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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第四节弧长和扇形面积教案

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初中数学审核员

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                     第二十四章 24.4.1           弧长和扇形面积


知识点   1:弧长公式 

    半径为   R 的圆中,  n°的圆心角所对的弧长          l=     .

    关键提醒:(1)对于弧长公式关键是要理解               1°的圆心角所对的弧长是圆周长的                 ,即     ,亦即

  ;
    (2)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径,知道其中的任何两个量

就可以求出第三个量.

知识点   2:扇形面积公式 

    扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.


    扇形面积公式:半径为         R,圆心角为    n°的扇形面积      S 扇形=    (若已知或已求出了扇形对应的弧


长 l,则扇形面积公式也可以写成            S 扇形= lR).

    关键  提醒:(1)对于扇形面积公式关键是要理解               1°的扇形面积是圆面积的             ,即     ;
    (2)扇形面积公式所涉及的三个量:扇形面积、扇形半径、圆心角的度数,知道其中的任何两个

量就可以求出第三个量;


    (3)对于扇形面积公式        S 扇形= lR,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式                     S= ah 有
点类似,用类比的方法记忆会更好;

    (4)注意扇形面积的两个公式之间的联系:


    S 扇形=    = ·     ·R=  lR,无 论利用哪个公式计算扇形面积,R            都必须已    知.
知识点   3:弓形的认识
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    弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形,利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积.弓形有

如下三种情况:


            

    (1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的            面积等于扇形面积与三角形面积的差,即                 S 弓形=S 扇形-S△OAB;

    (2)当弓形的弧大于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和,即                            S 弓形=S 扇形+S△OAB;


    (3)当弓形的弧是半圆时,弓形          的面积是圆面积的一半,即           S 弓形=  S 圆.
也就是说:要计算弓形的面积,首先要观察它的弧属于半圆、劣弧还是优弧,只有对它分析正确才能

保证计算结果的正确.

阴影部分常常是基本图形的组合,解题时要认真分析图形,找出组合方式,这是解决这类问题的关键                                       .


考点  1:弧长公式的运用

    【例  1】  挂钟分针的长为        250px,经过  45 分钟,它的针尖转过的弧长是(  ).

    A.   cm   B. 15πcm   C.           cm   D. 75πcm

    答案:B.

    点拨:本题已知弧所在圆的半径为             250px,又知分针    45 分钟转过    270°,所以针尖转过的弧长是

l=       =15π(cm).
考点  2:圆中图形面积的计算

    【例  2】  如图,圆心角都是        90°的扇形    OAB 与扇形   OCD 叠放在一起,连接      AC、BD.

    (1)求证:AC=BD;

    (2)若图中阴影部分的面积是           πcm2,OA=50px,求  OC 的长.
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    解:(1)因为∠AOB=∠COD=9    0°,所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD

    所以∠AOC=∠BOD.

    又因为   AO=BO,CO=DO,所以△AOC≌△BOD,所以       AC=BD.


    (2)根据题意得     S 阴影=      -      =            ,

    即  π=           .
    解得  OC=1( cm).

    点拨:由△AOC ≌△BOD      可知图中阴影部分面积是扇环形面积,即                 π=           ,解得  OC=1.
考点  3:弧长公式和扇形面积在实际生活中的应用

    【例  3】  在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置如图所示:滑轮的半径是                            250px,当她将一

重物向上提升      375px 时,滑轮  的半径    OA 绕轴心  O 按逆时针方向旋转的角度是   (假设绳索与滑

轮之间没有滑动,π        取 3.14,结果精确到     1°). 


                     
    答案:86°.

    点拨:在绳索与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动,当轮子的点                                A 转到点

A1 位置时,绳子上的某一点也就从点            A 被带  到点  A1,绳子被带动上升       375px,也就是长度为      375px,所

以本题所考查      的数学知识可     以等价 “圆中的计算问题”:已知,如图☉O                 的半径为    250px,    长为


375px .求∠A1OA 的度数.设    OA 绕圆心   O 按逆时针方向旋转       n°,则  15=         ,解得  n≈86.
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