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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆周角课件

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                  预习与反馈
知识回顾 :
                                             O.
1.圆心角的定义?       顶点在圆心的角叫圆心角

 2. 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理?
                                         B       C
     在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦、弦心
 距有一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都分别
 相等(知一求三)。
圆周角:
    顶点在圆上,并且两边
都与圆相交的角叫做圆周角
.

 如图:∠ACB,∠ADB是(同一条弧⌒AB)圆周角,
       ∠AOB呢?      是AB⌒所对的圆心角
练习:判断下列各图中,哪些是圆周角,为什么? 
    下列图形中,哪些图形中的圆心角∠BOC和
圆周角∠A是同对一条弧。 
    自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和
圆周角分别是多少度?


     同一条弧所对的圆周角等于
 它所对的圆心角的一半。 
分情况证明分情况证明  

       在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周
角的位置关系有几种情况?


                    A               A
         A

     O              O            O
                                      C
B        C      B       C
                                    B
情况一:
      当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上
 时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.

       ∵  OA=OC
       ∴∠A=∠C                         A
                                  O
     又 ∠BOC=∠A+∠C

        ∴∠BOC=2∠A            B        C

      即∠A=      ∠BOC
                                 A
 情况二:

                                O
证明:由第1种情况得 
                            B        C
     ∠BAD=   ∠ BOD              D
                            提示:
     ∠CAD=  ∠ COD           作射线AO交⊙O于D
                            。
                            转化为第1种情况
     ∠BAD+∠CAD=    ∠ BOD+   ∠COD

       即∠BAC=  ∠BOC
 情况三:

                                 A
证明:作射线AO交⊙O于D。

      由第1种情况得                 O
                                    C
     ∠CAD=  ∠ COD
                             D   B
     ∠BAD=  ∠ BOD

     ∠CAD-∠BAD=    ∠ COD-   ∠BOD

       即∠BAC=  ∠BOC
                       A              A
            A

       O              O            O
                                         C
   B       C      B        C
                                      B
          圆周角定理                      D
                                            A
    在同圆或等圆中,同弧或等弧所对             C
                                     O ·
的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆
心角的一半.

                                    E     B

            即∠BAC=      ∠BOC
                          C2

                      C1
                                 C3

                    A             B
                           ·O

       圆周角定理的推论

       半圆(或直径)所对的圆周
角是直角, 90°的圆周角所对的
弦是直径.
    推论1:半圆(或直径)所对的圆周角
是直角,900的圆周角所对的弦是直径。

                            C
 ∵ AB是直径               C1    2
                                C3
            0
 ∴ ∠AC1B=90
                    A
                          O      B
            0
 ∵ ∠AC1B=90
 ∴ AB是直径
    推论2:同圆或等圆中,相等的圆周角
所对的弧也相等。                A B
 ∵ ∠CAD=∠EBF 
                                 E
        )
 ∴ CD=EF)                 O

     B       B'
                   C            F
                               F
           A' C'         D

  A    C
                       思考:
 如图,∠ABC=30°,   在半径不等的圆中,相等的两
 ∠A′B′C′=30°,
                个圆周角所对的弧相等吗? 
 但是 AC≠A⌒ ⌒,C,
          如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这
 个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边

 形的外接圆.                         A       D
          如图,四边形ABCD是⊙O的内
                                     ·
接四边形, ⊙O是四边形ABCD的外                   O
                                          C
接圆。                           B
  思考:
    ∠A+∠C=?          圆内接四边形的对角互补
  ∵B⌒AD+BCD=⌒ 3600
                     特别提示:
   ∴∠A+∠ C= 180° 
                         在同圆或等圆中,同弦或等
 同理∠B+∠D=180°        弦所对的圆周角相等或互补。
 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何
 一个外角都等于它的内对角。

   A       D
E             ∠D+∠B=180°        对角
        O
              ∠A+∠C=180°
  B
           C
           F  ∠EAB=∠BCD        内对角
              ∠FCB=∠BAD

                 外角
例题讲解
        例例1.1.  如图,如图,⊙⊙OO直径直径ABAB为为10cm10cm,弦,弦ACAC为为6cm6cm,,∠∠ACBACB
的平分线交的平分线交⊙⊙OO于于DD,求,求BCBC、、ADAD、、BDBD的长.的长.
                               C
解:∵AB是直径,∴ ∠ACB= ∠ADB=90°.     ) )
                             6      8
  在Rt△ABC中,                        10
                            A             B
                                   ·O


 ∵CD平分∠ACB,                         D
 ∴AD= BD.     ∴AD=BD.

