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2018年中考数学复习-平行线的证明

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                              考点二十五:平行线的证明 

聚焦考点☆温习理解

一.命题

1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.

2.真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题.

3.假命题:如果题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫假命题.

4.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是另一个命题的结论,而第一个命题的结论是另一个

命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.

二、平行线的判定与性质

(1)平行线的性质

如果两直线平行,那么同位角相等;

如果两直线平行,那么内错角相等;

如果两直线平行,那么同旁内角互补.

(2)平行线的判定

同位角相等,两直线平行;

内错角相等,两直线平行;

同旁内角互补,两直线平行.

2.平行线的基本事实(即平行公理)

经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、推理论证

【例   1】(2017•宁波)一个       大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正

方形,在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形                      中  n 个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面

积,则    n 的最小值是(  )

A.3 B.4 C.5 D.6
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【答案】A

【解析】


考点:推理与论证.

【点睛】此题主要考查了推理与论证,正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键.

【举一反三】

1. (2017•路南区二模)某旅行团在一城市游览,有甲、乙、丙、丁四个景点,导游说:“①要游览甲,

就得去乙;②乙、丙只能去一个;③丙、丁要么都去,要么都不去;”根据导游的说法,在下列选项中,

该旅行团可能游览的景点是(  )

A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丁 D.丙、丁

【答案】B.

【解析】

试题分析:根据导游说的分两种情况进行分析:①假设要去甲;②假设去丙;然后分析可得答案.

试题解析:导游说:“①要游览甲,就得去乙;②乙、丙只能去一个,;③丙、丁要么都去,要么都不去”

,①假设要去甲,就得去乙,就不能去丙,不去丙,就不能去丁,因此可以只去甲和乙;②假设去丙,就

得去丁,就不能去乙,不去乙也不能去甲,因此可以只去丙丁;故选:D.
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考点:推理与论证.

2.如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:


假设嘉嘉抽到牌的点数为           x,淇淇猜中的结果应为          y,则   y=(  )

A.2     B.3     C.6     D.x+3

【答案】B.


考点:整式的加减.

考点典例二、命题的真假

【例   2】(2017  内蒙古通辽第      9 题)下列命题中,假命题有(    )

①两点之间线段最短;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上;

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行;

⑤若⊙    O 的弦  AB,CD  交于点   P ,则  PA PB   PC  PD .

A.4  个        B.3  个      C. 2 个      D.1  个

【答案】C

【解析】

试题分析:①根据线段的性质公理,两点之间线段最短,说法正确,不是假命题;

②根据角平分线的性质,到角的              两边距离相等的点在角的平分线上,说法正确,不是假命题;
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③根据垂线的性质、平行公理的推论,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,原来的说法错误,

是假命题;

④在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,原来的说法错误,是假命题;

⑤如图,连接       AC、DB,根据同弧所对的圆周角相等,证出△ACP∽△DBP,然后根据相似三角形的性质得出

 PA    PC
     
 PD    PB ,即   PA•PB=PC•PD,故若⊙O    的弦  AB,CD 交于点    P,则  PA•PB=PC•PD 的说法正确,不是假命

题.

故选:C.


考点:命题与定理
【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是掌握有关的知识..

【举一反三】

(2017  广西百色第     15 题)下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相

等;④两直线平行,同位角相等,基中假命题的有                  (填序号).

【答案】②

【解析】

试题分析:①对顶角相等是真命题;②同旁内角互补是假命题;

③全等三角形的对应角相等是真命题;④两直线平行,同位角相等是真命题;

故假命题有②.

考点:命题与定理.

考点典例三、平行线的判定

【例   3】如图,能判定       EB∥AC 的条件是(  )

A.∠C=∠ABE       B.∠A=∠EBD       C.∠C=∠ABC      D.∠A=∠ABE


【答案】D.
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【解析】


考点:平行线的判定.

【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,只有同位角相等、内

错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.

【举一反三】

1. (2017  黑龙江绥化第      1 题)如图,直线      AB,CD   被直线   EF 所截,   1  55o ,下列条件中能判定

 AB / /CD 的是(   )


A.  2  35o          B. 2  45o        C. 2  55o        D. 2 125o
【答案】C
【解析】

试题分析:A、由∠3=∠2=35°,∠1=55°推知∠1≠∠3,故不能判定                       AB∥CD,故本选项错误;

B、由∠3=∠2=45°,∠1=55°推知∠1≠∠3,故不能判定                   AB∥CD,故   本选项错误;

C、由∠3=∠2=55°,∠1=55°推知∠1=∠3,故能判定                 AB∥CD,故本选项正确;

D、由∠3=∠2=125°,∠1=55°推知∠1≠∠3,故不能判定                   AB∥CD,故本选项错误;

故选   C.
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考点:平行线的判定.

