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初中数学 九年级下 二次函数图像和

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二次函数的
图象和性质
   二次函数二次函数yy==aa((xx––hh))22的图象和性质的图象和性质..  

对称轴:x=h,顶点(h,0).
a>0,开口向上.当x0时,向右平移             22
 yy  ==axax22          yy  ==aa((x–h)x–h)
       当h<0时,向左平移
   观察图象,回答问题

                     (1)函数y=3(x-1)2
                     的图象与y=3x2的图
                     象有什么关系?它的
                     对称轴和顶点坐标
                     分别是什么? 

?
       (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值
       随x值的增大而增大?x取哪些值时,函
       数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少? 
  我思考,我进步

      y=3(x-1)2     +2    

  把二次函数y=3(x-1)2 加上2所得函
数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢?

?
  我思考,我进步

    探讨1、 二次函数y=3x²,y=3(x-
1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?
它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分
别是什么?作图看一看. 

?
      在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和
  y=3(x-1)2+2的图象.
              y                    二次函数
                                  y=3x²,
                                  y=3(x-1)2
                                  和y=3(x-
                                  1)2+2的图
                                  象有什么
他们                                关系?它们
的形                                的开口方
状是                                向,对称轴
不是
                                x 和顶点坐
相同                                标分别是
呢?
                                  什么? 













      向右            向上
y=3x2      y=3(x-1)2     y=3(x-1)2+2
w二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x²,y=3(x
-1)2有什么关系?它的开口
方向,对称轴和顶点坐标分
别是什么?

 二次函数y=3(x-1)2+2的
 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
 1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
w二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x²,y=3(x
-1)2有什么关系?它的开口
方向,对称轴和顶点坐标分
别是什么?

 二次函数y=3(x-1)2+2的
 图象可以看作是抛物线                                     X=1
                         称   仍是平行于       的直
y=3x2先沿着x轴向右平移         对   轴          y轴
 1个单位,再沿直线x=1向         线(x=1);增减性与y=3x2类似. 
上平移2个单位后得到的.
w二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x²,y=3(x
-1)2有什么关系?它的开口
方向,对称轴和顶点坐标分
别是什么?

 二次函数y=3(x-1)2+2的
 图象可以看作是抛物线                                     X=1
                         称   仍是平行于       的直
y=3x2先沿着x轴向右平移         对   轴          y轴
 1个单位,再沿直线x=1向         线(x=1);增减性与y=3x2类似. 
上平移2个单位后得到的.

                                       顶点是(1,2).
w二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x²,y=3(x
-1)2有什么关系?它的开口
方向,对称轴和顶点坐标分
别是什么?

 二次函数y=3(x-1)2+2的
 图象可以看作是抛物线                                     X=1
                         称   仍是平行于       的直
y=3x2先沿着x轴向右平移         对   轴          y轴             开口向上,当
 1个单位,再沿直线x=1向         线(x=1);增减性与y=3x2类似.           X=1时有最小
上平移2个单位后得到的.                                       值:且最小值=2.

                                       顶点是(1,2).
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象


        y=3x2
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
 探讨2、二次函数y=3(x-
 1)2-2的图象与抛物线
 y=3x2和y=3(x-1)2有何关
 系?它的开口方向、对称
 轴和顶点坐标分别是什
 么? 
  二次函数y=3(x-1)2-2的
 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移                                   X=1
 1个单位,再沿直线x=1向          对称轴仍是平行于y轴的直线
 下平移2个单位后得到的.           (x=1);增减性与y=3x2类似. 
 探讨2、二次函数y=3(x-
 1)2-2的图象与抛物线
       2            2
 y=3x   和y=3(x-1)    有何关                             顶点是(1,-2).
 系?它的开口方向、对称
 轴和顶点坐标分别是什
 么? 
  二次函数y=3(x-1)2-2的
 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移                                   X=1
 1个单位,再沿直线x=1向          对称轴仍是平行于y轴的直线                 开口向上,
                                        2
 下平移2个单位后得到的.           (x=1);增减性与y=3x   类似.         当x=1时y有
                                                      最小值:且
                                                      最小值= -2.
探讨2、二次函数y=3(x-
1)2-2的图象与抛物线
    2         2
y=3x 和y=3(x-1) 有何关                   顶点是(1,-2).
系?它的开口方向、对称
轴和顶点坐标分别是什
么? 
 二次函数y=3(x-1)2-2的
 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移                   X=1
 1个单位,再沿直线x=1向  对称轴仍是平行于y轴的直线         开口向上,
                            2
下平移2个单位后得到的.    (x=1);增减性与y=3x 类似.   当x=1时y有
                                     最小值:且
                                     最小值= -2.
        w想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x²,y=-
        3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对
        称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看.
     向右            向上
y=3x2     y=3(x-1)2      y=3(x-1)2+2
     向右            向下
y=3x2     y=3(x-1)2      y=3(x-1)2-2
   我思考,我进步
  探讨3、 在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和
y=-3(x-1)2的图象
                                             y
w二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-
3(x-1)2-2的图象和抛物
w线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什
w么关系? 它的开口方向,对
w称轴和顶点坐标分别是什
w么?
   二次函数y=-3(x-1)2+2与
    y=-3(x-1)2-2的图象可
    以看作是抛物            2
               线y=-3x                           X=1
   先沿着x轴向右平移1个
    单位,再沿直线x=1向上
   (或向下)平移2个单位后            对称轴仍是平行于y轴的直线
          得到的.             (x=1);增减性与y= -3x2类似. 
      向右            向上
y=3x2     y=3(x-1)2       y=3(x-1)2+2
      向右            向下
y=3x2     y=3(x-1)2       y=3(x-1)2-2
      向右            向上
y=-3x2    y=-3(x-1)2      y=-3(x-
                           2
      向右            向下   1) +2
y=-3x2    y=-3(x-1)2      y=-3(x-1)2-2
  我思考,我进步

