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2016年山东省枣庄市中考数学试卷

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初中数学审核员

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                 2016   年山东省枣庄市中考数学试卷

 

一、选择题:本大题共          12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正

确的选项选出来,每小题选对得              3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。

1.下列计算,正确的是(  )

    2  2   2   2  2  4      2  2 4          2  2
A.a  •a =2a B.a +a =a C.(﹣a  ) =a D.(a+1)    =a +1

2.如图,∠AOB      的一边   OA 为平面镜,∠AOB=37°36′,在        OB 上有一点    E,从   E 点射出一

束光线经    OA  上一点   D 反射,反射光线       DC 恰好与    OB 平行,则∠DEB     的度数是(  )


A.75°36′ B.75°12′ C.74°36′ D.74°12′

3.某中学篮球队       12 名队员的年龄如表:

年龄(岁)
             13      14      15     16

   人数        1        5      4      2

关于这   12 名队员年龄的年龄,下列说法错误的是(  )

A.众数是     14 B.极差是    3 C.中位数是     14.5 D.平均数是    14.8

4.如图,在△ABC       中,AB=AC,∠A=30°,E      为  BC 延长线上一点,∠ABC        与∠ACE   的平

分线相交于点      D,则∠D    的度数为(  )


A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°

                    2
5.已知关于     x 的方程   x +3x+a=0 有一个根为﹣2,则另一个根为(  )
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A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣5

6.有   3 块积木,每一块的各面都涂上不同的颜色,3                 块的涂法完全相同,现把它们摆放成

不同的位置(如图),请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是(  )


A.白   B.红    C.黄   D.黑

7.如图,△ABC      的面积为    6,AC=3,现将△ABC      沿  AB 所在直线翻折,使点         C 落在直线

AD 上的   C′处,P  为直线   AD  上的一点,则线段        BP 的长不可能是(  )


A.3 B.4 C.5.5 D.10

                          2
8.若关于    x 的一元二次方程       x ﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根,则一次函数              y=kx+b 的

大致图象可能是(  )


A.                   B.                 C.                 D.


9.如图,四边形       ABCD  是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB          于 H,则   DH 等于(  )


A.     B.     C.5 D.4
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10.已知点    P(a+1,﹣    +1)关于原点的对称点在第四象限,则                a 的取值范围在数轴上表
示正确的是(  )

A.                    B.

C.                      D.

11.如图,AB     是⊙O   的直径,弦     CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2        ,则阴影部分的面积为

(  )


A.2π B.π C.       D.
12.如图,已知二次函数          y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:

                                     2
①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b          <0;其中正确的结论有(  )


A.1  个  B.2  个  C.3 个  D.4  个

 

二、填空题:本大题共          6 小题,满分     24 分,只填写最后结果,每小题填对得               4 分。

              1
13.计算:       ﹣2﹣ + ﹣|﹣2|=      .

14.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4                                  米,

AB=8 米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高             CD 为      米(结果精确到

0.1 米,参考数据:         =1.41,    =1.73).
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15.如图,在半径为        3 的⊙O  中,直径     AB 与弦  CD 相交于点     E,连接   AC,BD,若

AC=2,则   tanD=      .


16.如图,点     A 的坐标为(﹣4,0),直线         y=   x+n 与坐标轴交于点       B、C,连接     AC,如

果∠ACD=90°,则     n 的值为      .


17.如图,在△ABC       中,∠C=90°,AC=BC=       ,将△ABC    绕点  A 顺时针方向旋转       60°到

△AB′C′的位置,连接       C′B,则  C′B=      .


18.一列数    a1,a2,a3,…满足条件:a1=         ,an=         (n≥2,且    n 为整数),则

a2016=      .
 

三、解答题:本大题共          7 小题,满分     60 分,解答时,要写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤。
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                                                            2
19.先化简,再求值:                                 ,其中    a 是方程  2x +x﹣3=0 的解.

20.Pn 表示   n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点),如果这些交点都不重合,


                                      2
那么   Pn 与 n 的关系式是:Pn=             •(n ﹣an+b)(其中    a,b 是常数,n≥4)

(1)通过画图,可得:四边形时,P4=      ;五边形时,P5=      

(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数,结合关系式,求                           a,b 的值.

