边三角形的性质分别得出 AB，AC，AD，DC 的长，进
而利用 S 阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S 扇形 DOB﹣S△DCF 求出答案．
【解答】解：如图所示：设半圆的圆心为 O，连接DO，过 D 作 DG⊥AB 于点
G，过 D 作 DN⊥CB 于点 N，
∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以 AD 为边作等边△ADE，
∴∠EAD=60°，
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∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
则△ADE∽△CDF，
∴△CDF 是等边三角形，
∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=2 ，
∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，
则 AO=BO=3，
故 DG=DO•sin60°= ，
则 AD=3 ，DC=AC﹣AD= ，
故 DN=DC•sin60°= × = ，
则 S 阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S 扇形 DOB﹣S△DCF
= ×2 ×6﹣ ×3× ﹣ ﹣ × ×
=3 ﹣ π．
故答案为：3 ﹣ π．
16．如图，在 6×6 的网格内填入 1 至 6 的数字后，使每行、每列、每个小粗线
宫中的数字不重复，则 a×c= 2 ．
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【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】粗线把这个数独分成了 6 块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、
乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里
面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．
【解答】解：对各个小宫格编号如下：
先看己：已经有了数字 3、5、6，缺少 1、2、4；观察发现：4 不能在第四列，
2 不能在第五列，而 2 不能在第六列；所以 2 只能在第六行第四列，即 a=2；则
b 和 c 有一个是 1，有一个是 4，不确定，如下：
观察上图发现：第四列已经有数字 2、3、4、6，缺少 1 和 5，由于 5 不能在第
二行，所以 5 在第四行，那么 1 在第二行；如下：
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再看乙部分：已经有了数字 1、2、3，缺少数字 4、5、6，观察上图发现：5 不
能在第六列，所以 5 在第五列的第一行；4 和 6 在第六列的第一行和第二行，
不确定，
分两种情况：
①当 4 在第一行时，6 在第二行；那么第二行第二列就是 4，如下：
再看甲部分：已经有了数字 1、3、4、5，缺少数字 2、6，观察上图发现：
2 不能在第三列，所以 2 在第二列，则 6 在第三列的第一行，如下：
观察上图可知：第三列少 1 和 4，4 不能在第三行，所以 4 在第五行，则 1 在第
三行，如下：
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观察上图可知：第五行缺少 1 和 2，1 不能在第 1 列，所以 1 在第五列，则 2 在
第一列，即 c=1，所以 b=4，如下：
观察上图可知：第六列缺少 1 和 2，1 不能在第三行，则在第四行，所以 2 在第
三行，如下：
再看戊部分：已经有了数字 2、3、4、5，缺少数字 1、6，观察上图发现：1 不
能在第一列，所以 1 在第二列，则 6 在第一列，如下：
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观察上图可知：第一列缺少 3 和 4，4 不能在第三行，所以 4 在第四行，则 3 在
第三行，如下：
观察上图可知：第二列缺少 5 和 6，5 不能在第四行，所以 5 在第三行，则 6 在
第四行，如下：
观察上图可知：第三行第五列少 6，第四行第五列少 3，如下：
所以，a=2，c=1，ac=2；
②当 6 在第一行，4 在第二行时，那么第二行第二列就是 6，如下：
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再看甲部分：已经有了数字 1、3、5、6，缺少数字 2、4，观察上图发现：2 不
能在第三列，所以 2 在第 2 列，4 在第三列，如下：
观察上图可知：第三列缺少数字 1 和 6，6 不能在第五行，所以 6 在第三行，则
1 在第五行，所以 c=4，b=1，如下：
观察上图可知：第五列缺少数字 3 和 6，6 不能在第三行，所以 6 在第四行，则
3 在第三行，如下：
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观察上图可知：第六列缺少数字 1 和 2，2 不能在第四行，所以 2 在第三行，则
1 在第四行，如下：
观察上图可知：第三行缺少数字 1 和 5，1 和 5 都不能在第一列，所以此种情况
不成立；
综上所述：a=2，c=1，a×c=2；
故答案为：2．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17．先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中 x= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入即可求出答案．
【解答】解：当 x= 时，
∴原式= ÷ ﹣
= × ﹣
= ﹣
=
=
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18．如图，△ABC、△CDE 均为等边三角形，连接 BD、AE 交于点 O，BC 与
AE 交于点 P．求证：∠AOB=60°．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】利用“边角边”证明△ACD 和△BCE 全等，可得∠CAD=∠CBE，然后求出
∠OAB+∠OBA=120°，再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．
【解答】解：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠AOP=∠BCP=60°，即∠AOB=60°．
19．某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同
学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取 10%进行调查，根据调
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查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数（人
数）
羽毛球 30
篮球 a
乒乓球 36
排球 b
足球 12
