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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节垂直于弦的直径课件

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初中数学审核员

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24.124.1    圆圆

 (第(第22课时)课时)
    赵州桥原名安济桥,俗称大石桥,建于
隋炀帝大业年间(595-605年),至今已有
1400年的历史,是今天世界上最古老的石拱
桥。上面修成平坦的桥面,以行车走人.赵州
桥的特点是“敞肩式”,是石拱桥结构中最
先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它
的桥身弧线优美,远眺犹如苍龙飞驾,又似
长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。
充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品
,称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991
年被列为世界文化遗产. 
赵州石拱桥
    1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆
弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦
的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).


                        A                    B

                                    O
24.1.2 垂直于弦的直径

                  ———(垂径定理)
  1、举例什么是轴对称图形。

      如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互
  相重合,那么这个图形叫做轴对称图形。

  2、举例什么是中心对称图形。

     把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形
 能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图
 形。
  3、圆是不是轴对称图形?

    圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线
都是它的对称轴。  
  实践探究

       把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几
  次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?

可以发现:

       圆是轴对称图形,任何一条直径
所在直线都是它的对称轴. 

                                   ●O
 思考

如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?

(1)是轴对称图形.直径CD所在的                         C
直线是它的对称轴
 (2)  线段:  AE=BE                           ·O

       ⌒     ⌒        ⌒     ⌒             E
  弧:AC=BC ,AD=BD                     A           B
                                           D
     想一想:     条件                 结论
            CD为⊙O的直径             AE=BEAE=BE
                                 ⌒   ⌒
            CD⊥AB                        AC=BCAC=BC
                                 ⌒   ⌒
      C                          AD=BDAD=BD

      . O         垂径定理:
       E
A            B    垂直于弦的直径平分弦,

       D          并且平分弦对的两条弧。
                                     C
  垂径定理
         垂直于弦的直径平分弦,垂直于弦的直径平分弦,
  并且平分弦所对的两条弧.                       ·O

                                    E
                               A
     题设                   结论              B
                                     D
                      (3)平分弦
(1)直径
                      (4)平分弦所对的优弧
(2)垂直于弦}         {
                      (5)平分弦所对的劣弧

                      ③AE=BE,
      ① CD是直径 可推得
                      ④AC=BC,⌒ ⌒
  ② CD⊥AB                  ⌒
                      ⑤AD=BD.⌒
            垂径定理三种语言

• 定理  垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

      C       如图∵ CD是直径,
A           B        CD⊥AB,
    M└
                  ∴AM=BM,
       ●O                     ⌒
                    AC⌒ =BC,⌒      ⌒AD  =BD.

      D                   CD平分弦AB
         CD为直径
   条件                结论   CD平分弧ACB
         CD⊥AB
                          CD平分弧ADB
                                     C
推论:平分弦(不是直径

)的直径垂直于弦,并且                          · O

平分弦所对的两条弧.                          E
                                A         B
                                     D
  推论:
                                ②CD⊥AB,
 n由  ① CD是直径
                      可推得         ⌒  ⌒
       ③ AM=BM                 ④AC=BC,
                                  ⌒   ⌒
                               ⑤AD=BD.

          在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等
          的线段或相等的圆弧.
练习1       D
                            A                  B        E       A

                                                        O
           O             C   E     O

  A      E        B
                            B
          C                                            D
       A                       C
                                                D

            O
                                  O                     O
               E
    C              D                            A              B
                          A   E         B            E
                B
                               D                        C
判断下列图形,能否使用垂径定理?
  


     注意:定理中的两个条件
     (直径,垂直于弦)缺一
     不可!
        练习 2

1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm,               O
   那么圆心O到弦AB的距离是      。
                                 A  E B

2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的              O

   距离为3cm,则弦AB的长是   8cm    。     A  E  B

                                    O
3.半径为2cm的圆中,过半径中点且
                                A  E   B
   垂直于这条半径的弦长是      。
  A          B
        .               O.
        O              E
                  A  C    D   B

方法归纳:
         解决有关弦的问题时,经常连接半径;
 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线,为
 应用垂径定理创造条件。
         垂径定理经常和勾股定理结合使用。
     讲解   垂径定理的应用

例1    如图,已知在⊙O中,
                      A     E    B
弦AB的长为8cm,圆心O到              .
AB的距离为3cm,求⊙O的半             O
径。
 2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相
 等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,
 求证四边形ADOE是正方形.
证明:

   ∴四边形ADOE为矩形,

   又 ∵AC=AB              C
   ∴ AE=AD
                         E   · O
   ∴ 四边形ADOE为正方形.
                        A    D    B
已知:如图1,在以O为圆
心的两个同心圆中,大圆的
弦AB交小圆于C,D两点。
                                 O.
求证:AC=BD。                       E
                          A   C      D   B

                                 图1
 再逛赵州石拱桥
        1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱
桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对
是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的
距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精
确到0.1m).
         如图,用      表示桥拱,     所在圆的圆心为O,半径为Rm,
 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与      相交于点C.根
 据垂径定理,D是AB的中点,C是      的中点,CD就是拱高.
 由题设知                                    37.4
                             7.2

                                   18.718.7 D

  在Rt△OAD中,由勾股定理,得                 R   R-7.2R-7.2


 解得 R≈27.9(m).
答:赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
课
堂    请围绕以下两个方面小结本节课:
小
结    1、从知识上学习了什么?

        圆的轴对称性;垂径定理
     2、从方法上学习了什么?
 (1)垂径定理和勾股定理结合。
 (2)在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
           ——过圆心作垂直于弦的线段;
           ——连接半径。
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