21.小军同学在学校组织的社会实践活动中,负责了解他所居住的小区                             450 户具名的生活

用水情况,他从中随机调查了             50 户居民的月均用水量(单位:t),并绘制了样本的频数

分布表:

月均用水
           2≤x<3    3≤x<4     4≤x<5     5≤x<6    6≤x<7     7≤x<8    8≤x<9
   量

  频数         2        12        ①         10       ②         3         2

 百分比         4%       24%      30%       20%       ③        6%        4%

(1)请根据题中已有的信息补全频数分布:①      ,②      ,③      

;

(2)如果家庭月均用水量在            5≤x<8 范围内为中等用水量家庭,请你通过样本估计总体中

的中等用水量家庭大约有多少户?

(3)记月均用水量在         2≤x<3 范围内的两户为        a1,a2,在  7≤x<8 范围内的     3 户 b1、b2、

b3,从这   5 户家庭中任意抽取        2 户,试完成下表,并求出抽取出的              2 户家庭来自不同范围
的概率.

                  a1          a2           b1           b2           b3

     a1

     a2

     b1

     b2

     b3

22.如图,在矩形       OABC  中,OA=3,OC=2,F      是  AB 上的一个动点(F       不与  A,B  重合)

,过点   F 的反比例函数      y=  (k>0)的图象与       BC 边交于点    E.
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(1)当   F 为 AB  的中点时,求该函数的解析式;

(2)当   k 为何值时,△EFA      的面积最大,最大面积是多少?


23.如图,AC     是⊙O   的直径,BC     是⊙O  的弦,点     P 是⊙O  外一点,连接      PB、AB,

∠PBA=∠C.

(1)求证:PB      是⊙O  的切线;

(2)连接    OP,若   OP∥BC,且    OP=8,⊙O   的半径为    2   ,求  BC 的长.


24.如图,把△EFP      放置在菱形     ABCD  中,使得顶点      E,F,P   分别在线段     AB,AD,

AC 上,已知     EP=FP=6,EF=6    ,∠BAD=60°,且     AB>6    .

(1)求∠EPF    的大小;

(2)若   AP=10,求   AE+AF  的值;

(3)若△EFP    的三个顶点     E、F、P   分别在线段     AB、AD、AC     上运动,请直接写出         AP 长

的最大值和最小值.


                        2
25.如图,已知抛物线         y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为直线         x=﹣1,且抛物线经过      A(1,

0),C(0,3)两点,与         x 轴交于点    B.

(1)若直线     y=mx+n 经过   B、C  两点,求直线      BC 和抛物线的解析式;
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(2)在抛物线的对称轴          x=﹣1 上找一点   M,使点    M  到点  A 的距离与到点      C 的距离之和最

小,求出点     M  的坐标;

(3)设点    P 为抛物线的对称轴        x=﹣1 上的一个动点,求使△BPC         为直角三角形的点        P 的坐

标.


 
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                                参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共          12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正

确的选项选出来,每小题选对得              3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。

1.下列计算,正确的是(  )

    2  2   2   2  2  4      2  2 4          2  2
A.a  •a =2a B.a +a =a C.(﹣a  ) =a D.(a+1)    =a +1

【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式.

【分析】根据同底数幂相乘判断              A,根据合并同类项法则判断            B,根据积的乘方与幂的乘

方判断   C,根据完全平方公式判断            D.

【解答】解:A、a2•a2=a4,故此选项错误;

B、a2+a2=2a2,故此选项错误;

       2 2  4
C、(﹣a  )  =a ,故此选项正确;

D、(a+1)2=a2+2a+1,故此选项错误;

故选:C.

【点评】本题主要考查了幂的运算、合并同类项法则及完全平方公式,熟练掌握其法则是

解题的关键.

 

2.如图,∠AOB      的一边   OA 为平面镜,∠AOB=37°36′,在        OB 上有一点    E,从   E 点射出一

束光线经    OA  上一点   D 反射,反射光线       DC 恰好与    OB 平行,则∠DEB     的度数是(  )


A.75°36′ B.75°12′ C.74°36′ D.74°12′

【考点】平行线的性质;度分秒的换算.
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【分析】过点      D 作  DF⊥AO  交 OB 于点   F.根据题意知,DF       是∠CDE   的角平分线,故

∠1=∠3;然后又由两直线         CD∥OB  推知内错角∠1=∠2;最后由三角形的内角和定理求得

∠DEB  的度数.

