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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第二节直线和圆的位置关系课件

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24.2.2 直线和圆的位置关系

         第2课时
1.圆的切线的判定定理

经过  半径的_____外端 并且_______垂直于 这条半径的直线是圆的切线.

2.圆的切线的性质定理

圆的切线___________________.垂直于过切点的半径
【思维诊断】(打“√”或“×”) 

1.过半径的外端的直线是圆的切线.(×   )

2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.(√   )

3.与圆有公共点的直线是圆的切线.(×   )
知识点一  切线的判定

【示范题1】(2013·滨州中考)如图,在

△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,☉O过点B

且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,

垂足为F.

求证:直线EF是☉O的切线.
【思路点拨】点E在圆上,连接OE,由等腰三角形的性质,证明

∠OEB=∠C,再由平行线的性质,可得EF⊥OE.

【自主解答】连接OE,

∵OB=OE,∴∠B=∠OEB.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∴∠OEB=∠C.∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴OE⊥EF.

∴直线EF是☉O的切线.
【想一想】

过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线吗                  ?

提示:不一定,经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线

.
【微点拨】判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点已知

时,这时常用的证明方法是:(1)连过交点的半径.

(2)证明这条直线垂直于半径.
【方法一点通】

             判断圆的切线的“三种方法”

1.与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.

2.圆心到直线的距离等于半径,这条直线是圆的切线.

3.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
知识点二  切线的性质

【示范题2】(2013·珠海中考)如图,☉O经过             菱形的三个顶点

A,D,C,且与AB相切于点A.

(1)求证:BC为☉O的切线.

(2)求∠B的度数.
【解题探究】(1)已知BC过☉O上的一点C,如何作辅助线,先证

明什么条件,才能证明BC为☉O的切线.

提示:连接AO,CO,BO,由切线的性质可得∠BAO=90°,再根据菱

形的性质,容易证明△BAO≌△BCO,进而证得∠BCO =90°,问题

得证.
(2)已知四边形ABCD是菱形,如何构造三角形,利用菱形的性质

等知识求出∠B的度数.

提示:连接BD,利用菱形的性质、圆的对称性及等腰三角形的性

质可求得∠ABO的度数.
【尝试解答】(1)如图,连接AO,CO,BO.

∵AB是☉O的切线,∴OA⊥AB.∴∠BAO=90°.

∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.

∵AO=CO,BO=BO,∴△BAO≌△BCO(SSS).

∴∠BCO=∠BAO=90°.即OC⊥BC.∴BC为☉O的切线.
(2)连接BD,由菱形、圆的对称性,BD必过圆心,即B,O,D三点共

线.

∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴∠ABO=∠ADO.

∵OA=OD,∠OAD=∠ODA.∴∠AOB=2∠ADO=2∠ABO.

∵∠ABO+∠AOB=90°,∴∠ABO+2∠ABO=90°,

∴∠ABO=30°.∴∠ABC=2∠ABO=2×30°=60°.
【想一想】

圆的切线垂直于半径吗?

提示:不一定,圆的切线垂直于过切点的半径.
【备选   例题】(2013·聊城中考)如图,AB是☉O的直径,AF是

☉O

的切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF

相交于点F,CD=4   ,BE=2.

求证:(1)四边形FADC是菱形.

(2)FC是☉O的切线.
【证明】(1)连接OC,依题意知:AF⊥AB,又CD⊥AB,∴AF∥CD,

又CF∥AD,∴四边形FADC是平行四边形,

由垂径定理得:CE=ED=  CD=2   ,

设☉O的半径为R,则OC=R,OE=OB-BE=R-2,
在△ECO中,由勾股定理得:

R2=(R-2)2+(2   )2,解得:R=4,


∴AD=CD,

因此平行四边形FADC是菱形.

(2)连接OF,由(1)得:FC=FA,又

OC=OA,FO=FO,∴△FCO≌△FAO,∴∠FCO=∠FAO=90°,

因此FC是☉O的切线.
【方法一点通】

            切线的三条性质及辅助线的作法

1.三条性质:

(1)切线和圆只有一个公共点.

(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.

(3)圆的切线垂直于过切点的半径.

2.辅助线的作法:

连切点、圆心,得垂直关系.


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