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广西河池市2017年中考数学试题(word版含解析)

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初中数学审核员

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                 2017  年广西河池市中考数学试卷
  

 一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       3 分,共   36 分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
 1.下列实数中,为无理数的是(  )

 A.﹣2   B.     C.2    D.4

 2.如图,点     O 在直线   AB 上,若∠BOC=60°,则∠AOC        的大小是(  )


 A.60°  B.90°  C.120°D.150°

 3.若函数    y=   有意义,则(  )
 A.x>1     B.x<1C.x=1    D.x≠1
 4.如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形,它的主视图是(  )


 A.            B.        C.            D.


 5.下列计算正确的是(  )[来源:Z+xx+k.Com]
 A.a3+a2=a5 B.a3•a2=a6 C.(a2)3=a6  D.a6÷a3=a2

 6.点  P(﹣3,1)在双曲线       y= 上,则    k 的值是(  )

 A.﹣3   B.3    C.     D.

 7.在《数据分析》章节测试中,“勇往直前”学习小组                      7 位同学的成绩分别是
 92,88,95,93,96,95,94.这组数据的中位数和众数分别是(  )
 A.94,94   B.94,95   C.93,95    D.93,96
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 8.如图,⊙O     的直径    AB 垂直于弦    CD,∠CAB=36°,则∠BCD      的大小是(  
 )


 A.18°  B.36°  C.54°  D.72°
 9.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(  )
 A.中线      B.角平分线        C.高    D.中位线

 10.若关于    x 的方程   x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根,则          a 的值为(  )

 A.﹣1   B.1    C.﹣4   D.4

 11.如图,在▱ABCD      中,用直尺和圆规作∠BAD           的平分线    AG,若   AD=5,
 DE=6,则  AG 的长是(  )


 A.6    B.8    C.10   D.12
 12.已知等边△ABC      的边长为     12,D  是 AB 上的动点,过      D 作  DE⊥AC  于点  E,
 过 E 作 EF⊥BC  于点  F,过  F 作 FG⊥AB  于点   G.当   G 与 D 重合时,AD    的长是(  
)

 A.3    B.4    C.8    D.9
  

 二、填空题(每题        3 分,满分    18 分,将答案填在答题纸上)

 13.分解因式:x2﹣25=          .

 14.点  A(2,1)与点      B 关于原点对称,则点         B 的坐标是         .
 15.在校园歌手大赛中,参赛歌手的成绩为                  5 位评委所给分数的平均分.各位
评委给某位歌手的分数分别是              92,93,88,87,90,则这位歌手的成绩是                    
 .
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 16.如图,直线      y=ax 与双曲线    y= (x>0)交于点       A(1,2),则不等式        ax>

  的解集是          .


                   [来源:学|科|网 Z|X|X|K]

 17.圆锥的底面半径长为          5,将其侧面展开后得到一个半圆,则该半圆的半径
 长是        .
 18.如图,在矩形       ABCD 中,AB=     ,E 是  BC 的中点,AE⊥BD     于点   F,则
CF 的长是         .


  

 三、解答题(本大题共          8 小题,共    66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.)

 19.计算:|﹣1|﹣2sin45°+    ﹣20.

 20.解不等式组:               .

 21.直线   l 的解析式为    y=﹣2x+2,分别交    x 轴、y  轴于点   A,B.

 (1)写出    A,B  两点的坐标,并画出直线           l 的图象;

 (2)将直线     l 向上平移   4 个单位得到     l1,l1 交 x 轴于点  C.作出    l1 的图象,l1  的
解析式是          .

 (3)将直线     l 绕点 A 顺时针旋转      90°得到  l2,l2 交 l1 于点 D.作出   l2 的图象,

 tan∠CAD=       .
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 22.(1)如图     1,在正方形      ABCD 中,点   E,F 分别在    BC,CD  上,AE⊥BF    于点
M,求证:AE=BF;
 (2)如图    2,将         (1)中的正方形       ABCD 改为矩形     ABCD,AB=2,BC=3,

 AE⊥BF 于点   M,探究    AE 与 BF 的数量关系,并证明你的结论.