【解答】解:过点        D 作  DF⊥AO  交 OB 于点   F.

∵入射角等于反射角,

∴∠1=∠3,

∵CD∥OB,

∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等);

∴∠2=∠3(等量代换);

在  Rt△DOF 中,∠ODF=90°,∠AOB=37°36′,

∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′;

∴在△DEF   中,∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′.

故选   B.


【点评】本题主要考查了平行线的性质.解答本题的关键是根据题意找到法线,然后由法

线的性质来解答问题.

 

3.某中学篮球队       12 名队员的年龄如表:

年龄(岁)
             13      14      15     16

   人数        1        5      4      2

关于这   12 名队员年龄的年龄,下列说法错误的是(  )

A.众数是     14 B.极差是    3 C.中位数是     14.5 D.平均数是    14.8

【考点】极差;加权平均数;中位数;众数.

【分析】分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案.

【解答】解:由图表可得:14            岁的有   5 人,故众数是      14,故选项    A 正确,不合题意;
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极差是:16﹣13=3,故选项        B 正确,不合题意;

中位数是:14.5,故选项         C 正确,不合题意;

平均数是:(13+14×5+15×4+16×2)÷12≈14.5,故选项          D 错误,符合题意.

故选:D.

【点评】此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法,正确把握相关定义是

解题关键.

 

4.如图,在△ABC       中,AB=AC,∠A=30°,E      为  BC 延长线上一点,∠ABC        与∠ACE   的平

分线相交于点      D,则∠D    的度数为(  )


A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°

【考点】等腰三角形的性质.

【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根据三角形外角性质得

∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,则       2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性质得到∠D=             ∠A,然后
把∠A  的度数代入计算即可.

【解答】解:∵∠ABC        的平分线与∠ACE      的平分线交于点       D,


∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠ACE=∠A+∠ABC,

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,

∴2∠1=2∠3+∠A,

∵∠1=∠3+∠D,
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∴∠D=   ∠A=  ×30°=15°.
故选   A.

【点评】本题考查了三角形内角和定理,关键是根据三角形内角和是                             180°和三角形外角性

质进行分析.

 

                    2
5.已知关于     x 的方程   x +3x+a=0 有一个根为﹣2,则另一个根为(  )

A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣5

【考点】根与系数的关系.

                         2
【分析】根据关于        x 的方程   x +3x+a=0 有一个根为﹣2,可以设出另一个根,然后根据根与

系数的关系可以求得另一个根的值,本题得以解决.

                          2
【解答】解:∵关于        x 的方程   x +3x+a=0 有一个根为﹣2,设另一个根为           m,

∴﹣2+m=     ,

解得,m=﹣1,

故选   B.

【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项

系数比值的相反数.

 

6.有   3 块积木,每一块的各面都涂上不同的颜色,3                 块的涂法完全相同,现把它们摆放成

不同的位置(如图),请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是(  )


A.白   B.红    C.黄   D.黑

【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.

【分析】根据图形可得涂有绿色一面的邻边是白,黑,红,蓝,即可得到结论.

【解答】解:∵涂有绿色一面的邻边是白,黑,红,蓝,

∴涂成绿色一面的对面的颜色是黄色,

故选   C.
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【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字问题,此类问题可以制作一个正方体,根

据题意在各个面上标上图案,再确定对面上的图案,可以培养动手操作能力和空间想象能

力.

 

7.如图,△ABC      的面积为    6,AC=3,现将△ABC      沿  AB 所在直线翻折,使点         C 落在直线

AD 上的   C′处,P  为直线   AD  上的一点,则线段        BP 的长不可能是(  )


A.3 B.4 C.5.5 D.10

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】过     B 作  BN⊥AC  于 N,BM⊥AD    于  M,根据折叠得出∠C′AB=∠CAB,根据角平分

线性质得出     BN=BM,根据三角形的面积求出             BN,即可得出点       B 到 AD 的最短距离是       4,

得出选项即可.

【解答】解:如图:

过  B 作 BN⊥AC  于 N,BM⊥AD    于  M,

∵将△ABC   沿  AB 所在直线翻折,使点         C 落在直线    AD 上的  C′处,

∴∠C′AB=∠CAB,

∴BN=BM,

∵△ABC  的面积等于     6,边   AC=3,

∴  ×AC×BN=6,
∴BN=4,

∴BM=4,

即点   B 到 AD 的最短距离是      4,

∴BP 的长不小于     4,

即只有选项     A 的  3 不正确,

故选   A.
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【点评】本题考查了折叠的性质,三角形的面积,角平分线性质的应用,解此题的关键是

求出   B 到 AD 的最短距离,注意:角平分线上的点到角的两边的距离相等.

