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人教版(新)数学八年级上册第十三章第一节线段垂直平分线的性质课件

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初中数学审核员

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§13.1.2  线段垂直平分线的性质


      海伦农场学校  王鑫男
1.了解轴对称及线段垂直平分线的性质和判定.
2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题. 
3.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对
称图形的对称轴.
4.作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的
尺规作图.
                     忆一忆

                  如果一个平面图形沿一条直线 折叠     .直
                  线两旁的部分能够 互相重合       ,这个图形
                  就叫做轴对称图形.折痕所在的这条直线
                  叫做_________.对称轴


把一个图形沿着某一条直线_______折叠       ,如

果它能够______________________与另一个图形重合,那么
就说这两个图形关于这条直线(成轴
)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后

重合的点是对应点       ,叫做_________对称点.
  画线段AB的垂直平分线l,在l上任意取点P,量一量点P到A与B
  的距离.你有什么发现?再取几个点试试.你能说明理由吗?
                                                   P
 发现: P到A的距离与P到B的距离相等.
 已知:如图.AC=BC. PC⊥AB,P是MN上任意一点.
 求证:PA=PB.                                        ┓
                                          A               B
证明:∵MN⊥AB,                                         C
            ∴ ∠PCA=∠PCB=90°
       在△APC与△BPC中:
        PC=PC(公共边)
        ∠PCA=∠PCB(已证)
        AC=BC(已知)                 反过来,若AP=BP,则P在线段
   ∴△     ≌△
       PCA   PCB(SAS)             AB的垂直平分线上.
   ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
    结论:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条
    线段的垂直平分线上.
已知: 两点A、B,和点A、B的距离相等的点应在什么位置?

 性质定理:在线段垂直平分线上
 的点到线段两个端点距离都相等.

 逆定理:与线段两个端点距离相
 等的点都在线段的垂直平分线上.
 线段垂直平分线可以看作是与线段两                A            B
 个端点距离相等的所有点的集合.
 常用于证明线段相等
           角的平分线                       线段的垂直平分线

             A
        D
                 C                           M
             P                                  P

  O                                    A             B
           E      B
                                             N

 定理1  在角的平分线上的点到这个             定   理   线段垂直平分线上的点和这
 角的两边的距离相等。                    条线段两个端点的距离相等。

 定理2  到一个角的两边的距离相等             逆定理   和一条线段两个端点距离相
 的点,在这个角的平分线上。                 等的点,在这条线段的垂直平分线上
                               。
        角的平分线是到角的两边距离          线段的垂直平分线可以看作是和线段
相等的所有点的集合                     两个端点距离相等的所有点的集合
    点的集合是一条射线                       点的集合是一条直线
试一试
  已知:△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点P.
  求证:PA=PB=PC.                           M   C
 证明:
     ∵MN⊥AB,P在MN上                                F
     ∴PA=PB                               P
     同理:PB=PC                 E
     ∴PA=PB=PC
                               A         N       B

  结论:三角形三边的垂直平分线交于一 
  点,并且这点到三个顶点的距离相等.
试一试
 3.如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D.
 求△BCD的周长.
   解: ∵ED是线段AB的垂直平分线.
                                             A
      ∴ BD=AD
       ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
      ∴ △BCD的周长=AD+DC+BC                E       D
                   =AC+BC=12+7=19
                                      B          C
尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知:直线AB和AB外一点C.
作法:                                      C
 1.在直线AB的另一侧任取一点K.

 2.以C点为圆心,以CK长为半径画弧                D        E
 ,交直线AB于点D和E.                  A              B
                                    K
 3.分别以点D和E为圆心,以大于  DE
 长为半径画弧,两弧相交于F.
                                       F
 4.作直线CF.
 直线C F就是所求的垂线.
                     练习

1 、如图,AB=AC,MB=MC,直线AM是线
段BC的垂直平分线吗?


2、如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC 
、CE 的长度有什么关系?AB+BD 与DE有什么关系?

AC=CE

AB+BD=DE
                    练一练
1.下列说法:
①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;
②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;
③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;
④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.
其中正确的个数有                          (  )C
A.1个    B.2个          C.3个      D.4个
                                            M
2.如图,NM是线段AB的垂直平分线,下列说
法正确的有:  ①②    ③  .
                                     A          B
①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB,                    D

④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线.                         N
3.在△ABC中,∠ACB=90°,
AB=8cm,BC的垂直平分线DE交
AB于D点,则CD=_____4cm .


4、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC,则: 
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;10
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.20°  
5、如图所示,在△ABC中,AB=AC=32,
MN是AB的垂直平分线,且有BC=21,求
△BCN的周长.