 23.九   (1)班   48 名学生参加学校举行的“珍惜生命,远离毒品”只是竞赛初赛,
赛后,班长对成绩进行分析,制作如下的频数分布表和频数分布直方图(未完

成).余下      8 名学生成绩尚未统计,这           8 名学生成绩如下:60,90,63,99,
67,99,99,68.
                                   频数分布表
       分数段               频数(人数)

      60≤x<70                 a

      70≤x<80                 16

      80≤x<90                 24

     90≤x<100                 b

 请解答下列问题:

 (1)完成频数分布表,a=               ,b=         .
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 (2)补全频数分布直方图;
 (3)全校共有      600 名学生参加初赛,估计该校成绩              90≤x<100  范围内的学生
 有多少人?

 (4)九    (1)班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一,现选两人参加决赛,求
恰好选中甲、乙两位同学的概率.


 24.某班为满足同学们课外活动的需求,要求购排球和足球若干个.已知足球
 的单价比排球的单价多          30 元,用   500 元购得的排球数量与用          800 元购得的足球
 数量相等.

 (1)排球和足球的单价各是多少元?
 (2)若恰好用去       1200 元,有哪几种购买方案?
 25.如图,AB    为⊙O   的直径,CB,CD      分别切⊙O     于点  B,D,CD   交  BA 的延长
 线于点   E,CO  的延长线交⊙O       于点  G,EF⊥OG   于点   F.
 (1)求证:∠FEB=∠ECF;
 (2)若   BC=6,DE=4,求    EF 的长.


                 [来源:Zxxk.Com]

 26.抛物线    y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于点   A,B(A   在 B 的左侧),与      y 轴交于点

 C.
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(1)求直线     BC 的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点             P,使∠APB=∠ABC,利用图         1 求点  P 的坐标;
(3)点   Q 在 y 轴右侧的抛物线上,利用图            2 比较∠OCQ    与∠OCA   的大小,并
说明理由.
 
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               2017  年广西河池市中考数学试卷

                             参考答案与试题解析

  

 一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       3 分,共   36 分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
 1.下列实数中,为无理数的是(  )

 A.﹣2   B.     C.2    D.4

 【考点】26:无理数.
 【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有
 理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理
 数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

 【解答】解:A、﹣2       是整数,是有理数,选项不符合题意;

 B、   是无理数,选项符合题意;
 C、2 是整数,是有理数,选项不符合题意;
 D、4 是整数,是有理数,选项不符合题意.
 故选  B.
  

 2.如图,点     O 在直线   AB 上,若∠BOC=60°,则∠AOC        的大小是(  )


 A.60°  B.90°  C.120°D.150°
 【考点】IF:角的概念.
 【分析】根据点       O 在直线   AB 上,∠BOC=60°,即可得出∠AOC          的度数.
 【解答】解:∵点        O 在直线   AB 上,

 ∴∠AOB=180°,

 又∵∠BOC=60°,
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∴∠AOC=120°,

故选:C.
 

3.若函数    y=   有意义,则(  )
A.x>1     B.x<1C.x=1    D.x≠1
【考点】E4:函数自变量的取值范围.
【分析】根据分母不能为零,可得答案.
【解答】解:由题意,得

x﹣1≠0,

解得  x≠1,
故选:D.
 

4.如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形,它的主视图是(  )


A.            B.        C.            D.

【考点】U2:简单组合体的三视图.
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图解答.

【解答】解:从正面看,从左向右共有                 2 列,第一列是      1 个正方形,第二列是
1 个正方形,且下齐.
故选  D.
 

5.下列计算正确的是(  )
A.a3+a2=a5 B.a3•a2=a6 C.(a2)3=a6  D.a6÷a3=a2
【考点】48:同底数幂的除法;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:
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幂的乘方与积的乘方.
【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方、同底数幂的
除法法则进行判断即可.

【解答】解:A.a3       与 a2 不是同类项不能合并,故           A 错误;
B.a3•a2=a5,故  B 错误;
C.(a2)3=a6,故    C 正确;
D.a6÷a3=a2,故   D 错误.
故选:C.
 

6.点  P(﹣3,1)在双曲线       y= 上,则    k 的值是(  )

A.﹣3   B.3    C.     D.

