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2015年临沂市中考数学试题

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初中数学审核员

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                     2015  年临沂市初中学生学业考试试题

                                       数  学

注意事项:

   1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共                        8 页,满分    120 分,考试时间      120 分
钟.答卷前,考生务必用          0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的
位置.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
   2.答题注意事项见答题卡,答在本试卷上不得分.

                          第Ⅰ卷(选择题                 共   42 分)

   一、选择题(本大题共          14 小题,每小题      3 分,共   42 分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 
        1
   1.    的绝对值是
        2
       1                1
   (A)   .         (B)  .            (C)  2.             (D)  2.
       2                2

   2.如图,直线       a∥b,∠1 = 60°,∠2 = 40°,则∠3  等于
                                                             a   1                  2
   (A) 40°.
                                                                        3
   (B) 60°.
                                                             b
   (C) 80°.
   (D) 100°.

   3.下列计算正确的是                                                       (第  2 题图)

   (A) a2  a2  2a4 .                  (B) (a2b)3  a6b3 .

   (C) a2  a3  a6 .                   (D) a8  a2  a4 .

   4.某市    6 月份某周内每天的最高气温数据如下(单位:℃):24                       26  29  26  29  32  29

   则这组数据的众数和中位数分别是

   (A) 29,29.      (B) 26,26.       (C) 26,29.          (D) 29,32.
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   5.如图所示,该几何体的主视图是


                                                                 
                         (A)        (B)               (C )           (D) 
   (第  5 题图)
               2x   6,
   6.不等式组                的解集,在数轴上表示正确的是
               x  2 ≤ 0


          -3  -2  -1    0    1    2          -3  -2  -1    0    1    2

                   (A)                                  (B)


          -3  -2  -1    0    1    2           -3  -2  -1    0    1    2
                   (C)                                   (D)

   7.一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖

和茶杯随机地搭配在一起.          则其颜色搭配一致的概率是
       1              1                   3
   (A)   .         (B)  .             (C)   .             (D)  1.
       4               2                  4

                                                o
   8.如图    A,B,C   是 e O 上的三个点,若      AOC  100 ,则  ABC  等于               O
   (A) 50°.                           (B) 80°.
                                                                      A            C
   (C) 100°.                          (D) 130°.
                                                                              B
               2            2
   9.多项式    mx   m 与多项式   x  2x 1 的公因式是                              (第  8 题图)
   (A) x 1.                          (B) x 1.
   (C) x2 1.                         (D) x 12 .

   10.已知甲、乙两地相距          20 千米,汽车从甲       地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间               t(单位:小时)关

于行驶速度    v(单位:千米/小时)的函数关系式是

   (A) t  20v .     (B) t  20 .         (C) t  v .     (D) t  10 .
                            v                20                 v

   11.观察下列关于       x 的单项式,探究其规律:x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,….
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    按  照上述规律,第       2015 个单项式是

    (A) 2015x2015.      (B) 4029x2014.         (C) 4029x2015.      (D) 4031x2015.
                                                                                E
    12.如图,四边形       ABCD  为平行四边形,延长         AD 到 E,使

DE=AD,连接     EB,EC,DB.    添加一个条件,不能使四边形
                                                                     D                   C

DBCE  成为矩形的是

    (A) AB=BE.          (B) BE⊥DC.                           A                 B
    (C) ∠ADB=90°.      (D) CE⊥DE.
                                                                     (第   12 题图)
                      2                           2
    13.要将抛物线      y  x  2x  3 平移后得到抛物线     y  x ,下列平移方法正确的是

    (A) 向左平移    1 个单位,再向上平移         2 个单位.

    (B) 向左平移    1 个 单位,再向下平移        2 个单位.

    (C) 向右平移    1 个单位,再向上平移         2 个单位.

    (D) 向右平移    1 个单位,再向下平移         2 个单位.

                                                        1
    14.在平面直角坐标系中,直线             y =-x+2  与反比例函数      y  的图象有唯一公共点.         若直线
                                                        x
                        1                                            y
 y  x  b 与反比例函数   y   的图象有    2 个公共点,则      b 的取值范围是
                         x

    (A)  b﹥2.  
                                                                     2

    (B) -2﹤b﹤2.  
                                                                     O      2         x
    (C)  b﹥2 或 b﹤-2.

    (D)  b﹤-2.

                                                                   (第  14 题图)
                                 第Ⅱ卷(非选择题                   共  78  分)

 注意事项:

    1.第Ⅱ卷分填空题和解答题.

