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2018年中考数学复习-线段、角与相交线

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初中数学审核员

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                           考点二十四:线段、角与相交线 

聚焦考点☆温习理解

一、线段、射线、直线
1.线段的基本性质
在所有连结两点的线中,线段最短.
2.直线的    基本性质
经过两点有一条而且只有一条直线.
二、角与角的计算
1.角的基本概念
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角;如果一个角的两边成一条直线,那么这个角叫做平角;等于
90°的角是直角;大于直角小于平角的角是钝角,小于直角的角是锐角.
2.角的计算与换算
1 周角=360   度,1   平角=180   度,1  直角=90   度,1   度=60  分,1  分=60   秒.
3.余角、补角及其性质
(1)互为补角:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角 .
(2)互为余角:如果两个锐角的和是一个直角,那么这两个角互为余角.
(3)性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.
4.角平分线
(1)角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平
分线.

(2)性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等;角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三、相交线
1.邻补角、对顶角及其性质
(1)如图所示,直线       a,b  相交,形成四个角.


图中的邻补角有∠1        和∠2,∠1     和∠4,∠2    和∠3,∠3    和∠4;图中的对顶角有∠1           和∠3,∠2    和∠4.
(2)性质:邻补角互补;对顶角相等.
2.垂线及其性质
(1)垂线:当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线
叫做另一条直线的垂线.
(2)性质:①在同一平面内,过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线;②一般地,连结直线外一
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点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
3.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、线段与直线的性质
【例   1】如图,经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线.能解释这
一实际应用的数学知识是(       )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直


【答案】A.


考点:直线的性质:两点确定一条直线.
【点睛】本题考查了线段的性质,牢记线段的性质是解题关键.

【举一反三】
把一条弯曲的公路改成直道,可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是(      )
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短       
C.两点之间线段最短 
D.三角形两边之和大于第三边
【答案】C.
【解析】
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考点:线段的性质:两点之间线段最短.

考点典例二、度分秒的换算.

【例   2】(河北省唐山市路北区           2017-2018 学年期末)计算:①33°52′+21°54′=________;

②18.18°=________°________′________″.

【答案】  55°46′;   18;   10;   48  

【解析】试题解析:①原式             54106'  5546',

②18.18  18  0.18.
 0.18  0.1860 10.8 10  0.8.
 0.8  0.860  48.

18.18  18 10  48.

故答案为:①      5546',②18,10,48.

【点睛】①根据度分秒的加法:相同单位相加,满                      60 时向上一单位进      1,可得答案;

②根据大单位化小单位乘以进率,可得答案.

【举一反三】

1. 下面等式成立的是(  )

A.83.5°=83°50′    

B.37°12′36″=37.48°

C.24°24′24″=24.44°    

D.41.25°=41°15′

【答案】D

【解析】

试题分析:进行度、分、秒的加法、减法计算,注意以                        60 为进制.

A、83.5°=83°50′,错误;

B、37°12′=37.48°,错误;

C、24°24′24″=    24.44°,错误;

D、41.25°=41°15′,正确.

故选   D.

考点:度分秒的换算.

2.  2700 秒  _________度.
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         3
【答案】
         4
【解析】
                                       2700      3
试题分析:1      60'  3600",所以   2700"  (    )  ( ) .
                                       3600      4
考点:时间单位的换算.

3.(重庆市秀山县        2017-2018 学年七年级上学期八校联考)计算:48°39′+67°33′= ______ .

【答案】116°12′  

【解析】原式=48°39′+67°33′=115°72′=116°12′.

即答案为:116°12′.

考点典例三、角平分线的性质与应用

【例   3】(2017  湖南省娄底)如图,直线           AB∥CD,AE  平分∠CAB.AE    与  CD 相交于点   E,∠ACD=40°,则

∠BAE  的度数是(  )


A. 40°    B. 70°    C. 80°    D. 140°

【答案】B

【解析】试题解析:∵AB∥CD,

∴∠ACD+∠BAC=180°,

∵∠ACD=40°,

∴∠BAC=180°-40°=140°,

∵AE  平分∠CAB,
         1       1
∴∠BAE=    ∠BAC=    ×140°=70°,
         2       2
故选   B.

【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义,比较简单;做好本题要熟练掌握两直线平行①内错

角相等,②同位角相等,③同旁内角互补;并会书写角平分线定义的三种表达式:若                                    AP 平分∠BAC,则
                       1
①∠BAP=∠PAC,②∠BAP=        ∠BAC,③∠BAC=2∠BAP.
                       2
【举一反三】
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(山东省临沂市兰陵县          2016-2017 学年七年级下学期期末)如图,AD             是∠  EAC 的平分线,AD∥BC,

∠B=30°,则∠C      的度数为(  )


 
A. 50°    B. 40°    C. 30°    D. 20°

【答案】C


考点典例四、余角与补角

【例   3】(重庆市江津区        2017-2018 学年联考)已知∠α        与∠β   互余,且∠α=35°18,,则

∠β=________.