 

                          2
8.若关于    x 的一元二次方程       x ﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根,则一次函数              y=kx+b 的

大致图象可能是(  )


A.                   B.                 C.                 D.


【考点】根的判别式;一次函数的图象.

                         2
【分析】根据一元二次方程            x ﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根,得到判别式大于                0,求

出  kb 的符号,对各个图象进行判断即可.

              2
【解答】解:∵x       ﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根,

∴△=4﹣4(kb+1)>0,

解得   kb<0,

A.k>0,b>0,即       kb>0,故   A 不正确;

B.k>0,b<0,即       kb<0,故   B 正确;

C.k<0,b<0,即       kb>0,故   C 不正确;

D.k>0,b=0,即      kb=0,故  D 不正确;

故选:B.
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【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情

况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个

相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.

 

9.如图,四边形       ABCD  是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB          于 H,则   DH 等于(  )


A.     B.     C.5 D.4
【考点】菱形的性质.

【分析】根据菱形性质求出            AO=4,OB=3,∠AOB=90°,根据勾股定理求出              AB,再根据菱

形的面积公式求出即可.


【解答】解:

∵四边形    ABCD 是菱形,

∴AO=OC,BO=OD,AC⊥BD,

∵AC=8,DB=6,

∴AO=4,OB=3,∠AOB=90°,

由勾股定理得:AB=               =5,


∵S 菱形 ABCD=                   ,

∴                ,

∴DH=    ,
故选   A.
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【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用,能根据菱形的性质得出                                S 菱形 ABCD=

                   是解此题的关键.
 

10.已知点    P(a+1,﹣    +1)关于原点的对称点在第四象限,则                a 的取值范围在数轴上表
示正确的是(  )

A.                    B.                     C.                      D.


【考点】关于原点对称的点的坐标;在数轴上表示不等式的解集.

【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标,再利用第四象限点的坐标性质得出

答案.

【解答】解:∵点       P(a+1,﹣    +1)关于原点的对称点坐标为:(﹣a﹣1,               ﹣1),该点在第四
象限,


∴            ,

解得:a<﹣1,

则  a 的取值范围在数轴上表示为:

                    .
故选:C.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法,正确得出关于                                    a 的

不等式组是解题关键.

 

11.如图,AB     是⊙O   的直径,弦     CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2        ,则阴影部分的面积为

(  )
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A.2π B.π C.       D.
【考点】扇形面积的计算.

【专题】探究型.

【分析】要求阴影部分的面积,由图可知,阴影部分的面积等于扇形                             COB 的面积,根据

已知条件可以得到扇形          COB  的面积,本题得以解决.

【解答】解:∵∠CDB=30°,

∴∠COB=60°,

又∵弦   CD⊥AB,CD=2      ,


∴OC=                 ,

∴                                  ,

故选   D.

【点评】本题考查扇形面积的计算,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答问题.

 

12.如图,已知二次函数          y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:

                                     2
①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b          <0;其中正确的结论有(  )


A.1  个  B.2  个  C.3 个  D.4  个

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】压轴题.

【分析】首先根据二次函数            y=ax2+bx+c 的图象经过原点,可得         c=0,所以   abc=0;然后根

据  x=1 时,y<0,可得     a+b+c<0;再根据图象开口向下,可得              a<0,图象的对称轴为         x=﹣
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                                                            2
  ,可得﹣          ,b<0,所以      b=3a,a>b;最后根据二次函数          y=ax +bx+c 图象与   x 轴

                           2            2
有两个交点,可得△>0,所以            b ﹣4ac>0,4ac﹣b <0,据此解答即可.

【解答】解:∵二次函数          y=ax2+bx+c 图象经过原点,

∴c=0,

∴abc=0

∴①正确;

∵x=1 时,y<0,

∴a+b+c<0,

∴②不正确;

∵抛物线开口向下,

∴a<0,

∵抛物线的对称轴是        x=﹣  ,

∴﹣        ,b<0,
∴b=3a,

又∵a<0,b<0,

∴a>b,

∴③正确;

∵二次函数     y=ax2+bx+c 图象与  x 轴有两个交点,

∴△>0,

  2            2
∴b ﹣4ac>0,4ac﹣b <0,

∴④正确;

综上,可得

正确结论有     3 个:①③④.

