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湖南省株洲市2017年中考数学试题(word版

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初中数学审核员

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                           2017 年株洲中考试卷

一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共                     1 0 小题,每小题     3 分,共计    30 分)
1、计算   a4 ga2 的结果是(      )
A、  a2      B、 a4      C、 a6       D、 a8
解答:同底数幂的乘法:答案选              C
2、如图,数轴上       A 所表示的数的绝对值是
A、  2      B、-2       C、±2        D、以上都不对


解答:数轴上的点表示的数与绝对值的意义,或者直接看这个点到原点的距离

3、如图,直线l      、 l  被直线   l 所截,且         ,则     的度数是
             1   2        3        l1 Pl2   
A、41°        B、49°       C、51°         D、59°
解答:平行线的性质,内错角相等;答案选                   B
4、已知实数     a 、 b 满足  a 1  b+1,则下列选项可能错误的是
A、 a  b        B、 a  2  b+2      C、 a  b      D、 2a  3b
解答: 不等式的性质;答案选             D
5、如图,在△ABC      中,  BAC    x , B  2x , C   3x ,则 BAD  的度数为
A、145°      B、150°      C、155°     D、160°


[来源:学。科。网 Z。X。X。K]


解答:三角形的内角和,外角性质,邻补角的性质,答案选                         B
6、下列圆的内接正多边中,一条边所对的圆心角最大的图形是(                             )
A、正三角形            B、正方形         C、正五边形          D、正六边形
解答:正多边形平分弧平分圆心角,故分的份数越多圆心角越小,答案先                               A
7、株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数                  统计如下表,则馆内人数变化最大的时间段
是
                9:00—10:00     10:00—11:00      14:00—15:00      15:00—16:00
进馆人数               50               24                55               32
出馆人数               30               65                28               45
A、9:00—10:00     B、10:00—11:00    C、14:00—15:00   D、15:00—16:00
解答:观察进出人数的变化过程,答案选                  B
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8、三名学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原来的座
位的概率是 
    1              1           1             1
A、              B、          C、           D、
    9              6           4             2
解答:频率的概念及运用;
假设三名学生为       A、B、C,他们首先对应的座位为             1,2,3
故:答案为     D


9、如图,点     E、F、G、H    分别为四边形      ABCD 的四条边   AB、BC、CD、DA   的中点,则关于四
边形   GEGH,下列说法正确的是
A、一定不是平行四边形                B、一定不是中心对称图形
C、可能是轴对称图形                  D、当          AC=BD 时,它为矩形


 

解答:三角形中位线的性质,可以确定四边形                    EFGH 为平行四边形,故       A、B 错误,当
AC=BD 时,它是菱形,故        D 也错误。
故:答案为     C
10、如图,若△ABC      内一点满足     PAC    PBA   PCB  ,则点   P 为△ABC  的布洛卡点,
三角形的布洛卡点(Brocard)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle, 1780—
1855)gf 1816 年首次发现,但他的发现并未被当时人们所注意,1875                    年,布洛卡点被一个
数学爱好才法国军官布洛卡(Brocard,1845—1922)重新发现,并用他的名字命名,问题:
已知在等腰直角三角形          DEF 中,  EDF   900 ,若 Q 为△DEF 的布洛卡点,DQ=1,则
EQ+FQ 的值为
A、5       B、4      C、   3  2           D、  2  2
答案为   D,解答如下:方法一:
Q等腰直角三角形中D,EF              EDF   900
   DF    1
     
   EF     2
Q3   DFQ    1 QEF    450
3   1
DFQ     QEF
QDFQ     QEF,3    2
VDQF∽VFQE
   DQ   FQ    DF     1
               
   FQ   QE    EF     2
Q  DQ 1
FQ     2,QE   2
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方法二:(等腰直角三角形,利用旋转                90°,可得全等)
如图   2                                                                    A
                                                                     D
将  DQ 绕点 D,分别逆时针旋转        90°                                  B
顺时针旋转     90°至   DA、DB                                                 2
连接   AQ、AF、BQ、BE
                                                               1     Q
                                                                           3
                                          0                E                  F
易证:   DQE   900 ,利用  1  2,EDF    90                        图2


易证:△ADF≌△QDE,△DBE≌△DQF[来源:学科网]

