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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆课件

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24.1      圆(复习)
一.圆的基本概念:
 1.圆的定义:到 定点      的距离等于定长       的点的
 集合叫做圆.
 2.有关概念:   (1)弦、直径(圆中最长的弦)
            (2)弧、优弧、劣弧、等弧
     .      (能完全重合的弧,只能
    O       在同圆或等圆中出现)
            (3)弦心距
二. 圆的基本性质
 1.圆的对称性:
  (1)圆是轴对称          图形, 经过圆心的每一条直线                                 都
  是它的对称轴.圆有    无数    条对称轴.
  (2)圆是中心对称              图形,并且绕圆心旋转任何角度              
  都能与自身重合。

                .
2.垂径定理:
       垂直于弦的直径平分这条弦,并
 且平分弦所对的两条弧.

      C     ∵CD是圆O的直径
            ,CD⊥AB
      .      ∴AP=BP,︵
     P        ︵
 A         B  ︵AD  = ︵BD
               AC  = BC
      D
 判断:平分弦的直径垂直于弦(×     
)                    C
                     .
                 A  P    B
                     D
 垂径定理的推论
 :
    平分弦(非直径)的直径垂直于
 弦,并且平分弦所对的两条弧.
1、如图,已知⊙O的半径OA长为
5,弦AB的长8,OC⊥AC=BCAB于C,则
OC的长为 _______.3                       O
                                          半径
                                  弦心距
    垂径定理                      A       C 半弦长     B
      的应用

方法:在⊙ O中,若⊙ O的半径r、 圆心距d、弦长a中, 任
意知道两个量,可根据    垂径定理构造直角三角形求出第
三个量。
    垂径定理的
        应用

2:如图,圆O的弦AB=8 ㎝ ,
直径CE⊥AB于D, DC=2㎝,
 求半径OC的长。

   方法:
   在应用垂径定理进行计算时(多数在求半径
   时)经常需要列方程。
               
3、如图,P为⊙     O的弦BA延长线上一点,PA=AB=
  2,PO=5,求⊙    O的半径。

                            M
¡ 关于弦的问题,常常           B         AA
                                        P
需要过圆心作弦的垂线段
,这是一条非常重要的辅                O
助线。

¡  把圆心到弦的垂线段
、半径、一半弦长构成直
角三角形,便将问题转化
为直角三角形的问题。                   方法、技
                                 巧
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系
: (1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所
  对的弧相等,所对的弦相等.
  (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相
  等,所对的弦相等.
  (3)在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它所对
  的劣弧与优弧分别相等,所对的圆心角相等.
             D  ∵ ∠︵COD ︵=∠AOB
       O         ∴   AB  = CD
               C ∴AB=CD
    A      B
4.圆周角:
       定义:顶点在圆周上,两边和圆相
交的角,叫做圆周角.
      性质 (1):在同一个圆中,同弧所对
的圆周角等于它所对的圆心角的 一半   .

             ∠BAC=   1   ∠BOC
                      2
圆周角的性质(2)
  在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有
的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.

           ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 
           是同弧所对的圆周角

            ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
圆周角的性质:
  性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,
  都等于 90  0 ( 直角    ) 。
  性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的 直径    ..

                 ∵AB是⊙O的直径
                 ∴ ∠ACB=900
     3.6
                         A      B
 技巧:
                             •
                            O
  作圆的直径找900的圆周角
                                C
也是圆里常用的辅助线                    D
   例2. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角∠AOB=100°,则
弦AB所对的圆周角为____________.500或1300

   切记:

         一条弦所对的圆心角只有一个,但所对的
 圆周角却有两类,是互补的。
       与圆有关的角度计算

• 1.一条弦把圆分成1:3两部分,则劣弧所对
 的圆心角为                 度。
• 2.⊙O中,一条弦的长度等于半径,则它所
 对的劣弧的度数为                 度。
• 3.AB为直径,CD过OA的中
   点E且垂直于OA,连接CB,
   则∠ABC=              度。
               练习1 :

• 1.AB为⊙O直径,弧BC等于3倍
  的弧AC ,求∠ABC的度数。


• 2. ⊙O的半径为1,弦AB=
    弦AC=        。求∠BOC度数。
       与圆有关的长度计算

• 1.半径为2cm 的⊙O中,120°的
 圆心角所对的弦长为      。
• 2.如图,弦AB垂直于⊙O的直径
 CD,OA=5,AB=6,求BC长。
• 3.在⊙O有折线OABC,其中OA=8
 ,AB=12, ∠A= ∠B=60度,
 则BC的长为多少?
      与圆有关的证明和计算
• 1. ⊙O中,两条弦AB、CD相交于点P,M、N
  分别是AB、CD的中点,PM=PN,
   求证:AB=CD
• 2. ⊙O中,弦AB∥CD,OC、OD分别交AB
  于E、F。
    求证:AE=BF
课本 练   习
 3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个
 三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.)
   已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线,且CO=     AB
   求证: △ABC 为直角三角形.
                                             C
      证明:以AB为直径作⊙O,

          ∵AO=BO,  CO=    AB,      A      ·     B
                                         O
          ∴AO=BO=CO.

          ∴点C在⊙O上.

          又∵AB为直径,

          ∴∠ACB=     ×180°= 90°.

          ∴ △ABC 为直角三角形.
               课堂练习

• 1.如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,
  ∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什
  么关系?为什么?


 •2.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,且
 ∠BCD=100°,求∠BOD(  所对的圆心角)
 和∠BAD的大小。
3.AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使          
AD=AB,如果∠ADB=35° ,

求∠BOC的度数。
 ∠BOC =140° 
                    ⌒
4、如图,在⊙O中,BC=2DE⌒     , ∠BOC=84°,
求∠ A的度数。
 ∠A=21° 
5. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D
   为半圆上的两点,∠COD=50°,则        
   ∠CAD=______25° ;


6、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_  20°  _;
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