故选:C.

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是

要明确:①二次项系数           a 决定抛物线的开口方向和大小:当              a>0 时,抛物线向上开口;

当  a<0 时,抛物线向下开口;②一次项系数                b 和二次项系数      a 共同决定对称轴的位置:

当  a 与 b 同号时(即    ab>0),对称轴在       y 轴左;   当  a 与 b 异号时(即    ab<0),对称轴
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在  y 轴右.(简称:左同右异)③常数项               c 决定抛物线与      y 轴交点.    抛物线与    y 轴交于

(0,c).

 

二、填空题:本大题共          6 小题,满分     24 分,只填写最后结果,每小题填对得               4 分。


              1
13.计算:       ﹣2﹣ + ﹣|﹣2|= 2  .

【考点】实数的运算;负整数指数幂.

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及结合绝对值的性质和二次根式的性质分别化简

求出答案.

                1
【解答】解:         ﹣2﹣ + ﹣|﹣2|

=3﹣ +2﹣2

=2  .

故答案为:2       .
【点评】此题主要考查了实数运算,根据题意正确化简各数是解题关键.

 

14.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4                                  米,

AB=8 米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高             CD 为 2.9 米(结果精确到          0.1 米,

参考数据:         =1.41,   =1.73).


【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得                    DM=AM=4m,再根据勾股定理可得

MC2+MB2=(2MC)2,代入数可得答案.

【解答】解:由题意可得:∵AM=4             米,∠MAD=45°,

∴DM=4m,

∵AM=4  米,AB=8   米,
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∴MB=12  米,

∵∠MBC=30°,

∴BC=2MC,

∴MC2+MB2=(2MC)2,

MC2+122=(2MC)2,

∴MC=4    ,

则  DC=4   ﹣4≈2.9(米),

故答案为:2.9.

【点评】此题主要考查了勾股定理得应用,关键是掌握直角三角形中,两直角边的平方和

等于斜边的平方.

 

15.如图,在半径为        3 的⊙O  中,直径     AB 与弦  CD 相交于点     E,连接   AC,BD,若

AC=2,则   tanD= 2     .


【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】连接      BC 可得   RT△ACB,由勾股定理求得          BC 的长,进而由      tanD=tanA=   可得
答案.

【解答】解:如图,连接           BC,


∵AB 是⊙O   的直径,

∴∠ACB=90°,

∵AB=6,AC=2,

∴BC=            =          =4  ,
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又∵∠D=∠A,

∴tanD=tanA=   =     =2  .
故答案为:2        .

【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形,连接                               BC 构造直角三

角形是解题的关键.

 

16.如图,点     A 的坐标为(﹣4,0),直线         y=   x+n 与坐标轴交于点       B、C,连接     AC,如

果∠ACD=90°,则     n 的值为            .


【考点】一次函数图象上点的坐标特征.


【分析】由直线       y=   x+n 与坐标轴交于点       B,C,得    B 点的坐标为(﹣        n,0),C   点的

坐标为(0,n),由        A 点的坐标为(﹣4,0),∠ACD=90°,用勾股定理列出方程求出                     n 的

值.

【解答】解:∵直线        y=   x+n 与坐标轴交于点       B,C,


∴B 点的坐标为(﹣        n,0),C    点的坐标为(0,n),

∵A 点的坐标为(﹣4,0),∠ACD=90°,

∴AB2=AC2+BC2,

∵AC2=AO2+OC2,BC2=0B2+0C2,

∴AB2=AO2+OC2+0B2+0C2,


             2 2  2         2  2
即(﹣     n+4) =4 +n +(﹣    n) +n


解得   n=﹣    ,n=0(舍去).
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故答案为:            .
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及解直角三角形,解题的关键是利

用勾股定理列出方程求          n.

 

17.如图,在△ABC       中,∠C=90°,AC=BC=       ,将△ABC    绕点  A 顺时针方向旋转       60°到

△AB′C′的位置,连接       C′B,则  C′B=     ﹣1 .


【考点】旋转的性质.

