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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆周角=圆周角定理及其推论学案

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初中数学审核员

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                             24.1.4  圆周角

                               ——圆周角定理及其推论

一、新课导入

1.导入课题:

情景:如图,把圆心角∠AOB            的顶点   O 拉到圆上,得到∠ACB.

问题  1:∠ACB    有什么特点?它与∠AOB          有何异同?

问题  2:你能仿照圆心角的定义给∠ACB              取一个名字并下个定义吗?

由此导入课题.(板书课题)

2.学习目标:

(1)知道什么是圆周角,并能从图形中准确识别它.

(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.

(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.

3.学习重、难点:

重点:圆周角定理及其推论.

难点:圆周角定理的证明与运用.

二、分层学习


1.自学指导:

(1)自学内容:教材第          85 页到第   86 页倒数第   6 行之前的内容.

(2)自学时间:10       分钟. 

(3)自学方法:完成探究提纲.

(4)探究提纲:

1)圆周角的概念

①顶点在     圆上   ,并且两边     都与圆相交      的角叫做圆周角.

②判别下列各图中的角是不是圆周角,并说明理由.
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    ②  猜一猜:一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系?

    ②量一量:用量角器量一量圆心角∠AOB                 和圆周角∠ACB.

                   1
    a.如图,∠ACB=      ∠AOB.
                   2

    b.你可以画多少个       AB 所对的圆周角?这些圆周角与∠AOB               之间有什么数量关系?

    可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB               的一半.

    ③想一想:在⊙O        中任画一个圆周角∠BAC,圆心            O 与∠BAC    可能会有几种位置关

系?

    有 3 种位置关系.

    ③  证一证:


    a.当圆心   O 在∠BAC   的一条边上时(如图        1):


    b.当圆心   O 在∠BAC   的内部时(如图      2):作直径     AD,同   a,得


                                         .


    c.当圆心   O 在∠BAC   的外部时(如图      3).作直径    AD,同 a,得


    ⑤归纳:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的                       一半   .

    2.自学:学生可根据自学指导自主学习,相互交流.

    3.助学:
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    (1)师助生:

    ①明了学情:关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.

    ②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.

    (2)生助生:小组内交流、研讨.

    4.强化:

    (1)圆周角定理的内容.

    (2)证明圆周角定理所体现的数学思想.

    (3)练习:如图,OA,OB,OC         都是⊙O    的半径,∠AOB=2∠BOC.求

证:∠ACB=2∠BAC.

                   1               1
    证明:∵∠ACB=        ∠AOB,∠BAC=      ∠BOC,∠AOB=2∠BOC,
                   2               2

    ∴∠ACB=2∠BAC.


1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第          86 页最后   5 行至第  87 页例  4.

    (2)自学时间:10       分钟.

    (3)自学方法:完成探究提纲.

    (4)探究提纲:

    ①探究图中∠ACB,∠ADB          和∠AEB   的数量关系.


                      1               1               1
    a.如图  1,∵∠ACB=      ∠AOB,∠ADB=      ∠AOB,∠AEB=     ∠AOB,
                      2               2               2

    ∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.

    即同弧所对的圆周角          相等  .

    b.如图  2,AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.

              1               1
    ∵∠ACB=     ∠AOB, ∠ADE=      ∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.
              2               2
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    即等弧所对的圆周角          相等  .

    c.由此可得,同弧或等弧所对的圆周角               相等   . 

    d.练习:如图,点       A、B、C、D    在同一个圆上,四边形

ABCD  的对角线把四个内角分成           8 个角,

    这些角中哪些是相等的角?

    ∠1=∠4,∠2=∠7,∠3=∠6,∠5=∠8

    ②半圆(或直径)所对的圆周角是             直角  ;90°的圆周角所对的弦是           直径  .为什么?

    因为半圆(或直径)所对的圆心角是                180°,所以它所对的圆周角是          90°,即直角.

    90°的圆周角所对的圆心角是           180°,所以它所对的弦是直径.

