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人教版(新)数学八年级下册第十六章第一节二次根式教案

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初中数学审核员

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                            第十六章 二次根式

                              16.1  二次根式

                           第  1 课时  二次根式的概念


    素材一     新课导入设计
       情景导入          置疑导入          归纳导入           复习导入          类比导入  
   悬念激趣

       情景导入 如图       16-1-1  是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片,非常美丽壮
观.仔细观察图片可以发现:水域部分是正方形,外围是圆.


                                   图  16-1-1
    如果该正方形的面积为          30 m2,你知道该正方形的边长是多少吗?
    如果该圆的面积为        S m2,你知道该圆的半径是多少吗?
    [说明与建议]      说明:从学生熟悉的情景入手得到一些需要开平方的式子,结合平方根
的概念,引导学生理解所给的式子的实际意义,从而自然给出二次根式的概念.建议:通
过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来,培养学生合作交流的学习习惯,通过解
决所设置的问题,使学生充分理解二次根式的概念.
       置疑导入 创设情境,提出问题.
    还记得“      ”表示什么吗,        3又读作什么吗?你能说清平方根与算术平方根之间的区
别吗?若能,请解决下面的问题:
    问题  1:用带有根号的的式子表示结果.
    (1)面积为   3 的正方形的边长为__        3__,面积为    S 的正方形的边长为__        S__.
    (2)一个长方形围栏,长是宽的           2 倍,面积为     130 m2,则它的宽为__      65__m.
    (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间                    t(单位:s)与开始落下的高度         h(单

                                                      h
位:m)满足关系式       h=5t2,若用含有      h 的式子表示    t,则  t=__  5__.

    问题  2:上面得到的式子分别表示什么意义?它们有什么共同特征?
    问题  3:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?(引入新课)
    [说明与建议]      说明:让学生在填空过程中初步感受二次根式与实际生活的紧密联系,
体会研究二次根式的必要性.建议:让学生独立完成上述问题,用算术平方根表示结果,
教师进行适当引导和评价.注意让学生体会由特殊到一般的思维过程,培养学生的概括能
力.
    素材二     教材母题挖掘

  教材母题——教材第         2 页例  1
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    当 x 是怎样的实数时,        x-2在实数范围内有意义?
【模型建立】
    二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于                   0;确定二次根式中被开方数所含字母
的取值范围的方法是根据被开方数的取值范围列不等式(或不等式组)求解.
    【变式变形】
                              1
    1.当  x 是多少时,      2x+3+x+1在实数范围内有意义?
                   2x+3 ≥ 0,①
    解:依题意,得{       x+1 ≠ 0,②  )
               3
    由①得   x≥-2,由②得      x≠-1.
            3                      1
    ∴当  x≥-2且   x≠-1  时,   2x+3+x+1在实数范围内有意义.
                                x             2
    2.已知   y=  2-x+   x-2+5,求y的值.[答案:5]
    3.已知    x-y+1+   x-3=0,求    xy 的值.[答案:81]
    素材三     考情考向分析

    [命题角度    1] 用定义判断一个式子是否为二次根式
    二次根式的定义是“形式定义”,与化简后的结果无关.判断一个式子是否为二次根
式时,需满足两个条件:第一,形式上为“                   a”的形式;第二,被开方数必须是非负
数.第二点是很容易被忽略的,尤其要重视.
                         

                                            y

                                                               3
    例 在式子      4,-   3,  -5,  x2+1,   a+1,  2(y>0),  -2x(x<0),  x2和 a2-1 中,

是二次根式的有(C)
    A.3  个   B.4 个   C.5  个   D.6 个
    [解析]   4满足含“      ”的形式,且被开方数          4>0,所以     4是二次根式.-       3满足含“
   ”的形式,且被开方数          3>0,所以-     3是二次根式.     5满足含“       ”的形式但被开方数
-5<0,所以      -5不是二次根式.       x2+1满足含“       ”的形式,且被开方数          x2+1>0,所以

                                                                y
 x2+1是二次根式.      a+1虽然满足含“         ”,但   a+1 不一定大于或等于        0. 2(y>0)和

                      3
 -2x(x<0)是二次根式,        x2不是二次根式,a2-1       不含根号.
    [命题角度    2] 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
    根据二次根式       a有意义的条件(a≥0)列不等式(或不等式组)解决问题.实际问题中二次
根式的条件限制:在实际问题中求字母的取值范围要从两个方面来思考,一是求字母所在
的式子有意义时字母必须满足的条件,二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足
的条件.
    例 当   x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义?

