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北师大九年级上《1.3正方形的性质与判定》同步练习(有答案)

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         2018-2019 学年度北师大版数学九年级上册同步练习

                       1.3 正方形的性质与判定

            学校:___________姓名:___________班级:___________

 一.选择题(共       12 小题)
 1.下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等(  )
 A.矩形      B.菱形       C.平行四边形       D.正方形
 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(  )
 A.对角线相等       B.对角线互相平分
 C.对角线互相垂直        D.对角形互相垂直平分
 3.如图,已知正方形         ABCD 的边长为     1,连结   AC、BD,CE   平分∠ACD    交  BD 于
点  E,则  DE 长(  )


 A.        B.     C.1    D.1﹣

 4.如图,四边形       ABCD 是边长为     6 的正方形,点      E 为边  BC 上的点,以     DE 为边
向外作矩形      DEFG,使   EF 过点  A,若  DE=9,那么    DG 的长为(  )


 A.3    B.3    C.4    D.4
 5.已知四边形      ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是(  )
 A.当  AB=BC 时,四边形      ABCD 是菱形
 B.当  AC⊥BD  时,四边形      ABCD 是菱形
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 C.当∠ABC=90°时,四边形        ABCD 是矩形
 D.当  AC=BD 时,四边形      ABCD 是正方形
 6.如图所示,两个含有          30°角的完全相同的三角板          ABC 和  DEF 沿直线   l 滑动,
下列说法错误的是(  )


 A.四边形    ACDF 是平行四边形
 B.当点   E 为 BC 中点时,四边形       ACDF 是矩形
 C.当点   B 与点  E 重合时,四边形       ACDF 是菱形
 D.四边形    ACDF 不可能是正方形
 7.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形,正确的选择为
 (  )


 A.①    B.②    C.③    D.④
 8.如图,在菱形       ABCD 中,对角线      AC、BD  交于点   O,添加下列一个条件,能
使菱形    ABCD 成为正方形的是(  )


 A.BD=AB   B.AC=AD    C.∠ABC=90°    D.OD=AC
 9.下列说法错误的是(  )
 A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
 B.对角线相等的四边形是矩形
 C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
 D.邻边相等的矩形是正方形
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 10.如图,在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作:连结                          AC,作   AC 的垂
 直平分线    MN  分别交   AD、AC、BC   于  M、O、N,连结       AN,CM,则四边形
 ANCM 是(  )


 A.矩形      B.菱形       C.正方形     D.无法判断
 11.如图,AD    是△ABC   的角平分线,DE,DF        分别是△ABD     和△ACD   的高,得
 到下面四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形                      AEDF 是正
 方形;④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是(  )


 A.②③      B.②④       C.②③④     D.①③④
 12.在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图,▱ABCD                       的对角线相交于
 点 O,过点    O 作 EF 垂直于   BD 交 AB,CD  分别于点     F,E,连接    DF,BE.请根据
上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:
 小青:OE=OF;小何:四边形           DFBE 是正方形;

 小夏:S   四边形 AFED=S 四边形 FBCE;小雨:∠ACE=∠CAF.
 这四位同学写出的结论中不正确的是(  )


 A.小青      B.小何       C.小夏      D.小雨
  

 二.填空题(共       6 小题)
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 13.如图,将正方形        OEFG 放在平面直角坐标系中,O            是坐标原点,点       E 的坐
 标为(2,3),则点        F 的坐标为         .


 14.如图,正方形       ABCD 中,点    E 为对角线    AC 上一点,且     AE=AB,则∠BEA    的
度数是         度.


 15.如图,正方形       ABCD 中,扇形     BAC 与扇形   CBD 的弧交于点     E,AB=2cm.则
图中阴影部分面积为               .


 16.如图,以△ABC      的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,则下列结
论::①△EBF≌△DFC;②四边形             AEFD 为平行四边形;③当         AB=AC,

∠BAC=120°时,四边形       AEFD 是正方形.其中正确的结论是                    .(请写出

 正确结论的序号).


 17.如图,在四边形        ABCD 中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB         于  P.若
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 四边形   ABCD 的面积是     18,则  DP 的长是         .


 18.如图,在正方形        ABCD 中,过    B 作一直线与     CD 相交于点    E,过  A 作  AF 垂
直  BE 于点  F,过  C 作  CG 垂直  BE 于点  G,在   FA 上截取   FH=FB,再过   H 作  HP 垂
直  AF 交 AB 于 P.若   CG=3.则△CGE    与四边形    BFHP 的面积之和为            .


  

 三.解答题(共       5 小题)
 19.如图,在正方形        ABCD 中,点    E,F 分别在   BC,CD  上,且    BE=CF,求证:

△ABE≌△BCF.


 20.已知矩形     ABCD 中,E   是 AD 边上的一个动点,点         F,G,H   分别是    BC,
BE,CE  的中点.
 (1)求证:△BGF≌△FHC;
 (2)设   AD=a,当四边形      EGFH 是正方形时,求矩形         ABCD 的面积.
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 21.如图,在正方形        ABCD 中,E   是边  AB 上的一动点(不与点         A、B  重合),
连接   DE,点   A 关于直线    DE 的对称点为     F,连接   EF 并延长交    BC 于点   G,连接
DG,过点    E 作 EH⊥DE  交  DG 的延长线于点      H,连接    BH.
 (1)求证:GF=GC;
 (2)用等式表示线段         BH 与 AE 的数量关系,并证明.