【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值                             k,即
xy=k 可得答案.

【解答】解:∵点        P(﹣3,1)在双曲线       y= 上,

∴k=﹣3×1=﹣3,

故选:A.
 

7.在《数据分析》章节测试中,“勇往直前”学习小组                      7 位同学的成绩分别是
92,88,95,93,96,95,94.这组数据的中位数和众数分别是(  )
A.94,94   B.94,95   C.93,95    D.93,96
【考点】W5:众数;W4:中位数.
【分析】先将数据重新排列,再根据中位数、众数的定义就可以求解.

【解答】解:这组数据重新排列为:88、92、93、94、95、95、96,
∴这组数据的中位数为          94,众数为     95,
故选:B.
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 8.如图,⊙O     的直径    AB 垂直于弦    CD,∠CAB=36°,则∠BCD      的大小是(  
 )


 A.18°  B.36°  C.54°  D.72°
 【考点】M5:圆周角定理;M2:垂径定理.
 【分析】根据垂径定理推出              =  ,推出∠CAB=∠BAD=36°,再由

∠BCD=∠BAD    即可解决问题.

 【解答】解:∵AB       是直径,AB⊥CD,

 ∴   =  ,

 ∴∠CAB=∠BAD=36°,

 ∵∠BCD=∠BAD,

 ∴∠BCD=36°,

 故选  B.
  

 9.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(  )
 A.中线      B.角平分线        C.高    D.中位线
 【考点】K3:三角形的面积;K2:三角形的角平分线、中线和高.
 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答.


 【解答】解:∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,[来源:Zxxk.Com]
 ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分.

 故选  A.
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10.若关于    x 的方程   x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根,则          a 的值为(  )

A.﹣1   B.1    C.﹣4   D.4

【考点】AA:根的判别式.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于                       a 的一元一次方程,解方
程即可得出结论.

【解答】解:∵方程         x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根,

∴△=22﹣4×1×(﹣a)=4+4a=0,

解得:a=﹣1.

故选  A.
 

11.如图,在▱ABCD      中,用直尺和圆规作∠BAD           的平分线    AG,若   AD=5,
DE=6,则  AG 的长是(  )


A.6    B.8    C.10   D.12
【考点】N2:作图—基本作图;L5:平行四边形的性质.
【分析】连接      EG,由作图可知       AD=AE,根据等腰三角形的性质可知              AG 是
DE 的垂直平分线,由平行四边形的性质可得出                   CD∥AB,故可得出∠2=∠3,据

此可知   AD=DG,由等腰三角形的性质可知             OA=  AG,利用勾股定理求出          OA 的
长即可.

【解答】解:连接        EG,
∵由作图可知      AD=AE,AG  是∠BAD   的平分线,

∴∠1=∠2,

∴AG⊥DE,OD=     DE=3.
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 ∵四边形    ABCD 是平行四边形,

 ∴CD∥AB,

 ∴∠2=∠3,

 ∴∠1=∠3,

 ∴AD=DG.

 ∵AG⊥DE,

 ∴OA=   AG.

 在 Rt△AOD  中,OA=            =       =4,

 ∴AG=2AO=8.

 故选  B.


  

 12.已知等边△ABC      的边长为     12,D  是 AB 上的动点,过      D 作  DE⊥AC  于点  E,
 过 E 作 EF⊥BC  于点  F,过  F 作 FG⊥AB  于点   G.当   G 与 D 重合时,AD     的长是(  
)

 A.3    B.4    C.8    D.9
 【考点】KK:等边三角形的性质;KO:含                30 度角的直角三角形.
 【分析】设     AD=x,根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°,由垂直的定
 义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°,解直角三角形即可得到结论.
 【解答】解:设       AD=x,

 ∵△ABC  是等边三角形,

 ∴∠A=∠B=∠C=60°,

 ∵DE⊥AC  于点   E,EF⊥BC  于点   F,FG⊥AB,
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∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°,

∴AF=2x,

∴CF=12﹣2x,

∴CE=2CF=24﹣4x,

∴BE=12﹣CE=4x﹣12,

∴BD=2BE=8x﹣24,

∵AD+BD=AB,

∴x+8x﹣24=12,

∴x=4,

∴AD=4.

