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北师大版数学九年级下册第二章第二节二次函数的图像与性质学案

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                 第  13 课时      二次函数的图像与性质(二)                                            号时,对称轴在       y 轴的右侧,抛物线与        y 轴的交点为(0,c),c>0,与        y 轴正半轴相交;c<0,
【复习目标】                                                                                  与 y 轴负半轴相交;c=0,过原点.根据以上这些知识要点解决问题.
1.能根据图象确定        a、b、c  的符号.                                                            考点二    求二次函数的解析式
2.会用待定系数法求二次函数的解析式.
                                                                                                                                            2
3.理解二次函数与一元二次方程              的关系.并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当                                    例  2  (1)任选以下三个条件中的一个           ,求二次函数      y=ax  +bx+c  的解析式.
函数值大于或小于          时自变量的取值范围.
                0                                                                            ①y 随 x 变化的部分数值规律如下表:
 【知识梳理】
1.二次函数解析式的求法:
  (1)若给出抛物线上三点,通常可设一般式:________(a≠0).
                                                                                          
  (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式:________(a≠0),其中点
                                                                                                                                    2
(h,k)为顶点,对称轴为直线             x=h.                                                            ②有序数对(-1,0)、(1,4)、(3,0)满足          y=ax +bx+c;
  (3)若给出抛物线与       x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)及其他一个条件,通常可设交点式:                                    ③已知函数     y=ax2+bx+c  的图象的一部分(如图).
_______( a≠0).其中   x1,x2 是抛物线与    x 轴的交点的横坐标. 
                                                                                                                       2
2.对于二次函数       y=ax2+bx+c(a≠0),当给定       y 的值时,二次函数可转化为一元二次方程,                              (2)直接写出(1)中二次函数       y=ax  +bx+c  的三个性质.
所以我们可     ax2+bx+c=_______. 
3.当   b2-4ac>0 时,方程    ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则二次函数                    y=
ax2+bx+c  的图象与    x 轴有_______交   点. 
4.当   b2-4ac=0 时,方程     ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,则二次函数                  y=ax2+
bx+c 的图象与     x 轴有_______交点.
5.当   b2-4ac-<0 时,方程     ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则二次函数              y=ax2+bx+c   的
图象与    x 轴_______交点.
【考点例析】                                                                                      提示 (1)利用待定系数法得到有关             a、b、c  的方程组,从而得到该函数的解析式;(2)结合

考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系                                                                   二次函数解析式可写出相应的性质.

    例  1 已知二次函数y=ax2+        bx+c=0(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:                                 考点三 利用图象求一元二次方程的解

①abc> 0;②b2-4ac<0;③4a-2+c<0;④b=-2a,其中结论正确的是                    (    )                       例 3 二次函数    y=ax2+bx  的图象如图,若一元二次方程            ax2+bx+m=0    有实数根.则

    A.①③                B.③④               C.②③            D.①④                         m 的最大值为        (    )


    提示 抛物线      y=ax2+bx+c(a≠0)与     a、b、c  及其代数式的关系:a>0,开口向上;                              A.-3           B.3             C.-6           D.9

                                 b                                                                            2               2
a<0,开口向下,对称轴为直线            x=-     ,当  a,b  同号时,对称轴在        y 轴的左侧;当     a、b  异             提示    方法一:由     ax +bx-m=0    得 ax +bx=-m,一元二次方程          ax+bx+m=0   有实数
                                2a
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根,得函数     y=ax2+bx  与函数    y=-m  有交点,所以-m≥-3,m≤3,从而求出                 m 的最大

值.方法二:因为一元二次方程              ax2+bx+m=0   有实数根,所以       b2-4am≥0.由    y=ax2+bx的
                        0  b2
图象可得顶点的纵坐标,故                 =-3,即     b2=12a,所以   12a-4am≥0,解得      m≤3.从而求
                         4a                                                               
                                                                                                                                                         1
出  m 的最大值.                                                                              3.已知二次函数       y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直              线  x=-    ,下列结论中,
                                                                                                                                                         2
考点四     二次函数图象与坐标轴的交点个数
                                                                                        正确的是       (    )
    例  4 抛物线  y=-3x2-x+4    与坐标轴的交点的个数是              (    )
                                                                                          A.abc>0      B.a+b=0     C.2b+c>0       D.4a+c<2b
    A.3             B.2            C.1             D.0
                                                                                        4.若抛物线     y=ax2+bx+c  的顶点是     A(2,1),且经过点     B(1,0),则抛物线的函数关系式为
    提示 令-3x2-x+4=0,根据           b2-4ac 与 0 的比较得到与     x 轴的交点个数,再令         x=0 得
                                                                                        _______. 
到与   y 轴的交点个数.
                                                                                        5.如图,在平面直角坐标系中,边长为                2 的正方形    OA BC 的顶点   A、C  分别在    x 轴、y  轴 的
考点五 二次函数图象与不等式的关系                                                                                              2
                                                                                        正半轴上,二次函数         y=-    x2+bx+c 的图象经过      B、C  两点.
    例  5 如图是二次函数      y=ax2+bx+c   的部分图象,由图象可知不等式              ax2+bx+c<0 的解集                                  3
                                                                                          (1)求该二次函数的解析式;
是     (    )
                                                                                          (2)结合函数的图象探索:当          y>0 时 x 的取值范围.


    A.-15     C.  x<-1  且 x>5  D.  x<-1  或 x> 5

    提示     因为二次函数      y=ax2+bx+c   的图象是一条抛物线,其对称轴为直线                x=2,所以该
                                                                                        6.如图,点     A 在 x 轴上,OA=4,将线       段  OA 绕点  O 顺时针旋转     120°至   OB 的位  置.
抛物线与     x 轴的两交点关于直线        x=2 对称  ,已知一交点为(5       ,0),且与直线      x=2 的距离为
                                                                                          (1)求点 B 的坐标;
3,所以另一交点在对称轴左侧,与直                线 x=2 的距离也为      3,因此另一交点为(-1,0).
                                                                                          (2)求经过点   A、O、B    的抛物线的解析式;
【反馈练习】
                                                                                          (3)在此抛物   线的对称轴上,是否存在点           P,使得以点      P、O、B   为顶点的三角形是等腰三角形?
1.已知抛物线      y=x3-x-1,与     x 轴的一个交点为(m,0),则代数式            m2-m+2011   的值为    
                                                                                        若存在,求点      P 的坐标;若不存在,请说明理由. 
(    )   A.2009         B.2012         C.2011          D.2010

2.二次函数     y=a(x+m)2+n   的图象如图,则一次函数           y=mx+n   的图象经过        (    )

  A.第一、二、三象限                       B.  第一、二、四象限

  C.第二、三、四象限                       D.第一、三、四象限
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