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2018年中考数学复习-一元一次不等式组

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                           考点十一: 一元一次不等式(组)

聚焦考点☆温习理解

一、不等式的概念

    1、不等式

用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程,叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

二、不等式基本性质 

    1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

三、一元一次不等式

     1、一元一次不等式的概念

一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是                        1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做

一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤:

(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将                       x 项的系数化为      1

四、一元一次不等式组 

    1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

当任何数     x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
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(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。


名师点睛☆典例分类

考点典例一、不等式的性质

【例   1】(2017  湖南株洲第     4 题)已知实数      a,b 满足   a+1>b+1,则下列选项错误的为(  )

A.a>b   B.a+2>b+2   C.﹣a<﹣b     D.2a>3b

【答案】D.

【解析】

试题分析:由不等式的性质得             a>b,a+2>b+2,﹣a<﹣b.

故选   D.

考点:不等式的性质.

【点睛】根据不等式的性质: 1.不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一

个负数,不等号的方向改变。对各选项进行判断

【举一反三】

1.下列说法不一定成立的是(  )

A.若   a  b ,则 a  c  b  c       B.若 a  c  b  c ,则 a  b

C.若   a  b ,则 ac2  bc2         D.若 ac2  bc2 ,则 a  b

【答案】C.

【解析】

试题分析:A.在不等式          a  b 的两边同时加上      c,不等式仍成立,即         a  c  b  c ,故本选项错误;

B.在不等式      a  c  b  c 的两边同时减去   c,不等式仍成立,即         a  b ,故本选项错误;

C.当   c=0 时,若  a  b ,则不等式    ac2  bc2 不成立,故本选项正确;

D.在不等式      ac2  bc2 的两边同时除以不为       0 的 c2 ,该不等式仍成立,即         a  b ,故本选项错误.

故选   C.

考点:不等式的性质.

2.若  x>y,则下列不等式中不一定成立的是(  )
                                               x   y
A.x+1>y+1      B.2x>2y      C.                  >          D.       x2  y2
                                               2   2
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【答案】D.


考点:不等式的性质.

考点典例二、解一元一次不等式
                                           1 x  2x 1
【例   2】(2017  浙江嘉兴第     18 题)小明解不等式                  1的过程如图.请指出他解答过程中错误
                                            2      3
步骤的序号,并写出正确的解答过程.


【答案】x≥-5.

【解析】

试题分析:根据一元一次不等式的解法,找出错误的步骤,并写出正确的解答过程即可.

试题解析:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:

去分母,得      3(1+x)-2(2x+1)≤6,

去括号,得      3+3x-4x-2≤6,

移项,得     3x-4x≤6-3+2,

合并同类项,得-x≤5,

两边都除以-1,得        x≥-5.
考点:解一元一次不等式..

【点睛】根据一元一次不等式的解法,找出错误的步骤,并写出正确的解答过程.

【举一反三】

1.不等式    3(x﹣1)≤5﹣x     的非负整数解有(  )
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A.1  个 B.2  个 C.3  个 D.4   个

【答案】C.

【解析】

试题分析:解不等式得:3x﹣3≤5﹣x,4x≤8,x≤2,所以不等式的非负整数解有                              0、1、2  这  3 个,故答

案选   C.

考点:一元一次不等式组的整数解.

2. (2017  山东烟台第     15 题)运行程序如图所示,从“输入实数                x ”到“结果是否      18”为一次程序操作,


若输入    x 后程序操作仅进行了一次就停止,则               x 的取值范围是          .

【答案】x<8.

【解析】

试题解析:依题意得:3x﹣6<18,

解得   x<8.
考点:一元一次不等式的应用.

考点典例三、一元一次不等式组

                                             x  3( x  2)  4
                                             
                                             2x  1    x  1
                                                    
【例   3】(2017  贵州黔东南州第       19 题)解不等式组         5         2   ,并把解集在数轴上表示出来.