故选  B.


 

二、填空题(每题        3 分,满分    18 分,将答案填在答题纸上)

13.分解因式:x2﹣25= (x+5)(x﹣5) .

【考点】54:因式分解﹣运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.

【解答】解:x2﹣25=(x+5)(x﹣5).

故答案为:(x+5)(x﹣5).
 

14.点  A(2,1)与点      B 关于原点对称,则点         B 的坐标是 (﹣2,﹣1) .
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 【考点】R6:关于原点对称的点的坐标.
 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.

 【解答】解:∵点        A(2,1)与点      B 关于原点对称,

 ∴点  B 的坐标是(﹣2,﹣1),

 故答案为:(﹣2,﹣1).
  

 15.在校园歌手大赛中,参赛歌手的成绩为                  5 位评委所给分数的平均分.各位
评委给某位歌手的分数分别是              92,93,88,87,90,则这位歌手的成绩是 90 
 .

 【考点】W1:算术平均数.
 【分析】根据算术平均数的计算公式,把这                   5 个分数加起来,再除以          5,即可
 得出答案.
 【解答】解:这位参赛选手在这次比赛中获得的平均分为:

 (92+93+88+87+90)÷5=90(分);
 故答案为:90.
  

 16.如图,直线      y=ax 与双曲线    y= (x>0)交于点       A(1,2),则不等式        ax>

  的解集是 x>1 .


 【考点】G8:反比例函数与一次函              数的交点问题.
 【分析】根据函数的图象即可得到结论.

 【解答】解:∵直线         y=ax 与双曲线    y= (x>0)交于点       A(1,2),
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 ∴不等式    ax>  的解集是     x>1,
 故答案为:x>1.
  

 17.圆锥的底面半径长为          5,将其侧面展开后得到一个半圆,则该半圆的半径
 长是 10 .
 【考点】MP:圆锥的计算.
 【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长.依此列出方程即可.

 【解答】解:设该半圆的半径长为               x,根据题意得:

 2πx÷2=2π×5,

 解得  x=10.
 故答案为:10.
  

 18.如图,在矩形       ABCD 中,AB=     ,E 是  BC 的中点,AE⊥BD     于点   F,则
CF 的长是        .


 【考点】LB:矩形的性质.
 【分析】根据四边形         ABCD 是矩形,得到∠ABE=∠BAD=90°,根据余角的性质得
 到∠BAE=∠ADB,根据相似三角形的性质得到                 BE=1,求得   BC=2,根据勾股定理

 得到  AE=         =   ,BD=           =  ,根据三角形的面积公式得到              BF=

      =   ,过  F 作 FG⊥BC  于  G,根据相似三角形的性质得到             CG=  ,根据勾
 股定理即可得到结论.

 【解答】解:∵四边形          ABCD 是矩形,


 ∴∠ABE=∠BAD=90°,[来源:Zxxk.Com]

 ∵AE⊥BD,
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∴∠AFB=90°,

∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°,

∴∠BAE=∠ADB,

∴△ABE∽△ADB,

∴       ,

∵E 是 BC 的中点,

∴AD=2BE,

∴2BE2=AB2=2,

∴BE=1,

∴BC=2,

∴AE=          =   ,BD=          =   ,

∴BF=      =   ,
过 F 作 FG⊥BC  于 G,

∴FG∥CD,

∴△BFG∽△BDC,

∴   =   =  ,

∴FG=    ,BG=  ,

∴CG=  ,

∴CF=          =  .
故答案为:       .
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 三、解答题(本大题共          8 小题,共    66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.)

 19.计算:|﹣1|﹣2sin45°+    ﹣20.

 【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
 【分析】首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值
 是多少即可.

 【解答】解:|﹣1|﹣2sin45°+      ﹣20

 =1﹣2×   +2  ﹣1

 =

  


 20.解不等式组:               .

 【考点】CB:解一元一次不等式组.
 【分析】先求出每个不等式的解集,再找出不等式组的解集即可.

 【解答】解:

 ∵解不等式①得:x>0.5,
 解不等式②得:x<2,
 ∴不等式组的解集为         0.5<x<2.
  