【分析】连接      BB′,根据旋转的性质可得          AB=AB′,判断出△ABB′是等边三角形,根据等

边三角形的三条边都相等可得             AB=BB′,然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等,根

据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延长                 BC′交 AB′于  D,根据等边三角形的性

质可得   BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出            AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角

形的性质求出      BD、C′D,然后根据       BC′=BD﹣C′D 计算即可得解.

【解答】解:如图,连接           BB′,

∵△ABC  绕点   A 顺时针方向旋转       60°得到△AB′C′,

∴AB=AB′,∠BAB′=60°,

∴△ABB′是等边三角形,

∴AB=BB′,

在△ABC′和△B′BC′中,


                ,
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),

∴∠ABC′=∠B′BC′,

延长   BC′交 AB′于  D,
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则  BD⊥AB′,

∵∠C=90°,AC=BC=      ,

∴AB=                 =2,

∴BD=2×    =   ,

C′D=  ×2=1,

∴BC′=BD﹣C′D=   ﹣1.

故答案为:        ﹣1.


【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,

等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出                         BC′在等边三角形的高上是解

题的关键,也是本题的难点.

 


18.一列数    a1,a2,a3,…满足条件:a1=         ,an=         (n≥2,且    n 为整数),则

a2016= ﹣1 .

【考点】规律型:数字的变化类.

【分析】根据题意求出          a1,a2,a3,…的值,找出循环规律即可求解.


【解答】解:a1=       ,a2=       =2,a3=      =﹣1,a4=         =  …

可以发现:数列以         ,2,﹣1  循环出现,
2016÷3=672,

所以   a2016=﹣1.
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故答案为﹣1.

【点评】此题主要考查数列的规律探索,认真计算找出循环出现的规律是解题的关键.

 

三、解答题:本大题共          7 小题,满分     60 分,解答时,要写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤。


                                                            2
19.先化简,再求值:                                 ,其中    a 是方程  2x +x﹣3=0 的解.
【考点】分式的化简求值.

【分析】先化简代数式、解方程,然后结合分式的性质对                        a 的值进行取舍,并代入求值即

可.


【解答】解:原式=                 ÷           ,


=         •         ,


=     .

     2
由  2x +x﹣3=0 得到:x1=1,x2=﹣   ,

又  a﹣1≠0 即 a≠1,

所以   a=﹣ ,


所以原式=            =﹣   .
【点评】本题考查了分式的化简求值.解答该题时,一定要注意分式的分母不等于零这一

限制性条件,以防错解该题.

 

20.Pn 表示   n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点),如果这些交点都不重合,


                                      2
那么   Pn 与 n 的关系式是:Pn=             •(n ﹣an+b)(其中    a,b 是常数,n≥4)

(1)通过画图,可得:四边形时,P4= 1 ;五边形时,P5= 5 
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(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数,结合关系式,求                           a,b 的值.

【考点】作图—应用与设计作图;二元一次方程的应用;多边形的对角线.

【分析】(1)依题意画出图形,数出图形中对角线交点的个数即可得出结论;

(2)将(1)中的数值代入公式可得出关于                  a、b 的二元一次方程组,解方程组即可得出结

论.

【解答】解:(1)画出图形如下.


由画形,可得:

当  n=4 时,P4=1;当   n=5 时,P5=5.

故答案为:1;5.

(2)将(1)中的数值代入公式,


得:                              ,

解得:        .
【点评】本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用,解题的关键是:

(1)画出图形,数出对角线交点的个数;(2)代入数据得出关于                           a、b 的二元一次方程

组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,依据题意画出图形,利用数形结合

解决问题是关键.

 

21.小军同学在学校组织的社会实践活动中,负责了解他所居住的小区                             450 户具名的生活

用水情况,他从中随机调查了             50 户居民的月均用水量(单位:t),并绘制了样本的频数

分布表:

月均用水
           2≤x<3    3≤x<4     4≤x<5     5≤x<6    6≤x<7     7≤x<8    8≤x<9
   量

  频数         2        12        ①         10       ②         3         2

 百分比         4%       24%      30%       20%       ③        6%        4%
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(1)请根据题中已有的信息补全频数分布:① 15 ,② 6 ,③ 12% ;

(2)如果家庭月均用水量在            5≤x<8 范围内为中等用水量家庭,请你通过样本估计总体中

的中等用水量家庭大约有多少户?