2. (2017  山东德州第     14 题)如图利用直尺和三角板过已知直线                l 外一点   p 作直线  l 平行线的方法,其理

由是             


【答案】同位角相等,两直线平行

【解析】

试题解析:利用三角板中两个             60°相等,可判定平行

考点:平行线的判定

3.如图,直线      a,b 被直线   e,d  所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4           的度数为(     ).

    A. 55°          B. 60°        C.70°       D. 75°
      c   d
                     a

                     b

        第 3 题

【答案】A.

【解析】

试题分析:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3             的对顶角+∠4=180º,∠3        的对顶角=∠3=125°,∴∠4=180º-

125º=55º,故选    A.

考点:平行线的性质与判定.

考点典例四、平行线的性质
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【例   3】(2016  内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第             7 题)如图,在△ABC      中,AB=AC,过点     A 作 AD∥BC,若

∠1=70°,则∠BAC     的大小为(  )


A.40°   B.30°   C.70°   D.50°

【答案】A.


考点:等腰三角形的性质;平行线的性质.
【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种:一是先根据平行线的性质                                    求得与已知角互补或相

等的角,再利用互补或相等关系得到答案;二是先求得与已知角互补或相等的角,再利用平行线的性质求

得所求的角的大小.

【举一反三】

1. (2017  浙江衢州第     5 题)如图,直线      AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E          等于(  )


A.30°   B.40°   C.60°   D.70°

【答案】A.

【解析】

试题解析:如图,


∵AB∥CD,∠A=70°,
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∴∠1=∠A=70°,

∵∠1=∠C+∠E,∠C=40°,

∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°.

故选   A.
考点:1.平行线的性质;2.三角形             的外角性质.
2. (2017  浙江宁波第     7 题)已知直线     m∥n   ,将一块含     30° 角的直角三角板      ABC 按如图方式放置(

 ∠A° BC = 30 ),其中  A , B 两点分别落在直线       m , n 上,若∠1°=   20 ,则∠2   的度数为(    )


A. 20°                  B. 30°                 C. 45°                 D. 50°

【答案】D.

【解析】

试题解析:如图,


∵  m∥n

∴∠2=∠3+∠1

∵∠1=20°,∠3=30°

∴∠2=50°

故选   D.
考点:平行线的性质.
课时作业☆能力提升

一、选择题

1.(2017  秋•江阴市期中)甲,乙两人在做“报               40”的游戏,其规则是:“两人轮流连续数数,每次最多

可以连续数三个数,谁先报到             40, 谁就获胜”.那么采取适当策略,其结果是(  )

A.后说数者胜 B.先说数者胜 C.两者都能胜 D.无法判断

【答案】A.
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考点:推理与论证.

2. (2017  湖南株洲第     3 题)如图示直线      l1,l2△ABC  被直线   l3 所截,且    l1∥l2,则  α=(  )


A.41°   B.49°   C.51°   D.59°

【答案】B.

【解析】 

试题分析:因为        l1∥l2,∴α=49°,

故选   B.

考点:平行线的性质.

3.下列命题中,真命题的个数是(  )
              1          1
①若   1 x    ,则   2    1 ;
              2          x
②若   1 x  2 ,则1  x2  4 ;

③凸多边形的外角和为          360°;

④三角形中,若∠A+∠B=90°,则            sinA=cosB.

A.4      B.3      C.2      D.1

【答案】B.
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考点:命题与定理.

4.  (2017  贵州安顺第     5 题)如图,已知      a∥b,小华把三角板的直角顶点放在直线                 b 上.若∠1=40°,则

∠2  的度数为(  )


A.1  00°    B.110°      C.120°     D.130°

【答案】D.

【解析】

试题解析:如图,


∵∠1+∠3=90°,

∴∠3=90°﹣40°=50°,

∵a∥b,

∴∠2+∠3=180°.

∴∠2=180°﹣50°=130°.

故选   D.
考点:平行线的性质.
5. (2017  四川自贡第     5 题)如图,a∥b,点       B 在直线   a 上,且   AB⊥BC,∠1=35°,那么∠2=(  )
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A.45°   B.50°   C.55°   D.60°

【答案】C.

【解析】

试题解析:如图


∵AB⊥BC,∠1=35°,

∴∠2=90°﹣35°=55°.

∵a∥b,

∴∠2=∠3=55°.

故选   C.
考点:平行线的性质.
 6. (2017  新疆乌鲁木齐第       2 题)如图,直线      a Ab,1  72  ,则 2 的度数是 (   )


 A.118            B.108               C. 98               D. 72   
【答案】B.
【解析】
试题解析:∵直线         a∥b,
∴∠2=∠3,
∵∠1=72°,
∴∠3=108°,
∴∠2=108°,
故选   B.
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考点:平行线的性质.

7. (2017  海南第   5 题)如图,直线       a∥b,c⊥a,则     c 与 b 相交所形成的∠1      的度数为(  )


A.45°   B.60°   C.90°   D.120°

【答案】C.

【解析】

试题分析:根据垂线的          定义可得∠2=90°,再根据两直线平行,同位角相等可得∠2=∠1=90°.