 21.直线   l 的解析式为    y=﹣2x+2,分别交    x 轴、y  轴于点   A,B.

 (1)写出    A,B  两点的坐标,并画出直线           l 的图象;

 (2)将直线     l 向上平移   4 个单位得到     l1,l1 交 x 轴于点  C.作出    l1 的图象,l1  的

解析式是 y=﹣2x+6 .

 (3)将直线     l 绕点 A 顺时针旋转      90°得到  l2,l2 交 l1 于点 D.作出   l2 的图象,
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 tan∠CAD=     .


 【考点】F9:一次函数图象与几何变换;F3:一次函数的图象.
 【分析】(1)分别令         x=0 求得  y、令  y=0 求得  x,即可得出      A、B 的坐标,从而
 得出直线    l 的解析式;

 (2)将直线向上平移         4 个单位可得直线       l1,根据“上加下减”的原则求解即可得
出其解析式;

 (3)由旋转得出其函数图象及点              B 的对应点坐标,待定系数法求得直线                l2 的解

 析式,继而求得其与         y 轴的交点,根据       tan∠CAD=tan∠EAO=     可得答案.

 【解答】解:(1)当         y=0 时,﹣2x+2=0,解得:x=1,即点        A(1,0),

 当 x=0 时,y=2,即点     B(0,2),
 如图,直线     AB 即为所求;


 (2)如图,直线       l1 即为所求,

 直线  l1 的解析式为    y=﹣2x+2+4=﹣2x+6,

 故答案为:y=﹣2x+6;
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 (3)如图,直线       l2 即为所求,

 ∵直线   l 绕点 A 顺时针旋转      90°得到  l2,
 ∴由图可知,点       B(0,2)的对应点坐标为(3,1),
 设直线   l2 解析式为   y=kx+b,

 将点  A(1,0)、(3,1)代入,得:                    ,


 解得:         ,


 ∴直线   l2 的解析式为    y= x﹣ ,

 当 x=0 时,y=﹣  ,


 ∴直线   l2 与 y 轴的交点   E(0,﹣   ),


 ∴tan∠CAD=tan∠EAO=     =  =  ,

 故答案为:      .
  

 22.(1)如图     1,在正方形      ABCD 中,点   E,F 分别在    BC,CD  上,AE⊥BF    于点
M,求证:AE=BF;
 (2)如图    2,将         (1)中的正方形       ABCD 改为矩形     ABCD,AB=2,BC=3,

 AE⊥BF 于点   M,探究    AE 与 BF 的数量关系,并证明你的结论.
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 【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质;LE:
 正方形的性质.

 【分析】(1)根据正方形的性质,可得∠ABC                  与∠C   的关系,AB     与 BC 的关系,
 根据两直线垂直,可得∠AMB            的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得

 ∠ABM  与∠BAM   的关系,根据同角的余角相等,可得∠BAM                   与∠CBF  的关系,

 根据  ASA,可得△ABE≌△BCF,根据全等三角形的性质,可得答案;
 (2)根据矩形的性质得到∠ABC=∠C,由余角的性质得到∠BAM=∠CBF,根据
相似三角形的性质即可得到结论.

 【解答】(1)证明:∵四边形             ABCD 是正方形,

 ∴∠ABC=∠C,AB=BC.

 ∵AE⊥BF,

 ∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°,

 ∵∠ABM+∠CBF=90°,

 ∴∠BAM=∠CBF.


 在△ABE  和△BCF   中,              ,
 ∴△ABE≌△BCF(ASA),

 ∴AE=BF;

 (2)解:AB=     BC,
 理由:∵四边形       ABCD 是矩形,

 ∴∠ABC=∠C,

 ∵AE⊥BF,

 ∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°,

 ∵∠ABM+∠CBF=90°,

 ∴∠BAM=∠CBF,
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 ∴△ABE∽△BCF,

 ∴       =  ,

 ∴AB=  BC.
  