(3)记月均用水量在         2≤x<3 范围内的两户为        a1,a2,在  7≤x<8 范围内的     3 户 b1、b2、

b3,从这   5 户家庭中任意抽取        2 户,试完成下表,并求出抽取出的              2 户家庭来自不同范围
的概率.

                  a1          a2           b1           b2           b3

     a1

     a2

     b1

     b2

     b3

【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;频数(率)分布表.

【分析】(1)根据频数的相关知识列式计算即可.

(2)用总体乘以样本中中等用水量家庭的百分比即可;

(3)先完成表格,再求概率即可.

【解答】解:(1)①50×30%=15,

②50﹣2﹣12﹣15﹣10﹣3﹣2=6,

③6÷50=0.12=12%,

故答案为:15,6,12%;

(2)中等用水量家庭大约有            450×(20%+12%+6%)=171(户);

(3)
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抽取出的    2 户家庭来自不同范围的概率:

P=   =  .
【点评】此题主要考查频数分布表和概率的相关知识,会求频数,会用样本估计总体,会

用列表法求事件的概率是解题的关键.

 

22.如图,在矩形       OABC  中,OA=3,OC=2,F      是  AB 上的一个动点(F       不与  A,B  重合)

,过点   F 的反比例函数      y=  (k>0)的图象与       BC 边交于点    E.
(1)当   F 为 AB  的中点时,求该函数的解析式;

(2)当   k 为何值时,△EFA      的面积最大,最大面积是多少?


【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数的

最值.

【分析】(1)当       F 为 AB 的中点时,点       F 的坐标为(3,1),由此代入求得函数解析式即

可;

(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积,得到关于                        k 的二次函数,利用二次函数求

出最值即可.

【解答】解:(1)∵在矩形           OABC  中,OA=3,OC=2,

∴B(3,2),

∵F 为 AB 的中点,

∴F(3,1),

∵点  F 在反比例函数     y=  (k>0)的图象上,
∴k=3,

∴该函数的解析式为        y=  (x>0);
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(2)由题意知      E,F  两点坐标分别为       E(   ,2),F(3,      ),

∴S△EFA=  AF•BE=   ×  k(3﹣  k),

        2
=  k﹣  k

       2
=﹣   (k ﹣6k+9﹣9)

           2
=﹣   (k﹣3) +
当  k=3 时,S  有最大值.


S 最大值=   .
【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,待定系数法确定

反比例解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

 

23.如图,AC     是⊙O   的直径,BC     是⊙O  的弦,点     P 是⊙O  外一点,连接      PB、AB,

∠PBA=∠C.

(1)求证:PB      是⊙O  的切线;

(2)连接    OP,若   OP∥BC,且    OP=8,⊙O   的半径为    2   ,求  BC 的长.


【考点】切线的判定.

【分析】(1)连接        OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由

OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;

(2)证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出                     BC 的长.

【解答】(1)证明:连接           OB,如图所示:

∵AC 是⊙O   的直径,

∴∠ABC=90°,

∴∠C+∠BAC=90°,

∵OA=OB,
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∴∠BAC=∠OBA,

∵∠PBA=∠C,

∴∠PBA+∠OBA=90°,

即  PB⊥OB,

∴PB 是⊙O   的切线;

(2)解:∵⊙O      的半径为    2   ,

∴OB=2    ,AC=4    ,

∵OP∥BC,

∴∠C=∠BOP,

又∵∠ABC=∠PBO=90°,

∴△ABC∽△PBO,

∴       ,

即            ,
∴BC=2.


【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质;

熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键.

 

24.如图,把△EFP      放置在菱形     ABCD  中,使得顶点      E,F,P   分别在线段     AB,AD,

AC 上,已知     EP=FP=6,EF=6    ,∠BAD=60°,且     AB>6    .

(1)求∠EPF    的大小;

(2)若   AP=10,求   AE+AF  的值;

(3)若△EFP    的三个顶点     E、F、P   分别在线段     AB、AD、AC     上运动,请直接写出         AP 长

的最大值和最小值.
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【考点】菱形的性质;几何问题的最值.

【分析】(1)根据锐角三角函数求出∠FPG,最后求出∠EPF.

(2)先判断出      Rt△PME≌Rt△PNF,再根据锐角三角函数求解即可,

(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出                  AP 最大和最小值.