 22.如图,已知:在四边形           ABFC 中,∠ACB=90°,BC    的垂直平分线       EF 交 BC 于
 点 D,交   AB 于点  E,且  CF=AE;
 (1)试判断四边形        BECF 是什么四边形?并说明理由.
 (2)当∠A    的大小满足什么条件时,四边形               BECF 是正方形?请回答并证明你
 的结论.


 23.四边形    ABCD 为正方形,点       E 为线段   AC 上一点,连接      DE,过点   E 作

EF⊥DE,交射线      BC 于点  F,以   DE、EF 为邻边作矩形       DEFG,连接    CG.

 (1)如图    1,求证:矩形       DEFG 是正方形;
 (2)若   AB=2,CE=    ,求  CG 的长度;
 (3)当线段     DE 与正方形    ABCD 的某条边的夹角是         30°时,直接写出∠EFC       的度
 数.


  
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                              参考答案
 

一.选择题(共       12 小题)
1.D.
2.B.
3.A.
4.C.
5.D.
6.B.
7.C.
8.C.
9.B.
10.B.
11.C.
12.B.
二.填空题(共       6 小题)

13.(﹣1,5).

14.67.5.

15.   .
16.①②.
17.3   .
18.9
 

三.解答题(共       5 小题)
19.证明:∵四边形        ABCD 是正方形,

∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,

在△ABE  和△BCF   中,
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            ,
∴△ABE≌△BCF.

 

20.解:(1)∵点       F,G,H   分别是   BC,BE,CE   的中点,

∴FH∥BE,FH=     BE,FH=BG,

∴∠CFH=∠CBG,

∵BF=CF,

∴△BGF≌△FHC,

(2)当四边形      EGFH 是正方形时,可得:EF⊥GH           且 EF=GH,
∵在△BEC   中,点,H     分别是   BE,CE  的中点,

∴GH=              ,且  GH∥BC,

∴EF⊥BC,

∵AD∥BC,AB⊥BC,

∴AB=EF=GH=   a,

∴矩形   ABCD 的面积=                   .
 

21.证明:(1)如图        1,连接    DF,
∵四边形    ABCD 是正方形,

∴DA=DC,∠A=∠C=90°,

∵点  A 关于直线    DE 的对称点为     F,

∴△ADE≌△FDE,

∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,

∴∠DFG=90°,

在 Rt△DFG  和 Rt△DCG  中,
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∵       ,

∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),

∴GF=GC;

(2)BH=    AE,理由是:
证法一:如图      2,在线段     AD 上截取   AM,使   AM=AE,

∵AD=AB,

∴DM=BE,

由(1)知:∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠ADC=90°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,

∴2∠2+2∠3=90°,

∴∠2+∠3=45°,

即∠EDG=45°,

∵EH⊥DE,

∴∠DEH=90°,△DEH     是等腰直角三角形,

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°,DE=EH,

∴∠1=∠BEH,

在△DME   和△EBH   中,


∵           ,

∴△DME≌△EBH,

∴EM=BH,

Rt△AEM  中,∠A=90°,AM=AE,

∴EM=    AE,
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∴BH=   AE;

证法二:如图      3,过点    H 作 HN⊥AB  于  N,

∴∠ENH=90°,

由方法一可知:DE=EH,∠1=∠NEH,
在△DAE  和△ENH   中,


∵           ,

∴△DAE≌△ENH,

∴AE=HN,AD=EN,

∵AD=AB,

∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,

∴AE=BN=HN,

∴△BNH   是等腰直角三角形,

∴BH=   HN=   AE.
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22.解:(1)四边形        BECF 是菱形.

∵EF 垂直平分    BC,

∴BF=FC,BE=EC,

∴∠3=∠1,

∵∠ACB=90°,

∴∠3+∠4=90°,∠1+∠2=90°,

∴∠2=∠4,

∴EC=AE,

∴BE=AE,

∵CF=AE,

∴BE=EC=CF=BF,

∴四边形    BECF 是菱形.

(2)当∠A=45°时,菱形        BECF 是正方形.
证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°,

∴∠1=45°,

∴∠EBF=2∠A=90°,

∴菱形   BECF 是正方形.
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23.(1)证明:作       EP⊥CD  于 P,EQ⊥BC   于  Q,

∵∠DCA=∠BCA,

∴EQ=EP,

∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC=45°,

∴∠QEF=∠PED,

在 Rt△EQF 和  Rt△EPD 中,


            ,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD,

∴EF=ED,

∴矩形   DEFG 是正方形;

(2)如图    2 中,在   Rt△ABC  中.AC=    AB=2   ,

∵EC=   ,

∴AE=CE,

∴点  F 与 C 重合,此时△DCG       是等腰直角三角形,易知           CG=   .


   
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(3)①当    DE 与 AD 的夹角为     30°时,∠EFC=120°,
②当  DE 与 DC 的夹角为     30°时,∠EFC=30°
综上所述,∠EFC=120°或       30°.


 
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