故可得:    AFD   1,  BED   DFQ , DAF   900

由已知可知:      3  1, 3+DFQ   450

故可知:    AFD+DFQ     450 , 1+BED  450 即: DEQ   AFQ   450

在  Rt△ADF 与 Rt△BDQ  中,DQ=DB=DA,   BDQ   BDA  900 ,DQ=1

故:BQ=AQ=   2

∵ DQE    DAF  900 ,DB=DA=DQ ;∴ BQD   QAD   450 ,∵ DQE   DAF   900   

∴ BQE   QAF   450 ;∵ DEQ   AFQ   450 ,∴ EBQ   AQF   900

∵ BQE   QAF   450 , EBQ  AQF   900 ,BQ=AQ= 2

∴FQ=AQ=  2 ,EQ=2;∴答案选      D
二、  填空题:(本题共       8 小题,每小题      3 分,共   24 分)
11、如图,在     Rt△ABC  中,  B  的度数是         。
解答:直角三角形的性质,两锐角互余。答案:25°

12、分解因式:      m3  mn2 =         。

解答:因式分解,提公因式及平方差公式的运用。答案:                        m3  mn2  m(m  n)(m  n)

            4    1
13、分式方程             0 的解是        。
            x  x  2
解答:去分母两边同乘以            x(x  2)
                       4(x  2)  x  0
                       4x  8  x  0
                       3x  8
                            8
                       x  
                            3
                          8
               经检验   x   是原方程的解
                          3
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14、 x 的 3 倍大于   5,且  x 的一半与   1 的差小于或等于      2,则   x 的取值范围是        。
      3x  5    ①                5                            5
解答:              解:由①得:      x     ,由②得    x  6 ,故解集 为:        x  6
       x
         1 2  ②                 3                            3
      2
15、如图,已知      AM 是⊙O  的直径,直线      BC 经过点   M,且  AB=AC, BAM    CAM  ,线段
AB 和 AC 分别交⊙O    于点   D、E,   BMD   400 ,则  EOM   =      。
解答:∵AB=AC,     BAM    CAM   ∴AM⊥BC
∵AM  是⊙O  的直径,∴DM⊥AB
∵ BMD    400 ,    ∴ B  500
∵AM⊥BC        ∴ BAM    400
∴ CAM    400    ∴ EOM   800


16、如图,直线      y   3x  3 与 x 轴、 y 轴分别交于点     A、B,当直线绕点        A 顺时针方向旋

转到与   x 轴首次重合时,点       B 运动的路径的长度是          
解答:求点     B 运动的路径就是求        B»C 长度
需要知道半径与圆心角
半径就是    AB 的长,可利用勾股定理求得            AB=2
由直角三角形的三边关系

AB=2,AO=1,BO=    3 ,可知   BAC   600

          2
故:  B»C =  
          3
17、如图,一块      30°、60°、90°的直角三角形板,直角顶点             O 位 于坐标原点,斜边        AB 垂直

                       k1                                k2
于 x 轴,顶点    A 在函数   y   (x  0) 的图像上,顶点     B 在函数   y    (x  0) 的图像上,
                    1   x                             2  x
          0    k
ABO   30 ,则   1 =       
               k2
解答:在    Rt△ACO  与 Rt△BCO  中
       0         0
A   60 ,B  30 ,设  AC= a

则:OC=    3a ,BC=3a


则可知   A(  3a , a ),B( 3a , 3a )

         2            2
                           k1   1
故 k1  3a , k2  3 3a ,故     
                           k2   3
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                        2
18、如图,    二次函数     y  ax  bx  c 的对称轴在 y 轴的右侧,其图像与        x 轴交于点

        ,点         ,且与    轴将于点       ,   ,小强得到以下结论:
   A(-1,0)   C (x2 ,0)   y         B(0 -2)


①  0  a  2;② 1 b  0;③ c  1④当时a  b  , x2  5 1以上结论中,正确的结论序

号是            。
解答:由图像可知抛物线开口向上,                a  0
经过   A(-1,0),B(0,-2),对称轴在    y 轴的右侧可得:

a  b  c  0

c  2
   b
     0
  2a
可得:  a  b  2 ,b  0

故 a  2  b  2 ,综合可知   0  a  2;

由 a  b  2 可得: a  b  2 ,

代入:   0  a  2;得 0  b  2  2;故 2  b  0

当时a 又 因b 为,     a  0,b  0 ,故 a  b ,又 a  b  2 ,故可知 a 1,b  1

               2                     2
故原函数为     y  x  x  2 ,当 y =0 时,即 x  x  2  0 ,解之得 x1  1, x2  2 ,


 x2  2  5 1

故正确答案为:①④


[来源:学科网 ZXXK]
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三、解答题(本大题共         8 小题,共   66 分)