    2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用                0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内,在试卷上答题不
 得分.
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    二、填空题(本大题共          5 小题,每小题      3 分,共   15 分)

    15.比较大小:2_______       3 (填“﹤”,“=”,“﹥”).

                a      4
    16.计算:                 ____________. 
               a  2 a2  2a
                                                            3
    17.如图,在Y       ABCD 中,连接    BD,  AD   BD , AB  4 , sin A  ,则Y ABCD 的面积是________.
                                                            4
                                                                    A

                      D                   C
                                                          E            D
                                                                O
                 A                  B               B                    C

                      (第   17 题图)                         (第   18 题图)

    18.如图,    在△ABC   中,BD,CE    分别是边     AC,AB  上的中线,BD      与 CE 相交于点    O,则

 OB
     _________.
 OD

    19.定义:给定关于        x 的函数   y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),

 当 x1﹤x2 时,都有  y1﹤y2,称该函数为增函数.        根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有

______________(填上所有正确答案的序号).

                                                           1
    ① y = 2x;    ② y =  x+1;    ③ y = x2 (x>0);    ④ y   .
                                                           x

    三、解答题(本大题共          7 小题,共    63 分)

    20.(本小题满分       7 分)

    计算:    ( 3  2 1)( 3  2 1) .


    21.(本小题满分       7 分)

    “保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了                                       2014 年

 内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息

 未给出).
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   请你根据图中提供的信息,解答下列问题:

   (1)补全条形统计图;

   (2)估计该市这一年(365          天)空气质量达到“优”和“良”的总天数;

   (3)计算随机选取这一年内的某一天,空气质量是“优”的概率.

       某市若干天空气质量情况条形统计图                           某市若干天空气质量情况扇形统计图


   天数        36
    36
                                                                         轻微污染
    30

    24                                                                   轻度污染
                                                              5%
    18                                                                   中度污染
                                                   良
         12
    12
                                                            优            重度污染
     6                3
                          2   1
     0
         优      良 轻微 轻度   中度  重度  空气质
                 污染  污染   污染  污染  量类别

                                        (第   21 题图)

   22.(本小题满分       7 分)

   小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为                     30°,看这栋楼底部的俯角为          60°,小强家与这栋楼的

水平距离为     42m,这栋楼有多高?

                                                   B

                                       A   α
                                                 D
                                           β


                                                                      C
                                                  C
                                  (第   22 题图)
                                                                              D
23.(本小题满分       9 分)                                               E

   如图,点     O 为 Rt△ABC 斜边   AB 上的一点,以      OA 为半径的⊙O     与
                                                              A                             B
                                                                         O


                                                                  (第  23 题图)
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BC 切于点   D,与   AC 交于点   E,连接   AD.

   (1)求证:AD      平分∠BAC;

   (2)若∠BAC = 60°,OA = 2,求阴影部分的面积(结果保留                  ).


   24.(本小    题满分    9 分)

   新农村   社区改造中,有一部分楼盘要对外销售.                   某楼盘共    23 层,销售价格如下:第八层楼房售价为

4000 元/米  2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高                    50 元;反之,楼层每下降一层,每平方米的

售价降低    30 元,已知该楼盘每套楼房面积均为              120 米 2. 

   若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:

   方案一:降价       8%,另外每套楼房赠送         a 元装修基金;

   方案二:降价       10%, 没有其他赠送.

   (1)请写出售价       y(元/米     2)与楼层   x(1≤x≤23,x   取整数)之间的函数关系式;

   (2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.


   25(本小题满分      11 分)

   如图   1,在正方形     ABCD  的外侧,作两个等边三角形           ADE  和 DCF,连接    AF,BE.

   (1)请判断:AF       与 BE 的数量关系是       ,位置关系是       ;

   (2)如图     2,若将条件“两个等边三角形            ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形            ADE 和 DCF,且

EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;

   (3)若三角形       ADE 和 DCF  为一般三角形,且        AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?

请直接写出你的判断.
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           B           A               B            A           B            A

                                 E                      E

           C            D              C            D           C            D
                                             F

                 F

                图 1                           图 2                   备用图

                                       (第   25 题图)
    26.(本小题满分      13 分)
    在平   面直角坐标系中,O        为原点,直线      y =-2x-1  与 y 轴交于点    A,与  直线   y =-x 交于点   B, 点 B 关
于  原点的对称点为点        C.
    (1)求过     A,B,C   三点的抛物线的解析式;
                                                                       y
    (2)P   为抛物线上一点,它关于原点的对称点为                 Q.
    ①当四边形      PBQC  为菱形时,求点       P 的坐标;
    ②若点    P 的横坐标为     t(-1<t<1),当       t 为何值时,四
                                                             B
边形   PBQC 面积最大,并说明理由.