【答案】﹣7<x≤1.

【解析】

试题分析:先解不等式组中的每一个不等式,再根据大大取较大,小小取较小,大小小大取中间,大大小

小无解,把它们的解集用一条不等式表示出来.

试题解析:由①得:﹣2x≥﹣2,即              x≤1,

由②得:4x﹣2<5x+5,即        x>﹣7,

所以﹣7<x≤1.

在数轴上表示为:
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考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.

【点睛】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每

个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如

果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就

要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.

【举一反三】

                                          x  a  0
1. (2017  广西百色第     12 题)关于    x 的不等式组              的解集中至少有       5 个整数解,则正数        a 的最
                                          2x  3a  0

小值是(   )
                                       2
A.3         B.2       C. 1        D.
                                       3
【答案】B

【解析】

           x  a  0①
试题分析:                  ,
           2x  3a  0②

解①得    x≤a,

            3
解②得    x>﹣  2  a.

                    3
则不等式组的解集是﹣          2  a<x≤a.

∵不等式至少有        5 个整数解,则     a 的范围是    a≥2.

a 的最小值是     2.

故选   B.

 考点:一元一次不等式组的整数解.
                                    4(1 x)     5  x
                                            1      ①
2. (2017  湖南常德第     18 题)求不等式组          3          2       的整数解.
                                           3
                                    x  5  (3x  2)②
                                           2
【答案】0,1,2.
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考点:一元一次不等式组的整数解.

考点典例四、一元一次不等式(组)的应用

【例   4】某商品的标价比成本价高            m%,根据市场需要,该商品需降价             n%出售,为了不亏本,n         应满足(  

)

    A.n≤m           B. n≤              C. n≤              D.  n≤

【答案】B.

【解析】设进价为         a 元,由题意可     得:a(1+m%)(1﹣n%)﹣a≥0,

则(1+m%)(1﹣n%)﹣1≥0,

整理得:100n+mn≤100m,
       100m
故  n≤         .
      100  m
故选:B.

【点睛】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价,可得:a(1+m%)(1﹣n%)﹣a≥0,通过解不

等式,进而得出        n 的取值.本题主要考查了一元一次不等式的应用,得出正确的不等关系是解题关键.

【举一反三】

1. (2017  黑龙江齐齐哈尔第        5 题)为有效开展“阳光体育”活动,某校计划购买篮球和足球共                          50 个,购

买资金不超过       3000 元.若每个篮球      80 元,每个足球      50 元,则篮球最多可购买(   )

A.16  个                B.17 个          C.33  个           D.34 个 
【答案】A
【解析】
试题分析:设买篮球         m 个,则买足球(50﹣m)个,根据题意得:

                                  2
80m+50(50﹣m)≤3000,解得:m≤16         3  ,

∵m  为整数,∴m     最大取   16,∴最多可以买       16 个篮球.

故选   A.
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考点:一元一次不等式的应用.

2. (2017  黑龙江绥化第      25 题)甲、乙两个工程队计划修建一条长                15 千米的乡村公路,已知甲工程队每

天比乙工程队每天多修路           0.5 千米,乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所

需天数的     1.5 倍.

(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?

(2)若甲工程队每天的修路费用为               0.5 万元,乙工程队每天的修路费用为              0.4 万元,要使两个工程队修

路总费用不超过        5.2 万元,甲工程队至少修路多少天? 

【答案】(1)甲每天修路           1.5 千米,则乙每天修路         1 千米;(2)甲工程队至少修路            8 天.
【解析】

试题分析:(1)可设甲每天修路              x 千米,则乙每天修路(x﹣0.5)千米,则可表示出修路所用的时间,

可列分式方程,求解即可;

(2)设甲修路       a 天,则可表示出乙修路的天数,从而可表示出两个工程队修路的总费用,由题意可列不

等式,求解即可.