19、(本题满分     6 分)计算:    8+20170 (1)  4sin 450

解答:原式       2 2 1 2 2
            1

                                     y2   y
20、(本题满分     6 分)先化简,再求值:        (x   )g     y ,其中  x  2, y  3
                                     x  x  y

解答:分式的混合运算

    y2   y
(x   )g    y
    x  x  y
  x2  y2 y
      g     y
    x   x  y
  (x  y) (x  y) y
           g       y
       x     (x  y)
  xy  y2
        y
    x
  xy  y2  xy

      x
   y2
 
    x

当x时 2, y  3
        y2
原式    
        x
        3
         
        2
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21、(本题满分     8 分)某次世界魔方大赛吸引了世界各地               600 名魔方爱好者参加,本次大赛
首轮进行了     3×3 阶魔方赛,组委会随机地将爱好者平均分到                  20 个区域,每个区域        30 名同
时进行比赛,完成时间小于            8 秒的爱好者进入下一轮角逐,下图              3×3 阶魔方赛    A 区域
30 名爱好者完成时间统计图,求
(1)A 区 3×3 阶魔方赛爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示)
(2)若 3×3 阶魔方赛各区域的情况大体一致,则根据                 A 区域的统计结果估计在         3× 3 阶魔方赛
后本次大赛进入下一轮角逐的人数;
(3)若 3×3 阶魔方赛   A 区域爱好者完成时间的平均值为              8.8 秒,求该项目赛该区域完成时间
为  8 秒的爱好者的频率(结果用最简分数表示)
解答:(1)由图可知小于        8 秒的人数为     4 人,总人数为      30 人
                            4   2
故进入下一轮的角逐的比例为:                =
                            30  15
                       2
(2)进入下轮角逐的比例为            ,总共参赛人数有        600 人,
                      15
                         2
故进入下一轮角逐的人数为:              600 =80 名
                         15
(其实最简单的方法是:每个区域都约有                4 人进入角逐
故进入下一轮角逐的人数为:20×4=80             名)


(3)由平均完成时间为       8.8 可知:16+37+8a     9b 1010  308.8
频数之得等于总数据个数:由总人数为                 30 人可知:1+3    a  b 10  30
                                                 7
解之得   a  7,b  9 ,故该区域完成时间为       8 秒的频率为:
                                                 30
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22、(本题满分     8 分)如图,正方形      ABCD 的顶点   A 在等腰直角三角形        DEF 的斜边   EF 上,
EF 与 BC 交于点   G,连接   CF
(1)求证:△DAE≌△DCF
(2)△ABG∽△CFG
解答:(1)∵等腰直角三角形          DEF,正方形     ABCD
∴DE=DF,DC=DA,   B  EDF   ADC   900
EFD   DEF   450
∵ 1 ADF    2  ADF  900
∴ 1  2
∵在△DAE    与△DCF  中
DA   DC

2   1

DE   DF

∴△DAE≌△DCF
∴ DFC    DEF  450
(2) ∵ EFD  450 , DFC  450
   ∴ EFD   DFC   900
   即:  GFC   900
   ∴ GFC   B
   ∵ AGB   CGF
   ∴△ABG∽△     CFG

   23、(本题满分     8 分)如图,一架水平飞行的无人机             AB 的尾端点测得正前方的桥的左端

点  P 俯角为  α,其中     tan  2 3 ,无人机的飞行高度      AH=500  3 米,桥的长为     1225 米

   (1)求 H 到桥的左端点      P 的距离
   (2)无人机前端点     B 测得正前方的桥的右端点           Q 的俯角为    30°,求这款无人机的长度。
   解答:(1)在    Rt△AHP 中

   QAPH    , AH  500 3
                AH
   tan APH        tan 
                HP
     500  3
           2 3
       HP
   HP   250
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   (2)过 Q 作 QM⊥AB  的延长线于点       M,则可得     AM=HQ=HP+PQ=1255+250=1505,

QM=AH=500   3

   ∵在  Rt△QMB   中,  QMB   900 ,QBM  300 ,QM  500 3 ;∴BM=1500

   ∴AB=AM-BM=5   米

                                                           k
   24、(本题满分     8 分)如图,Rt△PAB     的直角顶点     P(3,4)在函数   y   (x  0) 的图像上,
                                                           x
                   t
顶点   A、B 在函数   y   (x  0,0  t  k) 的图像上,PB∥ x 轴,连接    OP、OA,记△OPA    的面
                   x

积为  SVOPA ,Rt△PAB 的面积为    SVPAB ,设W   SVOPA  SVPAB ,

   (1)求 k 的值及W   关于t  的表达式

                                                           2
   (2)若用Wmax 和Wmin 表示函数W     的最大值和最小值。令T            Wmax  a  a ,其中 a 为实数,


求Tmin
                  k
         (1) Q y   经过点P(3,4)
   解答:            x
         k  12