                                                                       O
                                                                                     x

                                                                    A         C

                                                                                   y  x
                                                                       y  2x 1

                                                                  (第  26 题图)
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                       参考答案及评分标准

说明:解答题给出了部分解答方法,考生若有其它解法,应参照本评分标准给                                 分.
一、选择题(每小题         3 分,共   42 分)
    题号     1    2    3    4     5    6    7    8    9    10   11   12   13   14
    答案     A    C    B    A    D    C     B    D    A    B    C    B     D    C
二、填空题(每小题         3 分,共   15 分)
15  >        16   a  2       17  3 7        18  2        19  ①③.
  .  ;         .   a  ;         .     ;        .  ;         .
三、解答题
20.解:方法一:       ( 3  2 1)( 3  2 1)  
               = [ 3  ( 2 1) ][ 3  ( 2 1) ] ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
                    2        2
               = ( 3)  ( 2 1) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
                3  (2  2 2 1) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
                3  2  2 2 1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
                2 2 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
方法二:    ( 3   2 1)( 3  2 1)
          2                            2
      ( 3)  3  2  3 1 2  3  ( 2)  2 11  3 1 2 11 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
      3  6  3  6  2  2  3  2 1 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
      2 2 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
21.解:(1)图形补充正确.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
                       某市若干天空气质量情况条形统计图

                   天数        36
                    36

                    30

                    24

                    18
                         12
                    12
                                  6
                     6                3
                                          2   1
                     0
                         优      良 轻微 轻度   中度  重度  空气质
                                 污染  污染   污染  污染  量类别
(2)方法一:由(1)知样本容量是               60,

∴该市   2014 年(365  天)空气质量达到“优”、“良”的总天数约为:

 12  36  365  292  .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5
   60           (天)                                                     分
方法二:由(1)知样本容量是             60,

∴该市   2014 年(365  天)空气质量达到“优”的天数约为:
                     中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 12  365  73   .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3
 60         (天)                                                         分
该市   2014 年(365 天)空气质量达到“良”的天数约为:

 36  365  219   . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4
 60          (天)                                                        分
∴ 该市  2014 年(365  天)空气质量达到“优”、“良”的总天数约为:

73+219=292(天).∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分

(3)随机选取       2014 年内某一天,空气质量是“优”的概率为:

 12  1. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7
 60  5                                                                  分
                                                                 B
22.解:如图,α = 30°,β = 60°,AD = 42.

        BD          CD                                  A  α
∵ tan    ,  tan    ,                                         D
        AD          AD
                                                           β
∴BD = AD·tanα = 42×tan30°

             3
      = 42×   = 14 3 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
            3
   CD=AD tanβ=42×tan60°

      =42  3 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
                                                                 C
∴BC=BD+CD=14       3 +42  3

      =56  3 (m).

因此,这栋楼高为        56  3 m. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
                                                 C
23.(1)证明:连接        OD.
                                              E          D
∵BC 是⊙O   的切线,D     为切点,

∴OD⊥BC.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分

又∵AC⊥BC,                                A                              B
                                                   O
∴OD∥AC,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分

∴∠ADO=∠CAD.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分

又∵OD=OA,

∴∠ADO=∠OAD,    ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分

∴∠CAD=∠OAD,即     AD 平分∠BA   C. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分

(2)方法一:连接        OE,ED.                          C

∵∠BAC=60°,OE=OA,                              E          D

∴△OAE  为等边三角形,
∴∠AOE=60°
          ,                             A                              B
                                                   O
                     中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

∴∠ADE=30°. 
  ∵ OAD   1 BAC  30
又          2           ,
∴∠ADE=∠OAD,

∴ED∥AO,   ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分

∴S△AED=S△OED,

∴               = S       = 60  4  2  .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9
  阴影部分的面积          扇形 ODE     360    3                                  分
方法二:同方法一,得          ED∥AO,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分

∴四边形    AODE 为平行四边形,

∴S      S    1  2 3  3. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7
   V AED VOAD  2                                                        分
   S        S    = 60  4  3  2   3. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8
又   扇形 ODE-  △OED    360        3                                       分

∴               = (S       S    ) + S   = 2   3  3  2  .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9
  阴影部分的面积           扇形 ODE- △OED    △AED  3            3                分
24.解:(1)当      1≤x≤8  时,y=4000-30(8-x)

                           =4000-240+30 x

                           =30 x+3760;∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分

            当 8<x≤23  时,y=4000+50(x-8)

                            =4000+50 x-400

                            =50 x+3600. 
                    30x  3760  (1≤x≤8,x   为整数),
∴所求函数关系式为         y                                  ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
                    50x  3600  (8<x≤23,x    为整数).