试题解析:(1)设甲每天修路             x 千米,则乙每天修路(x﹣0.5)千米,

                         15    15
根据题意,可列方程:1.5×            x  = x-0.5 ,解得  x=1.5,

经检验    x=1.5 是原方程的解,且       x﹣0.5=1,

答:甲每天修路        1.5 千米,则乙每天修路        1 千米;

(2)设甲修路       a 天,则乙需要修(15﹣1.5a)千米,

            15-1.5a
∴乙需要修路         1    =15﹣1.5a(天),

由题意可得      0.5a+0.4(15﹣1.5a)≤5.2,

解得   a≥8,
答:甲工程队至少修路          8 天.

考点:1.分式方程的应用;2.一元一次不等式的应用.

课时作业☆能力提升

一.选择题

1. (2017  贵州遵义第     7 题)不等式     6﹣4x≥3x﹣8   的非负整数解为(  )

A.2  个  B.3  个  C.4 个   D.5 个
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【答案】B.


考点:一元一次不等式的整数解.

                               3  x  0
2.(2017   湖北孝感第     5 题)不等式               的解集在数轴上表示正确的是 (   )
                               2x  4  0

A.                           B.

C.                               D.

【答案】D

【解析】

           3 x  0①
试题分析:                 ,
           2x  4  0②

解不等式①得,x≤3

解不等式②得,x>﹣2

在数轴上表示为:


故选   D.

考点:在数轴上表示不等式组的解集.

           2x 11,
           
            1
              x 1
3.不等式组       2      的整数解的个数为(      )

A.0  个    B.2  个    C.3  个    D.无数个

【答案】C.
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【解析】

                          x 1
                          
试题分析:可把不等式组化为             x  2 ,即  2  x 1,整数为:-1,0,1,故答案选           C.

考点:不等式组的整数解.

                                                    y  2     a
5.   (2017  重庆  A 卷第  12 题)若数   a 使关于   x 的分式方程                    4 的解为正数,且使关于
                                                    x  1   1  x

            y  2    y
                       1
y 的不等式组       3      2     的解集为    y<﹣2,则符合条件的所有整数             a 的和为(  )
            
            2( y  a)  0

A.10    B.12    C.14    D.16

【答案】B.

【解析】

                  y   2     a                6- a
试题解析:分式方程                         4 的解为   x=    ,
                   x  1   1  x               4

∵关于    x 的分式方程        +    =4 的解为正数,

   6- a
∴      >0,
    4

∴a<6.

 y  2   y
            1①
   3      2       ,
 
 2( y  a)  0②

解不等式①得:y<﹣2;

解不等式②得:y≤a. 

                   y  2   y
                              1
∵关于    y 的不等式   组    3     2     的解集为     y<﹣2,
                   
                   2( y  a)  0

∴a≥﹣2.

∴﹣2≤a<6.

∵a  为整数,

∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5,
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(﹣2)+(﹣1)+0+1+2+3+4+5=12.

故选   B.

考点:1.分式方程的解;2.解一元一次不等式组.

二.填空题

6. (2017  湖南株洲第     14 题)已知“x     的 3 倍大于   5,且  x 的一半与    1 的差不大于     2”,则   x 的取值范围是  

.
         5
【答案】      <x≤6.
         3
【解析】

                  3x  5
                                  5
试题分析:依题意有         1         ,解得     <x≤6.
                     x 1  2      3
                  2
                5
故  x 的取值范围是       <x≤6.
                3
           5
故答案为:       <x≤6.
           3
考点:解一元一次不等式.

7.对于任意实数       m、n,定义一种运运算        m※n=mn﹣m﹣n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:

3※5=3×5﹣3﹣5+3=10.请根据上述定义解决问题:若                  a<2※x<7,且解集中有两个整数解,则               a 的取值

范围是              .

【答案】     4  a  5 .

【解析】

试题分析:根据题意得:2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1,∵a<x+1<7,即                   a﹣1<x<6    解集中有两个整数解,

∴a  的范围为    4  a  5 ,故答案为:    4  a  5 .