 23.九   (1)班   48 名学生参加学校举行的“珍惜生命,远离毒品”只是竞赛初赛,
赛后,班长对成绩进行分析,制作如下的频数分布表和频数分布直方图(未完

成).余下      8 名学生成绩尚未统计,这           8 名学生成绩如下:60,90,63,99,
67,99,99,68.
                                   频数分布表
       分数段               频数(人数)

      60≤x<70                 a

      70≤x<80                 16

      80≤x<90                 24

     90≤x<100                 b

 请解答下列问题:

 (1)完成频数分布表,a= 4 ,b= 4 .
 (2)补全频数分布直方图;
 (3)全校共有      600 名学生参加初赛,估计该校成绩              90≤x<100  范围内的学生
 有多少人?

 (4)九    (1)班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一,现选两人参加决赛,求
恰好选中甲、乙两位同学的概率.
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 【考点】X6:列表法与树状图法;V7:频数(率)分布表;V8:频数(率)分
 布直方图.

 【分析】(1)将余下的          8 位同学按    60≤x<70、90≤x<100     分组可得     a、b 的
 值;

 (2)根据(1)中所得结果补全即可得;
 (3)将样本中成绩        90≤x<100  范围内的学生所占比例乘以总人数                600 可得答
 案;

 (4)画树状图列出所有等可能结果,根据概率公式求解可得.
 【解答】解:(1)由题意知,60≤x<70               的有  60、63、67、68    这  4 个数,

90≤x<100   的有  90、99、99、99    这  4 个,

 即 a=4、b=4,
 故答案为:4,4;

 (2)补全频数分布直方图如下:


 (3)600×     =50(人),
 故答案为:估计该校成绩           90≤x<100  范围内的学生有        50 人.

 (4)画树状图得:
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∵共有   6 种等可能的结果,甲、乙被选中的有                2 种情况,

∴甲、乙被选中的概率为            =  .
 

24.某班为满足同学们课外活动的需求,要求购排球和足球若干个.已知足球
的单价比排球的单价多          30 元,用   500 元购得的排球数量与用          800 元购得的足球
数量相等.

(1)排球和足球的单价各是多少元?
(2)若恰好用去       1200 元,有哪几种购买方案?
【考点】B7:分式方程的应用;95:二元一次方程的应用.
【分析】(1)设排球单价是            x 元,则足球单价是(x+30)元,根据题意可得等
量关系:500    元购得的排球数量=800         元购得的足球数量,由等量关系可得方程,
再求解即可;

(2)设恰好用完       1200 元,可购买排球       m 个和购买足球       n 个,根据题意可得排
球的单价×排球的个数          m+足球的单价×足球的个数            n=1200,再求出整数解即
可得出答案.

【解答】解:设排球单价为            x 元,则足球单价为(x+30)元,由题意得:

   =     ,
解得:x=50,
经检验:x=50    是原分式方程的解,
则 x+30=80.
答:排球单价是       50 元,则足球单价是        80 元;

(2)设设恰好用完        1200 元,可购买排球       m 个和购买足球       n 个,
由题意得:50m+80n=1200,

整理得:m=24﹣     n,

∵m、n   都是正整数,

∴①n=5  时,m=16,②n=10     时,m=8;
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∴有两种方案:

①购买排球     5 个,购买足球      16 个;
②购买排球     10 个,购买足球      8 个.
 

25.如图,AB    为⊙O   的直径,CB,CD      分别切⊙O     于点  B,D,CD   交  BA 的延长
线于点   E,CO  的延长线交⊙O       于点  G,EF⊥OG   于点   F.
(1)求证:∠FEB=∠ECF;
(2)若   BC=6,DE=4,求    EF 的长.


【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理;M2:垂径定理.
【分析】(1)利用切线长定理得到               OC 平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,利用切
线的性质得     OB⊥BC,则∠BCO+∠COB=90°,由于∠FEB+∠FOE=90°,

∠COB=∠FOE,所以∠FEB=∠ECF;

(2)连接    OD,如图,利用切线长定理和切线的性质得到                    CD=CB=6,OD⊥CE,
则 CE=10,利用勾股定理可计算出            BE=8,设⊙O   的半径为     r,则  OD=OB=r,