又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
课后练习
1.试找出下图中所有相等的圆周角。 

            D
                     ∠2=∠7

         8 7
A   1                ∠1=∠4
   2
                     ∠3=∠6
     3     6
      4   5          ∠5=∠8
    B        C
 练习2
   :                  D
(1).求圆中角X的度数

                   C 120120
     .             . °°
    O     C       O                  O
    70°x           X    B
               A
A       B
                             A             B
                                 C

  (2).如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___。
 练习3 
 求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那
 么这个三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边
 为直径的圆.)

 已知: CO 是△ABC 的AB边上的中线,且CO=     AB
  求证: △ABC 为直角三角形.
                                             C
证明:    以AB为直径作⊙O,

      ∵AO=BO,CO=    AB,            A       ·     B
                                          O
       ∴AO=BO=CO.
       ∴点C在⊙O上.
     又∵AB为直径,
       ∴∠ACB= 
       90°.∴ △ABC 为直角三角形.
合作交流
如图,如何确定一个圆形纸片的圆心吗?交流一下.

                                  方法三


     方法一                    O

 A        B
       C
                                    方法四
       O         方法二

                        A
      D
                  ·                 O
            B
            
               反馈练习

1.如图,在⊙O中∠ABC=50°,               A
则∠AOC等于(   D  )
                           B  O
A.50°;          B.80°;
                                  C
C.90°;          D.100°

2.如图,△ABC是等边三角形,               C
动点P在圆周的劣弧AB上,且不
与A、B重合,则∠BPC等于( B    )
                                   B
A.30°;          B.60°;      A
                               P
C.90°;          D.45°
3.如图,△ABC的顶点A、B、C都在                   C
⊙O上,∠C=30 °,AB=2,则⊙O                 O
           2
的半径是              。              A
                                       B
4. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D
   为半圆上的两点,∠COD=50°,则        
   ∠CAD=______25°;

5、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为

(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_  20°  _;
   6.如图,⊙O中,∠A0B = 80º,则∠ACB=____.140º
                                     D
7、判断
(1)等弧所对的圆周角相等;
(2)相等的弧所对的圆周角也相等;                  O
(3)900的角所对的弦是直径;
(4)同弦所对的圆周角相等。                              B
                             A
                                         C
8、在⊙O中∠CBD=30°∠BDC=20°,求∠A           A

。 解法1:∵∠CBD=300,∠BDC=200
  ∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300              O
  ∴∠A=1800-∠C=500             B             D
  (圆内接四边形对角互补)                     C
                                    A
  解法2:连结AC,则                解法3
                            :
  ∠CAD=∠CBD=300
  ∠BAC=∠BDC=200                       O
  ∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=500         B            D
                                  C
 随堂练习

        1.1.如图如图,,以以⊙⊙OO的半径的半径OAOA为直径作为直径作⊙⊙OO11,⊙O,⊙O的的

弦弦ADAD交交⊙⊙OO11于于C,C,则则OCOC与与ADAD的位置关系是的位置关系是_____,_____,垂直   OCOC
与与BDBD的位置关系是的位置关系是_____,_____,平行 若若AC=2cm,AC=2cm,则则AD=__cmAD=__cm4 。。
                     D
                C

            A            B
               O1  O
 随堂练习
        2.2.如图如图AB,ACAB,AC为为⊙⊙OO的两条弦的两条弦,, B
延长延长CACA到到D,D,使使AD=AB,AD=AB,若若∠∠ADB=30ADB=3000.. E
则则∠∠BOC=________BOC=________1200 。。
                                O
                     D      A        C

       3.如图,∠A=50°,∠ABC=60 °,BD是
                                A
 ⊙ 的直径,则∠       等于(   )
  O         AEB        B          E D
 A.70°           B.110°         O

 C.90°           D.120°      B     C
随堂练习
 4. 如图,AB是⊙O的直径, C 和D是圆上的两点
 ,若∠ABD=40°,求∠BCD的度数.