考点:1.一元一次不等式组的整数解;2.新定义;3.含字母系数的不等式;4.阅读型.

                                    2x 1  1
                                    
8. (2017  内蒙古通辽第      11 题)不等式组     2x 1       的整数解是        .
                                            x 1
                                      3

【答案】0,1,2
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考点:一元一次不等式组的整数解

           3x  6  0
9.不等式组              的所有整数解的和是         .
           4  2x>0

【答案】     2 .

【解析】解     3x  6  0 得 x  2 ,

解  4  2x>0 得 x < 2 ,

∴不等式组的解为        2  x < 2 ,整数解为    2, 1, 0, 1.

∴不等式组的所有整数解的和是              2 .

考点:一元一次不等式组的整数解.
             1
               x 1  3
10.不等式组      2           的最大整数解为(   )
            x  2(x  3)>0
A.8            B.6             C.5              D.4

 【答案】B.

【解析】

试题分析:先求出不等式组的解集再判断.
  1
    x 1  3
  2                  解得  - 8  x  6 ,所以最大整数解为       5.
 x  2(x  3)>0
故选   C.

考点:解不等式组、不等式组的解集和解.
三、解答题
               2x 1  3x  2
11. 解不等式:                  1,并把解集表示在数         轴上.
                 3      4
【答案】     x  2 .

【解析】

试题分析:先去分母,再去括号,移项、合并同类项,把                         x 的系数化为    1 即可.
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试题解析:去分母得,4(2x﹣1)≤3(3x+2)﹣12,去括号得,8x﹣4≤9x+6﹣12,移项得,

8x﹣9x≤6﹣12+4,合并同类项得,           x  2 ,把  x 的系数化为    1 得,  x  2 .

在数轴上表示为:                                    .
考点:1.解一元一次不等式;2.在数轴上表示不等式的解集.

                                     1
                                       x  1  1
10. (2017  甘肃庆阳第     20 题)解不等式组      2             ,并写出该不等式组的最大整数解.
                                     
                                     1  x<2

【答案】﹣1<x≤3.x=3.

【解析】

试题分析:分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

无解了确定不等式组的解集.

             1
试题解析:解        (x-1)≤1   得:x≤3,
             2

解  1﹣x<2  得:x>﹣1,

则不等式组的解集是:﹣1<x≤3             .

∴该不等式组的最大整数解为x=3.

考点:一元一次不等式组的整数解;解一元一次不等式组.

12.自学下面材料后,解答问题。
                                          x - 2    2x  3
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如:                         >0 ;      <0  等 。那么如何求出它们的解集呢?
                                          x 1      x -1
根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负。其字母表达式为:
                         a                       a
 (1)若    a>0 ,b>0 ,则       >0;若   a<0 ,b<0,则       >0;
                         b                       b
                         a                        a
 (2)若    a>0 ,b<0 ,则       <0 ;若   a<0,b>0 ,则       <0。
                         b                        b
              a      a>0    a<0
反之:(1)若        >0  则     或
              b      b>0    b<0
             a
     (2)若     <0 ,则__________或_____________.
             b
                       x  2
 根据上述规律,求不等式                >0  的解集。
                        x 1
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             a>0    a<0
【答案】(1)           ,      (2)x>2   或  x<-1.
             b<0    b>0

【解析】


考点:解不等式组.

13.定义新运算:对于任意实数            a,b  都有  a△b=ab-a-b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例

如:2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3,请根据上述知识解决问题:若                 3△x  的值大于    5 而小于   9,求  x 的取值范

围.
         7      11
【答案】      <x<
         2      2
【解析】∵a△b=ab-a-b+1

∴3△x=3x-3-x+1=2x-2,

根据题意得:

 2x  2>5
          ,
 2x  2<9
       7      11
解得:      <x<    .
       2      2
考点:解一元一次不等式组.