6、如图,在△ABC中,ED垂直平分AB,
1) 若BD=10,则AD=             .
2) 若∠A=50°,则∠ABD=          .
3) 若AC=14,△BCD的周长为      24,则BC=             .
                    小结

1、性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点
             的距离相等.
2、逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线
           段的垂直平分线上.

                  线段垂直平分线上的点和这条
      点P在线段       线段两个端点的距离相等
      AB的垂直平                          PA=PB
      分线上        和一条线段两个端点距离相等的
                 点,在这条线段的垂直平分线上
3、线段的垂直平分线的集合定义:
   线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等
   的所有点的集合.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        天天向上
好好学习
§13.1.2  线段垂直平分线的性质
         第二课时
1.能用尺规作线段的垂直平分线.
2.进一步了解作图的一般步骤和作图语言,了解作
图的依据.
3.运用尺规作图的方法解决简单的作图问题.
学习重点:
  作线段的垂直平分线. 
                  忆一忆


  轴对称的性质是什么? 
  说一说 线段垂直平分线的性质.   
  如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线?  
我们已能用尺规完成:
 (1)作一条线段等于已知线段;
 (2)作一个角等于已知角;
 (3)作一个角的平分线;
 (4)经过已知直线外一点作这条直线的垂线.  

  那么利用尺规还能解决什么作图问题呢?   
 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢?
 不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗? 
 如果两个图形成轴对称,怎样作出
 图形的对称轴?   
如果两个图形成轴对        称,其对称轴是任
何一对对应     点所连线    段的垂直平分线.因
此.只要找到任意一组对应          点,作出对应
点所连线    段的垂直平分线,就得到此图
形的对称轴.
               作线段AB 的垂直平分线  

例2 如图,点A 和点B 关于某条直线成轴对称,你能作出这
条直线吗? 

 作法:连接A,B 
1.分别以点A.B为圆心.以大于  AB
的长为半径作弧,两弧相交于C,D 
两点;
 2.作直线CD.
                           A                  B
   CD 就是所求作的直线. 

这种作法的依据是什么?
这种作图方法还有哪些作用?
  确定线段的中点. 
                作轴对称图形的对称轴

对于轴对称图形.只要找到任意一组对应点.作出对应
点所连线段的垂直平分线.就得到此图形的对称轴.

如图中的五角星,请作出它的一条对称轴.  

 作法:
 1.找出五角星的一对
 对应点A和B,连接AB.
 2.作出线段AB的垂直平分线n.
 则n就是这个五角星的一条对称轴. 
                                   A        B
               作轴对称图形的对称轴

你能作出这个五角星的其他对称轴吗?它共有几条对称轴?

 五角星的对称轴有什么特点? 

 相交于一点.  
练习

1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下.你们
作出的对称轴一样吗?
练习

2.如图,角是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什
么?
练习

3.如图,与图形A 成轴对称的是哪个图形?画出它的对
称轴.


             A              B


             C              D
                    做一做
1.正方形ABCD边长为a,点E,F分别是对角线BD上的两点,
过点E,F分别作AD,AB的平行线,如图所示,则图中阴影部
分的面积之和等于      .

运用轴对称、转化的思想,阴影部
分面积等于正方形面积的一半.
2. 有A,B,C三个村庄,现准备要建一所学校,要求学
校到三个村庄的距离相等,请你确定学校的位置.

【提示】学校在连接任意两
点的两条线段的垂直平分线

的交点处.                            A

                                           C
                              B
3.如图,如果△ACD的周长为18cm,△ABC的周
长为28cm, DE是BC的垂直平分线,根据这些条
件,你可以求出哪条线段的长? 

【解析】

 (1)△ACD的周长=AD +CD+AC=18cm.
 (2)△ABC的周长=AB+AC+BC=28cm.

 (3)由DE是BC的垂直平分线得:BD=CD;
      所以AD+CD=AD+BD=AB.
 (4)由(2)中式子-(1)中式子得BC=10cm.
4.如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共
汽车站.使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建
在什么地方?
 【提示】连接AB,作AB的垂直平分线,则与公路的交点就
 是要建的公共汽车站.
5.求作一点P,使它和已△ABC的三个顶点
距离相等.

                                     A

                                 ·P
                       B                   C
试一试


 解:
                      小结

 通过本课时的学习,需要我们:
1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质.

2.会灵活运用这些性质来解决问题.

3.用尺规作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个

轴对称图形的一条对称轴的方法.

4.找出轴对称图形的任意一对对应点,连接这对对应点,

作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形

的一条对称轴.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        天天向上
好好学习
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