(2)当    x=16 时,

方案一每套楼房总费用:

    w1=120(50×16+3600)×92%-a=485760-a;         ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分

方案二每套楼房总费用:

    w2=120(50×16+3600)×90%=475200.      ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分

∴当  w1<w2 时,即    485760-a<475200  时,a>10560;

  当  w1=w2 时,即    485760-a=475200  时,a=10560;

  当  w1>w2 时,即    485760-a>475200  时,a<10560.

因此,当每套      赠送装修基金多于        10560 元时,选择方案一合算;

当每套赠送装修基金等于           10560 元时,两种方案一样;

当每套赠送装修基金少于           10560 元时,选择方案二合算.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分

25.解:(1)AF=BE,AF⊥BE.        ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
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(2)结论成立.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分

证明:∵四边形       ABCD 是正方形,

∴BA=AD =DC,∠BAD =∠ADC = 90°.
                                                                     A
在△EAD   和△FDC   中,                                      B
 EA  FD,
                                                                        E
 ED  FC,
 AD  DC,
                                                       C            D
∴△EAD≌△FDC.
                                                              F
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA,即∠BAE=∠ADF.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分

在△BAE   和△ADF  中,
 BA  AD,
 
 BAE  ADF,
 
 AE  DF,
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF,∠ABE=∠DAF.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分

∵∠DAF +∠BAF=90°,

∴∠ABE +∠BAF=90°,

∴AF⊥BE.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分

(3)结论都能成立.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
                     y  2x 1, x  1,
26.解:(1)解方程组                   得 
                     y  x,     y 1.

∴点  B 的坐标为(-1,1).      ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分

∵点  C 和点  B 关于原点对称,

∴点  C 的坐标为(1,-1).∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分

又∵点   A 是直线   y=-2x-1 与 y 轴的交点,

∴点  A 的坐标为(0,-1).      ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分

设抛物线的解析式为         y=ax2+bx+c,
  a  b  c 1,  a 1,
                 
∴ a  b  c  1,解得 b  1,
                 
  c  1.        c  1.

∴抛物线的解析式为         y=x2-x-1. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分

(2)①如图      1,∵点  P 在抛物线上,

∴可设点    P 的坐标为(m,m2-m-1).

当四边形     PBQC 是菱形时,O      为菱形的中心,
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∴PQ⊥BC,即点     P,Q  在直线    y = x 上,

∴m = m2-m-1,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分

解得   m = 1±  2 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分

∴点  P 的坐标为(1+      2 ,1+   2 )或(1-    2 ,1-  2 ). ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
               y                                        y
                   y  x2  x 1                            y  x2  x 1

                                                   E
     B                                       B          Q
                 Q
                                                   D   O
              O             x                                        x
        P
                                                   P
                      C                                A
           A                                       F          C

                           y  x                                   y  x
              y  2x 1                                y  2x 1
                      图 1                                      图 2

②方法一:

如图   2,设点   P 的坐标为(t,t2 - t - 1).

过点   P 作 PD∥y 轴,交直线     y = - x 于点 D,则   D(t,- t).

分别过点     B,C  作 BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分别为点            E,F.

∴PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1,BE + CF = 2, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
        1         1
∴S PBC=   PD·BE +  PD·CF
   △    2         2
          1
       =   PD·(BE + CF)
          2
          1
       =   (- t2 + 1)×2
          2
       =- t2 + 1. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分

            2
∴SY PBQC =-2t +2.

∴当  t=0 时,SY  PBQC 有最大值   2. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分

方法二:

如图   3,过点   B 作 y 轴的平行线,过点        C 作 x 轴的平行线,两直线交于点           D,连接    PD.

∴S△PBC=S△BDC-S△PBD-S△PDC
          1      1           1
       =   ×2×2-   ×2(t+1)-    ×2(t2-t-1+1)
          2      2           2
       =-t2+1. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分

            2
∴SY  PBQC =-2t +2.
                     中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


∴当   t=0 时,SY  PBQC 有最大值   2. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分


                 y
                                                          y
                    y  x2  x 1
                                                             y  x2  x 1

      B          Q
                                               B          Q
                O
                              x                          O
                                                          E            x
            P
                                                             F
       D               C                             P
              A                                                 C
                                                       A
                            y  x
                y  2x 1                                           y  x
                       图 3                                    y  图2x41
方法三:如图       4,过点   P 作 PE⊥BC,垂足为      E,作   PF∥x 轴交  BC 于点  F.

∴PE=EF.
∵点  P 的坐标为(t,t2-t-1),

∴点  F 的坐标为(-t2+t+1,t2-t-1).

∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1.
        2
∴PE=     (-t2+1).∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
       2

        1         1         2    2
∴S PBC=   BC·PE=   × 2 2 ×    (-t +1)
   △    2         2        2
       =-t2+1. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分

            2
∴SY PBQC =-2t +2.


∴当  t=0 时,SY  PBQC 有最大值   2.
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