                                 1
    (1) 10-3x;(2) -(x-2)2;(3)   x-2;(4)  x+3+  3-x.
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                                      10
    解:(1)由题意,得      10-3x≥0,所以     x≤  3 ,
           10
    即当  x≤  3 时,式子    10-3x在实数范围内有意义.
    (2)由题意,得-(x-2)2≥0,即(x-2)2≤0.又因为(x-2)2≥0,所以               x=2,
    即当  x=2  时,式子     -(x-2)2在实数范围内有意义.
                 1
    (3)由题意,得x-2≥0,且        x-2≠0,所以     x>2,

                       1
    即当  x>2  时,式子     x-2在实数范围内有意义.

                 x+3 ≥ 0,
    (4)由题意,得{3-x     ≥ 0,)所以-3≤x≤3,
    即当-3≤x≤3     时,式子     x+3+   3-x在实数范围内有意义.
    [命题角度    3] 利用二次根式有意义的条件求值
    两个算术平方根,当被开方数互为相反数时,只有它们同时为零,这两个式子才能都
有意义.二次根式有意义的条件往往成为一些问题的隐含条件,在解题过程中要善于挖掘
隐含条件.
                        x-4+   4-x                 1
    例 [德州中考]      若 y=      2      -2,则(x+y)y=__4__.
    [解析]   先根据二次根式        x-4与   4-x有意义求得     x 的值,再代入原式求得          y 的值,最
后把   x,y 的值代入(x+y)y    求解即可.
    由题意,得     x-4≥0   且 4-x≥0,解得     x≥4 且  x≤4,所以    x=4.将  x=4 代入原式,求
                               1        1
得  y=-2,所以(x+y)y=(4-2)-2=4.故答案为4.
    [命题角度    4] 二次根式非负性的应用
    在实数范围内,        a(a≥0)表示非负数     a 的算术平方根,它具有双重非负性:①                a≥0;
②a≥0.
    运用这两个简单的非负性,再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于                                 0,则
这几个非负数都等于         0”可以解决一些有关算术平方根的问题.常见的非负数有偶次方、
绝对值、二次根式.
    例 若    a+3+(b-2)2=0,则     ab 的值是__9__.
    [解析]  由题意可知      a+3=0,(b-2)2=0,所以      a+3=0,b-2=0,
    则 a=-3,b=2.所以      ab=(-3)2=9.
    素材四     教材习题答案

    [教材习题答案]
    P3 练习
    1.要画一个面积为        18  cm2 的长方形,使它的长与宽之比为             3∶2,它的长、宽各应取
多少?
    答案:设矩形的长,宽分别是             3x  cm,2x    cm,由题意可得       2x×3x=18.x2=3.因为
x>0,所以   x=  3.所以它的长,宽分别应取           3 3 cm,2 3 cm.
    2.当  a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
    (1) a-1;(2) 2a+3;
    (3) -a;(4) 5-a.
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    答案:(1)由    a-1≥0,得    a≥1.
    当 a≥1  时,   a-1在实数范围内有意义.
                          3       3
    (2)由 2a+3≥0,得    a≥-2.当   a≥-2时,    2a+3在实数范围内有意义.
    (3)由-a≥0.得   a≤0.
    (4)由 5-a≥0  得 a≤5.
    素材五     图书增值练习

    [当堂检测]

                                                        1
1. 下列各式:(1)        45 ,(2)    a2  2 ,(3)  3   ,(4)     ,(5)    3  2a ,其
                                                        2
   中一定是二次根式的有(              )
   A.1  个       B.2 个      C.3  个      D.4  个 

2. 若使二次根式       x  2 在实数范围内有意义,则         x 的取值范围是(          )

   A.x≥2        B. x  2   C.  x  2   D.x≤2

                                   2
3. 已知  x,y 为实数,且       x 1  3(y  2)  0 ,则 x  y 的值为(    )
   A.  3        B.  3     C.1         D.  1
4. 若下列各式有意义,求字母的取值范围.
                        1
   (1)    x 1 ; (2)        x  2 ; (3)  a2  3 .
                       x 1

5. 已知:y=    x  3 + 3  x - 2,求代数式   2y-x 的值.
参考答案
1.C 
2.A 
3.D  
4.(1)x≥-1;(2) x≥-2  且  x≠1;(3)a 可以取一切实数. 
5.解:由题意得:x=3,         y=-2,
   原式=-4-3=-7.
    [能力培优]

    [课时练习]

     素材六     数学素养提升

    南宋数学家——秦九韶
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