     D          分析:同一条弧所对
                的圆周角有很多,圆
        40°
 A    O     B   周角的位置灵活多变
                ,可以把注意力放在
   C             圆周角所对的弧上.
随堂练习

5.  如图,A,B,C三点在⊙O上,AD⊥BC于D,且
AC=5,DC=3,AB=      ,求⊙O的直径.
        A     分析  连结AO,CO,由勾股
              定理不难得到△ABD为等腰
              直角三角形,则∠AOC==90°
      O
             C
B      D      ,又OA=OC,AC长度已知
              ,则可以求出半径和直径. 更
              一般的情况要用正弦定理来
              求.
复习巩固 

 圆周角的概念
 顶点在圆上,两边与圆相交的角,叫圆周角
 .
 圆周角定理 
 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相
 等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

 推论:推论:
 半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等,,都等于都等于90°;90°;  
 90°90°的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径..

在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

                       ⌒    ⌒
                如图, 若  AC = BD 
A          B
                  则 ∠ D=∠A
C           D
                ∴AB∥CD
                                B
• 例1  如图,在⊙O中,                         C
  ∠BOC=50°,求∠A的大小.
                                   ●O
                             A
解:   ∠A =    ∠BOC = 25°.

        C
              如图,AB是直径,则∠ACB=____90   度

A    O     B

  半圆(或直径)所对的圆周角是直角,
  90角所对的弦是直径
练一练

   2.如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC。
   ∠ACB与∠BAC的大小有什么关系?为什么?

 答:  ∠ ACB=2 ∠ BAC。

                                        O
 解:  ∠1=  __ 1 ∠3
            2
                                         4
       ∠2=  __ 1 ∠4                    3
            2          ∠1=2∠2                   C
                              A      2       1
       ∠3=2∠4

         即∠ACB=2∠BAC                       B
练一练
  3. 已知⊙O中弦AB的等于半径,
  求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。      

                  圆心角为60度

        O        圆周角为 30 度

                    或 150 度。
    A        B
练一练
 4.如图,∠A是圆O的圆周角, 
  ∠A=40°,求∠OBC的度数。 
练一练
  5. 如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,
  若∠ABD=40°,则∠BCD=_____.

        D

            40°
    A     O      B

      C
2、如图,在⊙O中,AB为直径,CB=CF,)      )
弦CG⊥AB,交AB于D,交BF于E。
求证:BE=EC                F    C
    BE=EC                     E
                    A
                          O D    B
 ∠EBC=∠ECB
                    AB为直径    G
             )  )
     )
        )   CB=BG
    CF=BG           CG⊥AB
            CB=CF) )
5、求证:如果三角形一条边上的中线等于
这条边的一半,那么这个三角形是直角三
角形。
                        C
已知:如图,在△ABC
中,点O是边AB的中点         A           B
,且AB=2OC.                 O

求证:△ABC是Rt△.
 如图:已知圆内接四边形ABCD
 ,求证:∠A+∠C=180
                      D

               A

                    O

                 B       C
圆的内接四边形的对角互补。
  圆周角与圆心角的关系
( )当圆心     在∠     的一边上时
 1        O    ACB                      C
 证明:    ∠1是 △OBC的外角,
                                    O
             ∠1= ∠C+ ∠B
         OB=OC                       1
        ∠C= ∠B                 A          B
         ∠1= 2∠C=2∠C

   即       所对的圆周角是它所对圆心角的1/2
(2)当圆心O在∠ACB的内部时,
                                    C
  证明:作辅助线
                                   3 4
                                    O
                                    1 2
                              A
                                         B
                                       D


   即       所对的圆周角是它所对圆心角的1/2
(3)当圆心O在∠ACB的外部时,

  证明:作辅助线                                    C

                                D     O
                                     1    3
                                       2   4
                                A           B


  即       所对的圆周角是它所对圆心角的1/2
二、圆周角与圆心角的关系
   C             C

                           O
   O          O                C

            A           A
A      B          B           B
  圆周角定理: 
  一条弧所对的圆周角等于它所对
  圆心角的一半.
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