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的 a= 24 ，b= 48 ；
（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 72 度；
（3）全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
【考点】VB：扇形统计图；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据选择乒乓球运动的人数是 36 人，对应的百分比是 30%，即
可求得总人数，然后利用百分比的定义求得 a，用总人数减去其它组的人数求
得 b；
（2）利用 360°乘以对应的百分比即可求得；
（3）求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．
【解答】解：（1）抽取的人数是 36÷30%=120（人），
则 a=120×20%=24，
b=120﹣30﹣24﹣36﹣12=48．
故答案是：24，48；
（2）“排球”所在的扇形的圆心角为 360°× =72°，
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故答案是：72；
（3）全校总人数是 120÷10%=1200（人），
则选择参加乒乓球运动的人数是 1200×30%=360（人）．
20．如图，小明家在学校 O 的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家
在学校 O 的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到
学校的距离．（结果精确到 1 米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73，
≈2.45）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】作 OC⊥AB 于 C，由已知可得△ABO 中∠A=60°，∠B=45°且 OA=80m，
要求 OB 的长，可以先求出 OC 和 BC 的长．
【解答】解：由题意可知：作 OC⊥AB 于 C，
∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°．
在 Rt△ACO 中，
∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，
∴AC= AO=40m，OC= AC=40 m．
在 Rt△BOC 中，
∵∠BCO=90°，∠BOC=45°，
∴BC=OC=40 m．
∴OB= =40 ≈40×2.45≈82（米）．
答：小华家到学校的距离大约为 82 米．
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21．如图，∠AOB=90°，反比例函数 y=﹣ （x＜0）的图象过点 A（﹣1，a），反
比例函数 y= （k＞0，x＞0）的图象过点 B，且 AB∥x 轴．
（1）求 a 和 k 的值；
（2）过点 B 作 MN∥OA，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，交双曲线 y= 于另一
点，求△OBC 的面积．
【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标
特征．
【分析】（1）把 A（﹣1，a）代入反比例函数 y=﹣ 得到 A（﹣1，2），过 A 作
AE⊥x 轴于 E，BF⊥⊥x 轴于 F，根据相似三角形的性质得到 B（4，2），于是
得到 k=4×2=8；
（2）求的直线 AO 的解析式为 y=﹣2x，设直线 MN 的解析式为 y=﹣2x+b，得到直
线 MN 的解析式为 y=﹣2x+10，解方程组得到 C（1，8），于是得到结论．
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【解答】解：（1）∵反比例函数 y=﹣ （x＜0）的图象过点 A（﹣1，a），
∴a=﹣ =2，
∴A（﹣1，2），
过 A 作 AE⊥x 轴于 E，BF⊥⊥x 轴于 F，
∴AE=2，OE=1，
∵AB∥x 轴，
∴BF=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，
∴ ，
∴OF=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8；
（2）∵直线 OA 过 A（﹣1，2），
∴直线 AO 的解析式为 y=﹣2x，
∵MN∥OA，
∴设直线 MN 的解析式为 y=﹣2x+b，
∴2=﹣2×4+b，
∴b=10，
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∴直线 MN 的解析式为 y=﹣2x+10，
∵直线 MN 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，
∴M（5，0），N（0，10），
解 得， 或 ，
∴C（1，8），
∴△OBC 的面积=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM= 5×10﹣ ×10×1﹣ ×5×2=15．
22．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共
享单车．经市场调查得知，购买 3 辆男式单车与 4 辆女式单车费用相同，购买
5 辆男式单车与 4 辆女式单车共需 16000 元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单比女式单车多 4 辆，两种单车至少需要 22 辆，购置两
种单车的费用不超过 50000 元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需
总费用最低，最低费用是多少？[来源:学#科#网]
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设男式单车 x 元/辆，女式单车 y 元/辆，根据“购买 3 辆男式单车
与 4 辆女式单车费用相同，购买 5 辆男式单车与 4 辆女式单车共需 16000 元”列
方程组求解可得；
（2）设购置女式单车 m 辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少
需要 22 辆、购置两种单车的费用不超过 50000 元”列不等式组求解，得出 m 的
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范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于 m 的函数解析式，利用一次
函数性质结合 m 的范围可得其最值情况．
【解答】解：（1）设男式单车 x 元/辆，女式单车 y 元/辆，
根据题意，得： ，
解得：，
答：男式单车 2000 元/辆，女式单车 1500 元/辆；
（2）设购置女式单车 m 辆，则购置男式单车（m+4）辆，
根据题意，得：，
解得：9≤m≤12，
∵m 为整数，
∴m 的值可以是 9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；
设购置总费用为 W，
则 W=2000（m+4）+1500m=3500m+8000，