OE=8﹣r,在 Rt△ODE  中,根据勾股定理得          r2+42=(8﹣r)2,解得   r=3,所以

OE=5,OC=3    ,然后证明△OEF∽△OCB,利用相似比可计算出                   EF 的长.
【解答】(1)证明:∵CB,CD           分别切⊙O     于点   B,D,

∴OC 平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,OB⊥BC,

∴∠BCO+∠COB=90°,

∵EF⊥OG,

∴∠FEB+∠FOE=90°,

而∠COB=∠FOE,
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∴∠FEB=∠ECF;

(2)解:连接      OD,如图,

∵CB,CD  分别切⊙O     于点   B,D,

∴CD=CB=6,OD⊥CE,

∴CE=CD+DE=6+4=10,

在 Rt△BCE 中,BE=           =8,

设⊙O  的半径为     r,则  OD=OB=r,OE=8﹣r,

在 Rt△ODE  中,r2+42=(8﹣r)2,解得     r=3,

∴OE=8﹣3=5,

在 Rt△OBC  中,OC=         =3   ,

∵∠COB=∠FOE,

∴△OEF∽△OCB,

∴   =   ,即    =    ,

∴EF=2   .


 

26.抛物线    y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于点   A,B(A   在 B 的左侧),与      y 轴交于点

C.
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 (1)求直线     BC 的解析式;
 (2)抛物线的对称轴上存在点             P,使∠APB=∠ABC,利用图         1 求点  P 的坐标;
 (3)点   Q 在 y 轴右侧的抛物线上,利用图            2 比较∠OCQ    与∠OCA   的大小,并
 说明理由.

 【考点】HF:二次函数综合题.
 【分析】(1)由抛物线解析式可求得                B、C  的坐标,利用待定系数法可求得直
 线 BC 的解析式;
 (2)由直线     BC 解析式可知∠APB=∠ABC=45°,设抛物线对称轴交直线                   BC 于点
 D,交  x 轴于点   E,结合二次函数的对称性可求得               PD=BD,在   Rt△BDE 中可求得
BD,则可求得      PE 的长,可求得      P 点坐标;

 (3)设   Q(x,﹣x2+2x+3),当∠OCQ=∠OCA        时,利用两角的正切值相等可得

 到关于   x 的方程,可求得       Q 点的横坐标,再结合图形可比较两角的大小.
 【解答】解:

 (1)在   y=﹣x2+2x+3 中,令  y=0 可得  0=﹣x2+2x+3,解得  x=﹣1 或 x=3,令  x=0 可得

 y=3,

 ∴B(3,0),C(0,3),

 ∴可设直线     BC 的解析式为     y=kx+3,

 把 B 点坐标代入可得       3k+3=0,解得    k=﹣1,

 ∴直线   BC 解析式为    y=﹣x+3;

 (2)∵OB=OC,

 ∴∠ABC=45°,
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∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴抛物线对称轴为        x=1,
设抛物线对称轴交直线          BC 于 点  D,交  x 轴于点   E,当点    P 在 x 轴上方时,如图
1,


∵∠APB=∠ABC=45°,且     PA=PB,

∴∠PBA=            =67.5°,∠DPB=    ∠APB=22.5°,

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°,

∴∠DPB=∠DBP,

∴DP=DB,

在 Rt△BDE  中,BE=DE=2,由勾股定理可求得           BD=2   ,

∴PE=2+2   ,

∴P(1,2+2     );

当点  P 在 x 轴下方时,由对称性可知           P 点坐标为(1,﹣2﹣2       );

综上可知    P 点坐标为(1,2+2        )或(1,﹣2﹣2     );

(3)设   Q(x,﹣x2+2x+3),当点      Q 在 x 轴下方时,如图       2,过  Q 作  QF⊥y 轴于

点 F,
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当∠OCA=∠OCQ    时,则△QEC∽△AOC,

∴   =   = ,即          =  ,解得   x=0(舍去)或      x=5,

∴当  Q 点横坐标为     5 时,∠OCA=∠OCQ;
当 Q 点横坐标大于      5 时,则∠OCQ     逐渐变小,故∠OCA>∠OCQ;
当 Q 点横坐标小于      5 且大于   0 时,则∠OCQ     逐渐变大,故∠OCA<∠OCQ.
 
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2017  年   7 月   8 日
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