【答案】54°42'

【解析】∵∠α        与∠β   互余,

∴∠α+∠β=90°,

∴∠β=90°-∠α=90°-35°18′=54°42′,

故答案为:54°42′.

考点:互余两个角的性质
【点睛】此题主要考查了互为余角的性质,正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键.

【举一反三】

已知∠AOB    是一个直角,作射线         OC,再分别作∠AOC      和∠BOC  的平分线    OD、OE.
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(1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE            的度数;

(2)如图②,当射线         OC 在∠AOB  内绕点   O 旋转时,∠DOE     的大小是否发生变化?若变化,说明理由;若

不变,求∠DOE      的度数.

【答案】(1)45°;(2),不变,∠DOE=45°

【解析】


考点:角平分线的性质

课时作业☆能力提升

一、选择题

1.将一副三角尺按如图方式进行摆放 ,∠1、∠2                   不一定互补的是(    )


【答案】D

【解析】

试题分析:根据互余、互补的定义结合图形判断                     A 中∠1  与∠2  互补  ;根据互补的定义和平行线的性质可

得  B 中,∠1   与∠2  互补;根据直角三角形的性质和四边形的内角和可得                      C 中∠1  与∠2  互补;根据图形可
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知∠1   与∠2  都是小于直角的锐角,所有            D 中的∠1   与∠2  一定不互补,故选:D.

考点:互补.

2. (2017  河池第   2 题)如图,点     O 在直线    AB 上,若   BOC    60 ,则 AOC   的大小是()


A.  60          B. 90        C.120        D.150

【答案】C.


考点:邻补角的概念.

3. 已知∠AOB=60°,其角平分线为          OM,∠BOC=20°,其角平分线为         ON,则∠MON   的大小为

A.20°    B.40°     C.20°或       40°    D.10°或    30°

【答案】C

【解析】

试题分析:本题需要分两种情况进行讨论,当射线                      OC 在∠AOB 外部时,

∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°;当射线          OC 在∠AOB  内部时,∠MON=∠BOM-∠BON=30°-

10°=20°.

考点:角平分线的性质、角度的计算

4. (2017  年河北省石家庄市裕华区中考数学模拟)下列图形中,∠2>∠1                          的是(  )


A.                  B.              平行四边形


C.               D. 

【答案】C

【解析】试题解析:A         中∠1   与∠2  为对顶角,∴∠1=∠2;
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B 中平行四边形的对角相等,∴∠1=∠2;

C 中根据三角形任意一个外角大于与之不相                 邻的任意一内角,∴∠2>∠1.

D 中根据平行线的性质得到∠1=∠2,

故选   C.

5.           (重庆市江津区       2017-2018 学年联考)将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置,若

∠AOD=110°则∠BOC=(    )


A. 50°    B. 60°    C. 70°    D. 80°

【答案】C

【解析】∵∠AOB=90°,∠COD=90°,

∴∠AOC+∠BOC=90°,∠BOC+∠BOD=90°,

∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°,

∵∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD,

∴∠AOD+∠BOC=180°,

∵∠AOD=110°,∴∠BOC=70°,

故选   C.

6. (2017  甘肃庆阳第     6 题)将一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2                      为(  )


A.115°      B.120°      C.135°     D.145°

【答案】C.

【解析】

试题解析:如图,
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由三角形的外角性质得,∠3=90°+∠1=90°+45°=135°,

∵直尺的两边互相平行,

∴∠2=∠3=135°.

故选   C.

考点:平行线的性质;余角和补角.

7. (2017  湖南常德第     2 题)若一个角为      75°,则它的余角的度数为(  )

A.285°      B.105°      C.75°      D.15°

【答案】D.

【解析】

试题分析:它的余角=90°﹣75°=15°,故选                D.

考点:余角和补角.

8. (2017  山东烟台第     5 题)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知                    AB // CD , AE 与 AB 的夹角为

 480 ,若 CF  与 EF 的长度相等,则       C  的度数为(    )


A.  480       B. 400       C. 300        D. 240

【答案】D.

【解析】

试题解析:∵AB∥CD,

∴∠1=∠BAE=48°,

∵∠1=∠C+∠E,

∵CF=EF,

∴∠C=∠E,

       1     1
∴∠C=    ∠1=   ×48°=24°.
       2     2
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故选   D.


考点:等腰三角形的性质;平行线的性质.

9.如图,OB    是∠AOC  的角平分线,OD      是∠COE  的角平分线.如果∠AOB=40°,∠COE=60°,则∠BOD               的度  数

为【     】


   A.50°              B.60°              C.65°               D.70°

【答案】D.


考点:1.角的计算;2.角平分线的定义.

10. (2017  贵州黔东南州第       2 题)如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A            的度数是(  )


A.120°      B.90°   C.100 °     D.3 0°

【答案】C.
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【解析】

试题解析:∠A=∠ACD﹣∠B

=120°﹣20°

=100°,

故选:C. 