【解答】解:(1)过点          P 作 PG⊥EF  于点  G,如图    1 所示.


∵PE=PF=6,EF=6     ,

∴FG=EG=3    ,∠FPG=∠EPG=     ∠EPF.

在  Rt△FPG 中,sin∠FPG=     =     =   ,
∴∠FPG=60°,

∴∠EPF=120°.

(2)过点    P 作 PM⊥AB   于点  M,作   PN⊥AD  于点   N,如图   2 所示.


∵AC 为菱形    ABCD  的对角线,

∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.

在  Rt△PME 和  Rt△PNF 中,PM=PN,PE=PF,

∴Rt△PME≌Rt△PNF,

∴ME=NF.

又  AP=10,∠PAM=    ∠DAB=30°,
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∴AM=AN=APcos30°=10×     =5   ,

∴AE+AF=(AM+ME)+(AN﹣NF)=AM+AN=10             .

(3)如图,


当△EFP  的三个顶点分别在        AB,AD,AC     上运动,点     P 在 P1,P  之间运动,

∴P1O=PO=3,AO=9,

∴AP 的最大值为     12,AP  的最小值为      6,

【点评】此题是菱形的性质题,主要考查了菱形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函

数,解本题的关键是作出辅助线.

 

                        2
25.如图,已知抛物线         y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为直线         x=﹣1,且抛物线经过      A(1,

0),C(0,3)两点,与         x 轴交于点    B.

(1)若直线     y=mx+n 经过   B、C  两点,求直线      BC 和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴          x=﹣1 上找一点   M,使点    M  到点  A 的距离与到点      C 的距离之和最

小,求出点     M  的坐标;

(3)设点    P 为抛物线的对称轴        x=﹣1 上的一个动点,求使△BPC         为直角三角形的点        P 的坐

标.


【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题.
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【分析】(1)先把点         A,C  的坐标分别代入抛物线解析式得到               a 和 b,c 的关系式,再根

据抛物线的对称轴方程可得            a 和 b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出                   a,b,

c 的值即可得到抛物线解析式;把             B、C  两点的坐标代入直线         y=mx+n,解方程组求出

m 和  n 的值即可得到直线解析式;

(2)设直线     BC 与对称轴     x=﹣1 的交点为   M,则此时     MA+MC   的值最小.把      x=﹣1 代入直线

y=x+3 得 y 的值,即可求出点        M 坐标;

                                                          2       2
(3)设   P(﹣1,t),又因为       B(﹣3,0),C(0,3),所以可得           BC  =18,PB  =(﹣1+3)

2  2   2    2      2       2 2
 +t =4+t ,PC =(﹣1)  +(t﹣3)  =t ﹣6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意              t 值即可

求出点   P 的坐标.


【解答】解:(1)依题意得:                        ,


解之得:           ,

                   2
∴抛物线解析式为       y=﹣x ﹣2x+3

∵对称轴为     x=﹣1,且抛物线经过      A(1,0),

∴把  B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线            y=mx+n,


得            ,

解之得:         ,
∴直线   y=mx+n 的解析式为     y=x+3;


(2)设直线     BC 与对称轴     x=﹣1 的交点为   M,则此时     MA+MC   的值最小.

把  x=﹣1 代入直线   y=x+3 得,y=2,

∴M(﹣1,2),

即当点   M  到点  A 的距离与到点      C 的距离之和最小时        M 的坐标为(﹣1,2);
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(3)设   P(﹣1,t),

又∵B(﹣3,0),C(0,3),

    2       2        2  2   2    2      2       2 2
∴BC  =18,PB  =(﹣1+3)  +t =4+t ,PC =(﹣1)  +(t﹣3) =t ﹣6t+10,

                          2   2   2          2 2
①若点    B 为直角顶点,则       BC +PB  =PC 即:18+4+t  =t ﹣6t+10 解之得:t=﹣2;

                          2   2   2        2        2
②若点    C 为直角顶点,则       BC +PC  =PB 即:18+t  ﹣6t+10=4+t 解之得:t=4,


                         2   2    2      2  2
③若点    P 为直角顶点,则       PB +PC =BC  即:4+t  +t ﹣6t+10=18 解之得:t1=        ,t2=

        ;

综上所述    P 的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,                 )  或(﹣1,          ).


【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函

数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考

压轴题.
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