                                   0
   ∵点  P(3,4) ,PB∥  x 轴,  BPA  90
          t     t
    A(3,,)  ,B(  4)
         3      4
              t           t
   PA   (4  ), PB  (3 )
              3           4
            1           1    t     t
   S        PA PB    (4  )(3  )
      VPAB  2           2    3     4
            t 2
               t  6
            24
                1
   Q S      6  t
       VOPA     2

   W    SVOPA  SVPAB
             1     t 2
          (6  t)  (  t  6)
             2     24
          t 2  1
             t
          24   2


 [来源:Zxxk.Com]
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            t 2 1                            3
  (2)QW       t                 (2)QW   =
            24  2                        min 2
         b                                    3
   当t时,取最值  W                     T  a2  a 
        2a                                    2
       1                                  1
   即t时,取1最2 大6值 W                当a时,取最小T  值
       2                                  2
        3                                 5
   W  =                             T  
    max 2                             min 4


   25、(本题满分  10 分)如图,AB  为⊙O 的一条弦,点    C 是劣弧  AB 的中点,E  是优弧
AB 上一点,点   F 在 AE 的延长线上,且   BE=EF,线段  CE 交弦 AB 于点 D


   (1)求证:CE∥BF[来源:学|科|网]

    (2)若线段 BD 的长为 2,且  EA: EB : EC  3:1: 5 求VBCD 的面积。

   (注:根据圆的对称性可知      OC⊥AB)

   解答:(1) 
   QC为的»AB中点
   1  3
   Q BE  EF
   F  4
   QF  4  BEF  1 3 BEF 1800
   1  3,F  4
   1  F
   CE PBF
   (2)                               Q1  3,2  C
   Q1  CBA,1  3                VADE∽VCBE
                                       AD   AE
   3  CBA                            
   VCBD∽VCEB                          CB   CE
    CB   BD                          QCB   2 5, AE :CE  3: 5
                                     AD    3
    CE   BE                               
    CB   CE                            2 5   5
      
    BD   BE                           AD  6
   Q BD  2,CE : BE  5 :1            AB  AD  BD  8
    CB
        5
     2
   CB  2 5
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   QC为的»AB中点
   OC   AM
          1
   BM     AB  4
          2
   Q RtVCMB,CMB    900 ,CB  2 5, BM  4
   CM    2
              1
   SVBCD     BDCM
              2
              1
                     2 2
              2
                    2


26、(本题满分     12 分)已知二次函数       y  x2  bx  c 1

(1)当b 1时,求这个二次函数的对称轴方程
         1
(2)若 c   b2  2b ,问:b 为何值时,二次函数的图像与             x 轴相切
         4

(3)若二次函数的图像与        x 轴交于点    A(x1,0), B(x2 ,0), 且 x1  x2 ,与 y 轴的正半轴交于点 M,

以  AB 为直径的半圆恰好经过点          M,二次函数的对称轴l         与  x 轴、直线   BM、直线    AM  分别
                      DE   1
相交于点    D、E、F   且满足         ,求二次函数的表达式。
                      EF   3
                       1
解答:(1)第一问易得:        x 
                       2
  (2)与 x 轴相切就是与     x 轴只有一个交点
         1
x2  bx  b2  2b 1  0有相等的实数根,即
         4
                    1
QV  b2  4(1)(  b2  2b 1)  0
                    4
8b   4  0                       
      1
b  
      2
(3)
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 Q y  x2  bx 1

 x1gx2  1, x1  x2  b
                     1
 设A,(m则,0) (m  0), B( ,0)
                    m
      m2 1         b  m2 1
 则b对称轴    ,     x   
       m            2   2m

 Q yAM 经过点A(m,0), M (0,1)
         1
  y     x 1
   AM    m
               1
 Q y 经过点B(     ,0), M (0,1)
    BM         m

  yBM  mx 1
       m2 1
 Q x 
   E    2m
       m2 1     m2 1
  y      , DE 
   E    2          2
       m2 1
 Q x 
   F    2m
       m2 1     m2 1
  y      , DF 
   F   2m2        2m2
   DE   1
 Q    
   EF   3
   DE   1
     
   DF   4

      m2 1
             1
       2   
      m2 1  4
       2m2
          1
    m2    (m  0)
          4
           1
    m   
           2
         m2 1  3
    b       
           m    2
              3
     y  x2  x 1
              2
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