     探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-
3x²,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口
方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
 二次函数y=-3(x+1)2+2
 与y=-3(x+1)2-2的图象
可以看作是抛物线y=-3x2                                           x=1
 先沿着x轴向左平移1个
 单位,再沿直线x=-1向上
 (或向下)平移2个单位后
        得到的.

                      对称轴仍是平行于y轴的直线
                      (x=-1);增减性与y= -3x2类似. 
               w先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. 
      向右            向上
y=3x2     y=3(x-1)2       y=3(x-1)2+2
      向右            向下
y=3x2     y=3(x-1)2       y=3(x-1)2-2
      向右            向上
y=-3x2    y=-3(x-1)2      y=-3(x-
                           2
      向右            向下   1) +2
y=-3x2    y=-3(x-1)2      y=-3(x-1)2-2
      向左            向上
y=-3x2    y=-3(x+1)2      y=-3(x+1)2+2
      向左            向下
y=-3x2    y=-3(x+1)2      y=-3(x+1)2-2
n(1)二次函数y=3(x+1)2的图象可以把二次函
数y=3x2的图象向左平移1个单位得到,它的
对称轴是x=-1 (即x+1=0),顶点坐标是(-1,0) 


                 2
n(2)二次函数y=-3(x-2) +4的图象可以把二次
函数y=-3x2的图象先向右平移2个单位,再向
向上平移4个单位得到,它的对称轴是x=2(即
x-2=0),顶点坐标是(2, 4) 
       y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系

n 一般地, y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²
 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,
 向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平
 移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
n 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,
 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值
 有关. 
             二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴
2.位置与开口方向
3.增减性与最值
根据图形填表:

  抛物线       y=a(x-h)2+k(a>0)       y=a(x-h)2+k(a<0)
 顶点坐标         (h,k)                  (h,k)
  对称轴         直线x=h                  直线x=h

   位置       由h和k的符号确定              由h和k的符号确定
 开口方向           向上                    向下

          在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小    在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大
  增减性     . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而   . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而
                  增大.                   减小. 
   最值      当x=h时,最小值为      k.    当x=h时,最大值为     k.
n   1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐
  标及最值:

n     


                        2
  n 2.对于二次函数y=3(x+1)     ,当x取哪些值时,y
   的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的
   值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4
   呢? 
                y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系

1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). 
 (2)都是轴对  称图形. 
 (3)都有最(大或小)值.
 (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在
对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. 
    a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在
对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 

2.不同点: (1) 只是位置不同、顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
 (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
 (3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴
整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时
,向下平移)得到的.
n1.指出下列函数图象的开口方向,对称
轴和顶点坐标.必要时作出草图进           行验
证.


n2.填写下表:

 y=a(x-h)²+k 开口方向 对称轴   顶点坐标

   a>0

   a<0
课堂练习
1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线y =0.5    x 2           
 先向左      平移2个单位,在向下平移3           个
 单位得到。               –1         大
2.已知 –3s= –(x+1)2–3,当x为       时,s取最       
 值为        。
3.顶点坐标为 D(1,1),且经过原点的抛物线的函
 数解析式是(      )
• y=(x+1)2+1           B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1           D. y= –(x–1)2+1
练习1:指出下面函数的开口方向,对称
轴,顶点坐标,最值。
  1) y=2(x+3)2+5 ; 2) y=4(x-3)2+7 ;
  3) y=-3(x-1)2-2  ;    4) y=-5(x+2)2-6

 练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是(C  
 )

     A y=-2x2-2     B  y=2x2-2   C y=-1/2(x+2)2-2  
     D y=-5(x-2)2-6
1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为B (        
)
A  y=a(x+3)2+5      B  y=a(x-3)2+5
C  y=a(x-3)2-5        D  y=a(x+3)2-5
2.二次函数D y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必
在(    )上
A)直线y=-2x上         B)x轴上                          
C)y轴上                     D)直线y=2x上
3.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常数,点(       
, y )   点(       , y )点(8,  y )在该抛物线上,试
  1 y3> y1 > y2   2        3
比较y1,y2,y3的大小
(                         )   
n 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水
  管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线
  形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高
  度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
  解:如图,建立直角坐标系,
  点(1,3)是图中这段抛物线的顶点
  ,
  因此可y=a(设这x-1段抛物)2+3(线对应0≤x≤3的函数是)
   由这段抛物线经过点(3,0)可得
     0=a(3-1)2+3,
     解得 :


     当x=0时,y=2.25,也就是说,水管应长2.25m.
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再
向下平移4个单位所得抛物线的解析式
是________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移
得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的
平移得到抛物线y=2(x+2)2-1

4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过
(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
    
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