14(2017  贵州安顺第     23 题)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种

玩具的进价的和为         40 元,用  90 元购进甲种玩具的件数与用            150 元购进乙种玩具的件数相同.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?

(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共                48 件,其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进

货的总资金不超过         1000 元,求商场共有几种进货方案?

【答案】(1)甲,乙两种玩具分别是                15 元/件,25   元/件;(2)4.
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【解析】

试题分析:(1)设甲种玩具进价              x 元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,根据已知一件甲种玩具的

进价与一件乙种玩具的进价的和为               40 元,用   90 元购进甲种玩具的件数与用           150 元购进乙种玩具的件数相

同可列方程求解.

(2)设购进甲种玩具         y 件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商

场决定此次进货的总资金不超过              1000 元,可列出不等式组求解.

试题解析:设甲种玩具进价            x 元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,

 90     150
              
 x     40  x

x=15,

经检验    x=15 是原方程的解.

∴40﹣x=25.

甲,乙两种玩具分别是          15 元/件,25   元/件;

(2)设购进甲种玩具         y 件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,

 y<y48  
                         ,
 15y  25( 48  y )  1000

解得   20≤y<24.

因为   y 是整数,甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,

∴y  取 20,21,22,23,

共有   4 种方案.

考点:分式方程的应用;一元一次不等式组的应用.
                                                   2m  mx   1
15. (2017  内蒙古呼和浩特第        21 题)已知关于     x 的不等式               x 1.
                                                      2      2
(1)当    m 1时,求该不等式的解集;
(2)   m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.

【答案】(1)x<2;(2)当           m≠﹣1   时,不等式有解,当         m>﹣1  时,不等式解集为        x<2;当   x<﹣1  时,

不等式的解集为        x>2.

【解析】

试题分析:(1)把        m=1 代入不等式,求出解集即可;

(2)不等式去分母,移项合并整理后,根据有解确定出                        m 的范围,进而求出解集即可.
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考点:不     等式的解集.

16.某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计

划用不超过      1900 本科技类书籍和      1620 本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共                  30 个.已知组建一个

中型图书角需科技类书籍           80 本,人文类书籍       50 本;组建一个小型图书角需科技类书籍                30 本,人文类书

籍  60 本.

(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;

(2)若组建一个中型图书角的费用是                860 元,组建一个小型图书角的费用是              570 元,试说明(1)中哪种

方案费用最低,最低费用是多少元?

【答案】(1)有三种组建方案:

方案一,中型图       书角   18 个,小型图书角      12 个;

方案二,中型图书角         19 个,小型图书角       11 个;

方案三,中型图书角         20 个,小型图书角       10 个.

(2)方案一费用最低,最低费用是               22320 元.

【解析】

试题分析:(1)设组建中型两类图书角                 x 个、小型两类图书角(30﹣x)个,由于组建中、小型两类图书

角共   30 个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍                 80 本,人文类书籍       50 本;组建一个小型图书角需科技

类书籍    30 本,人文类书籍      60 本.若组建一个中型图书角的费用是               860 本,组建一个小型图书角的费用是

570 本,因此可以列出不等式组                                     ,解不等式组然后去整数即可求解.(2)

根据(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可.
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试题解析:解:(1)设组建中型图书角                 x 个,则组建小型图书角为(30﹣x)个.

由题意,得                              ,

化简得               ,

解这个不等式组,得         18≤x≤20.

由于   x 只能取整数,∴x      的取值是     18,19,20.

当  x=18 时,30﹣x=12;当    x=19 时,30﹣x=11;当     x=20 时,30﹣x=10.

故有三种组建方案:

方案一,中型图书角         18 个,小型图书角       12 个;

方案二,中型图书角         19 个,小型图书角       11 个;

方案三,中     型图书角     20 个,小型图书角      10 个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);

方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);

方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).

故方案一费用最低,最低费用是              22320 元.

考点:一元一次不等式组的应用.
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