考点:三角形的外角性质.

11.如图,OA    是北偏东    30°方向的一条射线,若射线            OB 与射线  OA 垂直,则    OB 的方位角是(  )


A.北偏西     30°   B.北偏西    60°    C.东偏北    30°   D.东偏北    60°

【答案】B.

【解析】

试题分析:根据垂直,可得∠AOB             的度数,根据角的和差,可得答案.

试题解析:∵射线         OB 与射线  OA 垂直,


∴∠AOB=90°,

∴∠1=90°-30°=60°,

故射线    OB 的方位角是北偏西       60°,

故选:B.

考点:方向角.
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12.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上,且斜边与这根直尺平行,那么,在形成的这个图中与∠α                                         互余

的角共有(  )


    A.  4 个         B.3 个       C.2 个         D.1  个

【答案】C.

【解析】

试题分析:由互余的定义、平行线的性质,利用等量代换求解即可.

试题解析:∵斜边与这          根直尺平行,


∴∠α=∠2,

又∵∠1+∠2=90°,

∴∠1+∠α=90°,

又∠α+∠3=90°

∴与   α 互余的角为∠1      和∠3.

故选:C.

考点:平行线的性质;余角和补角.

13.如图,a∥b,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4 等于(   )

A.40°    B.50°    C.60°   D.70°


【答案】D.

【解析】

试题分析:∵a∥b,∠3=40°,∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°,∠2=∠4,∵∠1=∠2,
       1
∴∠2=     ×140°=70°,∴∠4=∠2=70°.故选          D.
       2
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14. (2017  湖北孝感第     2 题)如图,直线      a Ab  ,直线   c 与直线  a,b 分别交于点     D, E  ,射线  DF   直线

 c ,则图中   1互余的角有  (   )


A.  4  个         B. 3 个       C. 2  个       D.1 个

【答案】A

【解析】

试题分析:∵射线         DF⊥直线   c,∴∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,即与∠1            互余的角有∠2,∠3,

又∵a∥b,∴∠3=∠5,∠2=∠4,∴与∠1              互余的   角有∠4,∠5,∴与∠1         互余的角有     4 个,

故选   A.


考点:1.平行线的性质;2.余角

15. (2017  广西百色第     5 题)如图,     AM  为 BAC  的平分线,下列等式错误的是(   )


    1
A.   BAC    BAM      B. BAM    CAM      C. BAM   2CAM       D. 2CAM     BAC
    2
【答案】C

【解析】

试题分析:∵AM       为∠BAC  的平分线,
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   1
∴  2  ∠BAC=∠BAM,∠BAM=∠CAM,∠BAM=∠CAM,2∠CAM=∠BAC.

故选   C.

考点:角平分线的定义.

16. (2017  江苏盐城第     12 题)在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,

则∠1=      °.


【答案】120°.

【解析】

试题解析:由三角形的外角的性质可知,∠1=90°+30°=120°. 

考点:三角形的外角性质;三角形内角和定理.

17.(重庆市江津区       2016-2017 学年七年级下学期期末)           如图,线段      AB 12 ,点  C 为 AB  中点,点    D 为
                                     1
 BC 中 点,在线段      AB 上取点   E ,使  CE    AC ,则   线段  DE 的长为_________.
                                     3

【答案】1cm     或 5cm


(2)如图     2,当点   E 在点  C 的左侧时,

∵线段    AB 12 ,点  C 为  AB 中点,
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∴AC=BC=6,
                           1
又∵点    D 为 BC 中点,    CE    AC   ,
                           3
∴CD=3,CE=2,

∴DE=CD+CE=3+2=5.


综上所述,DE      的长为   1 或 5.

点睛:题目中没有说明点           E 在点  C 的哪一侧,因此必须分两种           情况讨论:(1)点        E 在点  C 的右侧;(2)

点  E 在点  C 的左侧.

18.        (浙江省宁波市李兴贵中学            2017-2018 学年七年级上册期末模拟)已知∠AOE              是平角,OD    平分

∠COE,OB   平分∠AOC,∠DOE:∠BOC=2:3,求∠DOC,∠BOC            的度数.

【答案】∠DOC=36°,∠BOC=54°

【解析】试题分析:利用平角的定义结合角平分线的性质得出∠BOC=                            12 ∠AOC,∠DOC=    12 ∠COE,进而

利用∠DOE:∠BOC=2:3      求出答案.

试题解析:如图所示:  ∵∠AOE            是平角,OD    平分∠COE,OB    平分∠AOC,


∴∠BOC=     ∠AOC,∠DOC=      ∠COE,


∴∠BOD=     (∠AOC+∠COE)=90    °,

∵∠DOE:∠BOC=2:3,

∴∠DOC:∠BOC=2:3,


∴∠DOC=     ×90°=36°,


∠BOC=    ×90°=54°. 
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