∵W 随 m 的增大而增大，
∴当 m=9 时，W 取得最小值，最小值为 39500，
答：该社区共有 4 种购置方案，其中购置男式单车 13 辆、女式单车 9 辆时所需
总费用最低，最低费用为 39500 元．
23．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，且 BE∥CD，过点 C 的切线
与 EB 的延长线交于点 P，连接 BC．
（1）求证：BC 平分∠ABP；
（2）求证：PC2=PB•PE；
（3）若 BE﹣BP=PC=4，求⊙O 的半径．
【考点】MC：切线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的
判定与性质．
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【分析】（1）由 BE∥CD 知∠1=∠3，根据∠2=∠3 即可得∠1=∠2；
（2）连接 EC、AC，由 PC 是⊙O 的切线且 BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由
∠A+∠2=90°且∠A=∠5 知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2 得∠4=∠5，从而证得
△PBC∽△PCE 即可；
（3）由 PC2=PB•PE、BE﹣BP=PC=4 求得 BP=2、BE=6，作 EF⊥CD 可得 PC=FE=4、
FC=PE=8，再 Rt△DEF≌Rt△BCP 得 DF=BP=2，据此得出 CD 的长即可．
【解答】解：（1）∵BE∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即 BC 平分∠ABP；
（2）如图，连接 EC、AC，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠PCD=90°，
又∵BE∥DC，
∴∠P=90°，
∴∠1+∠4=90°，[来源:Zxxk.Com]
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠A+∠2=90°，
又∠A=∠5，
∴∠5+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠4，
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∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCE，
∴=，即 PC2=PB•PE；
（3）∵BE﹣BP=PC=4，
∴BE=4+BP，
∵PC2=PB•PE=PB•（PB+BE），
∴42=PB•（PB+4+PB），即 PB2+2PB﹣8=0，
解得：PB=2，
则 BE=4+PB=6，
∴PE=PB+BE=8，
作 EF⊥CD 于点 F，
∵∠P=∠PCF=90°，
∴四边形 PCFE 为矩形，
∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，
∵BE∥CD，
∴=，
∴DE=BC，
在 Rt△DEF 和 Rt△BCP 中，
∵，
∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），
∴DF=BP=2，
则 CD=DF+CF=10，
∴⊙O 的半径为 5．
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[来源:Z。xx。k.Com]
24．如图，已知抛物线 y=ax2+c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点 F（0，2）的
直线 l：y=kx+2 与抛物线交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，过点 B 作 x 轴的
垂线，垂足为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 B 在抛物线上运动时，判断线段 BF 与 BC 的数量关系（＞、＜、=），
并证明你的判断；
（3）P 为 y 轴上一点，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点 P（0，
m），求自然数 m 的值；
（4）若 k=1，在直线 l 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得△QBF 的面积最大？
若存在，求出点 Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设 B（x， x2+1），而 F（0，2），利用两点间的距离公式得到
BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到 BF=x2+1，由于 BC=x2+1，所以
BF=BC；
（3）如图 1，利用菱形的性质得到 CB=CF=PF，加上 CB=FB，则可判断△BCF 为
等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出 CF=4，所以
PF=CF=4，从而得到自然数 m 的值为 6；
（4）作 QE∥y 轴交 AB 于 E，如图 2，先解方程组得 B（1+ ，3+ ），设
Q（t， t2+1），则 E（t，t+2），则 EQ=﹣ t2+t+1，则
2
S△QBF=S△EQF+S△EQB= •（1+ ）•EQ= •（1+ ）•）（﹣ t +t+1），然后根据二
次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入 y=ax2+c 得 ，解得
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，
所以抛物线解析式为 y= x2+1；
（2）BF=BC．
理由如下：
设 B（x， x2+1），而 F（0，2），
∴BF2=x2+（ x2+1﹣2）2=x2+（ x2﹣1）2=（ x2+1）2，
∴BF= x2+1，
∵BC⊥x 轴，
∴BC= x2+1，
∴BF=BC；
（3）如图 1，m 为自然数，则点 P 在 F 点上方，
∵以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，
∴CB=CF=PF，
而 CB=FB，
∴BC=CF=BF，
∴△BCF 为等边三角形，
∴∠BCF=60°，
∴∠OCF=30°，
在 Rt△OCF 中，CF=2OF=4，
∴PF=CF=4，
∴P（0，6），
即自然数 m 的值为 6；
（4）作 QE∥y 轴交 AB 于 E，如图 2，
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当 k=1 时，一次函数解析式为 y=x+2，
解方程组 得 或 ，则 B（1+ ，3+ ），
设 Q（t， t2+1），则 E（t，t+2），
∴EQ=t+2﹣（ t2+1）=﹣ t2+t+1，
2
∴S△QBF=S△EQF+S△EQB= •（1+ ）•EQ= •（1+ ））（﹣ t +t+1）
=﹣ （t﹣2）2+ +1，
当 t=2 时，S△QBF 有最大值，最大值为 +1，此时 Q 点坐标为（2，2）．
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2017 年 7 月 12 日