    ④  如图,用直角曲尺检查半圆形的工件,哪个是合格的?为什么?


    第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.

    ④如图, ⊙O    的直径   AB 为  10cm,弦 AC 为 6cm, ∠ACB  的平分

线交⊙O    于 D,求  BC,BD  的长.

    ∵AB  是直径,∴∠ACB=90°,

                             2     2      2   2
    ∴在  RtA ACB 中, BC    AB   AC     10   6  (8 )cm .

    同理∠ADB=90°,又      CD 是∠ACB    的平分线, 

                     1
    ∴∠DCA=∠DCB=       ∠ACB=45°,
                     2

    ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.

                                       1
    在 Rt    中,AD2+BD2=AB2,∴     BD     AB2   5 2cm  .
         A ADB                         2

    ⑤  如图,你能设法确定一个圆形片的圆心吗?你有多少种方法?

    能,方法很多,例如:利用三角尺的直角可以找出两条直径

(90°的圆周角所对的弦是直径),

    两直径交点就是圆心.

2.自学:学生可在自学指导的指引下自主学习,相互交流.

3.助学:
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    (1)师助生:

    ①明了学情:关注学生是否会完成任务.

    ②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.

    (2)生助生:小组内交流、研讨.

4.强化:

    (1)常规辅助线:遇直径,想直角.

    (2)点一名学生口答探究提纲中的问题②,点两名学生板演问题④,并点评.


1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第          87 页“思考”到第    88 页“练习”之前的内容.

    (2)自学时间:7       分钟.

    (3)自学方法:阅读课文,完成自学参考提纲.

    (4)自学参考提纲:

    ①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆?

    如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆

叫做这个多边形的外接圆.

    ②在图中标出      BAAD 和 BACD 所对的圆心角,这两个圆心角有什么关系?

    ∠BAD+∠BCD=      180 度,同理可得:∠ABC+∠ADC=             180 度.

    ③圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角                    互补   .

    ④练习:

    a.如图,四边形      ABCD 为⊙O   的内接四边形,已知∠BOD=100°,

则∠BAD=     50° ,

    ∠BCD=    130° .

    b.如图,四边形      ABCD  内接于⊙O,E     为  CD 延长线上一点.若

∠B=110°,求∠ADE      的度数.

    ∵四边形    ABCD  内接于⊙O,

    ∴∠B+∠ADC=180°,

    又∠ADC+∠ADE=180°,

    ∴∠ADE=∠B=110°.
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    c.求证:圆内接平行四边形是矩形.

    ∵圆内接四边形对角互补,而平行四边形对角相等,

    ∴圆内接平行四边形四个角都是直角.

    ∴圆内接平行四边形是矩形.

    d.已知:如图,两个等圆⊙O1          和⊙O2   都经过   A,B  两点,经过点      A 的直线与两圆分别

交于点   C,D,经过点      B 的直线与两圆分别交于点           E,F.若    CD∥EF,求证:四边形

EFDC  是平行四边形.

    连接  AB.∵四边形     ABEC  是⊙O1  的内接四边形,

    ∴∠C+∠ABE=180°.

    又∵四边形     ABFD  是⊙O2  的内接四边形.

    ∴∠D+∠ABF=180°.

    又∵∠ABE+∠ABF=180°.

    ∴∠C+∠D=180°.

    ∴CE∥DF.

    又∵CD∥EF,

    ∴四边形    EFDC  是平行四边形.

    2.自学:学生可结合自学指导自主学习.

    3.助学:

    (1)师助生:

    ①明了学情:明了学生自学提纲的答题情况.

    ②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.

    (2)生助生:生生互动,交流研讨.

    4.强化:

    (1)圆内接四边形的性质.

    (2)让学生完成自学参考提纲中的第④题,并点评.

    (3)练习:圆内接四边形           ABCD  中,∠A、∠B、∠C        的度数的比是      2∶3∶6,求四

边形   ABCD 各内角的度数.

    解:∵∠A∶∠C=2∶6,∠A+∠C=180°,

    ∴∠A=45°,∠C=135°.