∵c⊥a,∴∠2=90°,∵a∥b,∴∠2=∠1=90°.故选                 C.
考点:垂线的定义,平行线的性质.
8.   (2017  贵州遵义第     6 题)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置,如果∠1=30°,则∠2                         的度数为(  

)


A.45°   B.30°   C.20°   D.15°

【答案】D.

【解析】

试题分析:∵∠1=30°,∴∠3=90°﹣30°=60°,

∵直尺的对边平行,∴∠4=∠3=60°,

又∵∠4=∠2+∠5,∠5=45°,∴∠2=60°﹣45°=15°,

故选:D.
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考点:平行线的性质.
二、填空题

9. (2017  内蒙古通辽第      12 题)如图,    CD  平分  ECB  ,且  CD  // AB ,若 A   36 ,则 B           

.


【答案】36°


考点:平行线的性质

10. (2017  湖南常德第     12 题)命题:“如果       m 是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:      .

【答案】“如果        m 是有理数,那么它是整数”.

【解析】

试题分析:命题:“如果           m 是整数,那么它是有理数”的逆命题为“如果                   m 是有理数,那么它是整数”.

故答案为:“如果         m 是有理数,那么它是整数”.

考点:命题与定理.

11. (2017  内蒙古呼和浩特第        12 题)如图,    AB  / /CD , AE 平分  CAB  交 CD  于点  E ,若  C   48 ,
则  AED  为          .
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【答案】114°

【解析】

试题分析:∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∵∠C=48°,∴∠CAB=180°﹣48°=132°,

∵AE  平分∠CAB,∴∠EAB=66°,

∵AB∥CD,∴∠EAB+∠AED=180°,∴∠AED=180°﹣66°=114°.

考点:1.平行线的性质;2.角平分线的定义.

12. (2017  内蒙古呼和浩特第        14 题)下面三个命题:

     x  a,       | x | 2,
①若        是方程组              的解,则    a  b 1或 a  b  0 ;
     y  b        2x  y  3

②函数    y  2x2  4x 1通过配方可化为      y  2(x 1)2  3 ;

③最小角等于      50 的三角形是锐角三角形.

其中正确命题的序号为          .

【答案】②③


考点:命题与定理.

13. (2016  山东淄博第     18 题)(5   分)如图,一个由        4 条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,

∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.


【答案】OA∥BC,OB∥AC,理由详见解析.
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【解析】

试题分析:根据已知可得∠1=∠2,∠2+∠3=180°,由同位角相等,两直线平行即可得                                OB∥AC,由同旁内

角互补,两直线平行可得           OA∥BC.

试题解析:

OA∥BC,OB∥AC,理由如下:

∵∠1=50°,∠2=50°,

∴∠1=∠2,

∴OB∥AC,

∵∠2=50°,∠3=130°,

∴∠2+∠3=180°,

∴OA∥BC.

考点:平行线的判定.

3、解答题

14.A,B,C,D    四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛,争夺出线权,比赛规则规定:胜一场得

3 分,平一场得      1 分,负一场得      0 分,小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线,小组赛结束后,

如果   A 队没有全胜,那么       A 队的积分至少要几分才能保证一定出线?请说明理由.

[注:单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场].

【答案】至少       7 分才能保证一定出线.

【解析】

试题分析:根据题意每队都进行              3 场比赛,本组进行        6 场比赛,根据规则每场比赛,两队得分的和是                   3 分

或  2 分,据此对     A 队的胜负情况进行讨论,从而确定.

试题解析:至少要         7 分才能保证一定出线;

每队都进行      3 场比赛,本组进行       6 场比赛.

若  A 队两胜一平,则积       7 分.

因  此其它队    的积分不可能是       9 分,依据规则,不可能有球队积             8 分,

每场比赛,两队得分的和是            3 分或  2 分.

6 场比赛两队的得分之和最少是             12 分,最多是    18 分,

∴最多只有两个队得         7 分.

所以积    7 分保证一定出线.
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若  A 队两胜一负,积      6 分.


如表格所示,根据规则,这种情况下,A                 队不一定出线.

同理,当     A 队积分是   5 分、4  分、3   分、2  分时不一定出线.

总之,至少      7 分才能保证一定出线.

考点:推理与论证.

15.(2017  重庆  A 卷第  19 题)如图,AB∥CD,点       E 是 CD 上一点,∠AEC=42°,EF      平分∠AED    交 AB 于点

F,求∠AFE    的度数.


【答案】

【解析】

试题分析:由平角求出∠AED           的度数,由角平分线得出∠DEF            的度数,再由平行线的性质即可求出∠AFE                的

度数.

试题解析:∵∠AEC=42°,

∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°,

∵EF  平分∠AED,

         1
∴∠DEF=    ∠AED=69°,
         2

又∵AB∥CD,

∴∠AFE=∠DEF=69°.

考点:平行线的性质.
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