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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节垂直于弦的直径教案

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初中数学审核员

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                                        24.1.2 垂直于弦的直径

    1.理解圆的对称性.
    2.通过圆的轴对称性质的学习,理解垂直于弦的直径的性质.
    3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.

    阅读教材第     81 至 83 页内容,并完成下列问题.
    知识探究
    1.圆是________对称图形,任何一条________________都是它的对称轴,它也是中心对称图形,对称中心为
________.
    2.垂径定理:垂直于弦的直径________弦,并且________弦所对的两条弧,即一条直线如果满足:①AB                                   经
过圆心   O 且与圆交于      A、B  两点;②AB⊥CD      交  CD 于 E;那么可以推出:
    ③________;④________;⑤________.
    3.推论:________弦(________)的直径垂直于弦,并且________弦所对的两条弧.
    自学反馈


    1.如图,弦     AB 垂直于直径      CD 于 E,写出图中所有的弧
________________________________________________;优弧有:________________________________;劣弧有:
________________________________;最长的弦是:________;相等的线段有:____________________;相等的
弧有:________________________________;此图是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?
________________.
    2.在⊙O    中,直径为     10 cm,圆心   O 到 AB 的距离为     3 cm,则弦   AB 的长为________.
    3.在⊙O    中,直径为     10 cm,弦  AB 的长为    8 cm,则圆心    O 到 AB 的距离为________.
            圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个,即可求出另一个.
    4.⊙O   的半径   OA=5 cm,弦    AB=8 cm,点    C 是 AB 的中点,则     OC  的长为________.
            已知弦的中点,连接圆心和中点构造垂直是常用的辅助线.
    5.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为                   24 米,拱的半径为      13 米,则拱高为________米.
            圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个,即可求出另一个.
    6.⊙O   的半径是    5,P  是圆内一点,且       OP=3,过点    P 最短弦的长是________,最长弦的长为________.
            过点   P 最短弦即为与      OP 垂直的弦,最长弦即为直径.

    活动  1 小组讨论
    例 1 AB   是⊙O  的直径,弦      CD⊥AB,E    为垂足,若     AE=9,BE=1,求      CD 的长.
    解:6.
            常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
    例 2 ⊙O   的半径为     5,弦  AB 的长为   8,M  是弦   AB 上的动点,则线段        OM  的长的最小值为       3.最大值为     5.
            当  OM  与 AB  垂直时,OM     最小(为什么);当      M  在 A(或 B)处时,OM     最大.


    例 3 已知:如图,线段         AB  与⊙O  交于   C、D  两点,且    OA=OB.求证:AC=BD.
    证明:作    OE⊥AB   于 E.则  CE=DE.
    ∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE.
    ∴AE-CE=BE-DE,
    即 AC=BD.
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            过圆心作垂径是圆中常用辅助线.
    活动  2 跟踪训练
    1.在直径是     20 cm 的⊙O  中,∠AOB     的度数是    60°,那么弦     AB 的弦心距是________.
            这里利用     60°角构造等边三角形,从而得出弦长.
    2.弓形的弦长为       6 cm,弓形的高为      2 cm,则这个弓形所在的圆的半径为________.
    3.如图,AB     为⊙O   的直径,E    是B︵C中点,OE     交 BC 于点  D,BD=3,AB=10,则        AC=________.


    4.如图,OE、OF      分别为⊙O     的弦  AB、CD   的弦心距,如果       OE=OF,那么________.(只需写一个正确的结
论即可)


                                             
    5.已知:如图,在以         O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦               AB 交小圆于    C、D  两点.求证:AC=BD.


            过圆心作垂径.
    6.如图,⊙O      直径  AB 和弦   CD 相交于点    E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦             CD 长.


            先过圆心作垂径,将          30°角放在直角三角形中,求出弦心距,再连半径构造由半径、半弦、弦心距
组成的直角三角形.
    7.已知⊙O     的直径是    50 cm,⊙O  的两条平行弦       AB=40 cm,CD=48 cm,求弦       AB 与 CD 之间的距离.
            分情况讨论:①AB、CD          在点   O 两侧;②AB、CD      在点   O 同侧.
    活动  3 课堂小结
    垂径定理及其推论,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形).


    【预习导学】
    知识探究
    1.轴 直径所在的直线 圆心 2.平分 平分 CE=DE C︵B=D︵B C︵A=D︵A 3.平分 不是直径 平分
    自学反馈
    1.A︵D、D︵B、B︵C、A︵C、A︵B、A︵CB、C︵AD、C︵BD、D︵CB、A︵BC、D︵CA、C︵AB A︵CB、D︵CB、A︵BC、D︵CA、C︵AB 
A︵D、B︵D、B︵C、A︵C、A︵B CD AE=EB,CO=DO A︵D=D︵B,A︵C=B︵C,C︵AD=C︵BD 是,CD                  所在的直线 2.8 
cm 3.3 cm 4.3 cm 5.8 6.8 10
    【合作探究】
    活动  2 跟踪训练
                 13
    1.5  3  cm 2. 4  cm 3.8 4.AB=CD 5.证明:过点         O 作 OE⊥AB   于点   E.则 AE=BE,CE=DE,∴AE-
CE=BE-DE,即      AC=BD. 6.作    OF⊥CD  于点   F,连接   OD.∵AE=2,EB=6,∴AB=8.∴AO=4.∴EO=
                                     1
2.∵∠DEB=30°,∠OFE=90°,∴OF=2OE=1.在              Rt△ODF  中,∵OD=4,OF=1,∴DF=            OD2-OF2=   15.
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
∴CD=2DF=2     15. 7.过点  O 作直线   OE⊥AB   于点   E,直线   OE 与  CD 交于点   F.由 AB∥CD,则     OF⊥CD.①当
AB、CD   在点  O 两侧时,如图      1.连接  AO、CO,则     AO=CO=25     cm,AE=20     cm,CF=24    cm.由勾股定理知
OE=15 cm,OF=7 cm.∴EF=OE+OF=22 cm,即          AB 与  CD 之间距离为     22 cm.


                                                       图  1


                                                         图  2


    ②当  AB、CD   在点   O 同侧时,如图      2,连接   AO、CO.则   AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.由勾股定
理知   OE=15  cm,OF=7   cm.∴EF=OE-OF=8      cm,即   AB 与 CD 之间距离为      8 cm.由①②知   AB  与 CD 之间的距
离为   22 cm 或 8 cm.
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