    又∠A∶∠B=2∶3,
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    ∴∠B=67.5°,∠D=180°-∠B=112.5°.

    三、评价

    1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?在哪些方面还感到

比较困难?

    2.教师对学生的评价:

    (1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题

等.

    (2)纸笔评价:课堂评价检测.

    3.教师的自我评价(教学反思):

    (1)这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中,

要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题,同时也培养了学生勇于探究的

精神.其次,本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质,通过例题和习题训

练,可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识,从中获取成功的经验,建立

学习的自信心.

    (2)圆周角定理的证明分了三种情况探讨,这里蕴含着重要的数学思想——分类思想,

教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等,故教学过程中要整理相互

交融的知识结构,加强分类思想的渗透.


                            (时间:12   分钟满分:100     分)

一、基础巩固(80       分)

    1.(10 分)下列四个图中,∠x       是圆周角的是(C)


    2.(10 分)如图,⊙O  中,弦    AB、CD   相交于   E 点,且∠A=40°,∠AED=75°,则

∠B=(D)

        A.15°       B.40°      C.5°        D.35°
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    3.(10 分)如图,⊙O    的直径   AB 与弦   CD 垂直,且∠BAC=40°,则

∠BOD= 80° .

    4.(10 分)如图,点   B、A、C    都在⊙O    上,∠BOA=110°,则

∠BCA=    125° .

    5.(10 分)如图,⊙O    中,弦   AD 平行于弦     BC,∠AOC=78°,求∠DAB        的度数.

    解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠B.

             1
    又∵∠B=      ∠AOC=39°.
             2

    ∴∠DAB=39°.

    6.(10 分)如图,⊙O    的半径为    1,A,B,C 是⊙O   上的三个点,且∠ACB=45°,求弦

AB 的长.

    解:连接    OA、OB.

    ∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.

    又 OA=OB,∴△AOB     是等腰直角三角形.

    ∴  AB   OA2   OB2   2OA2    2OA   2 .

    7.(10 分)如图,A,P,B,C  是⊙O   上的四点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC             的形状并

证明你的结论.

    解:△ABC    是等边三角形.证明如下:

    ∵∠APC=∠ABC=60°,∠CPB=∠BAC=60°,

    ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°,

    ∴△ABC   是等边三角形.
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    8.(10 分)如图,已知    A,B,C,D     是⊙O   上的四点,延长       DC,AB   相交于点    E,若

BC=BE.求证:△ADE        是等腰三角形.

    证明:∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.

    ∴∠A=∠BCE.

    ∵BC=BE,

    ∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,

    ∴AD=DE,

    ∴△ADE   是等腰三角形.

    二、综合应用(10       分)

    9.(10 分)如图,已知    EF 是⊙O   的直径,把∠A      为  60°的直角三角

板  ABC 的一条直角边      BC 放在直线     EF 上,斜边    AB 与⊙O   交于点   P,点  B 与点  O 重合;

将三角形    ABC  沿 OE 方向平移,使得点        B 与点   E 重合为止.设∠POF=x°,则         x 的取值范

围是   30≤x≤60 .

三、拓展延伸(10       分)

    10.(10 分)如图,BC   为半圆   O 的直径,点     F 是 BA C 上一动点(点     F 不与  B、C  重合),

A 是 BA F 上的中点,设∠FBC=α,∠ACB=β.

    (1)当   α=50°时,求    β 的度数;

    (2)猜想    α 与 β 之间的关系,并给予证明.

    解:(1)连接      OA,交   BF 于点   M.

    ∵A  是 BA F 上的中点,∴OA      垂直平分    BF.

    ∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.

           1        1
    ∴∠C=     ∠AOB=    ×40°=20°,
           2        2

    即 β=20°.

               1
    (2)β=45°-    α.
               2

                                          1
    证明:由(1)知∠BOM=90°-α.又∠C=β=               ∠AOB,
                                          2
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       1                   1
∴β=      (90°-α)=45°-        α.
       2                   2
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