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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆教案

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初中数学审核员

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                   24.1 圆(4)

   教学内容
   1、   本节课学习     24.1.4 圆周角的概念及圆周角定理
    教学目标
    知识技能
       理解圆周角的概念、理解圆周角定理的证明,掌握
   圆周角定理的初步运用.
    数学思考
       通过观察、比较,分析圆周角与圆心角的关系,发
   展学生合情推理能力和演绎推理能力.
    解决问题
      学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学
    会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问
    题。
    情感态度
       引导学生对图形的观察发现,激发学生的好奇心和
   求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功
   的体验,建立学习的自信心.
   重难点、关键
    重点:探索圆周角与圆心角的关系,发现圆周角的性
质和直径所对圆周角的特征.
    难点:发现并论证圆周角定理.  
    关键:探究圆周角的定理的存在。
    教学准备
    教师准备:制作课件,精选习题
    学生准备:复习有关知识,预习本节课内容
    教学过程
   一、   复习引入
    (学生活动)请同学们口答下面两个问题.
    1.什么叫圆心角?
    2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
    老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.
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    (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别
相等.
   【设计意图】
   复习相关知识,引出本节内容。
   二、   探索新知
   观察:在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻
   璃窗观看窗内的海洋动物.
   问题  1
   如图:同学甲站在圆心         O 的位置,同学乙站在正对着玻
   璃窗的靠墙的位置       C,他们的视角(       AOB 和 ACB )有什
   么关系?
   问题  2
   如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置                D 和 E,他们
   的视角(    ADB 和 AEB )和同学乙的视角相同吗?


                        
   【活动方略】
   教师演示课件或图片:展示一个圆柱形的海洋馆.
   教师解释:在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧
   形玻璃窗    AAB 观看窗内的海洋动物.
   教师出示海洋馆的横截面示意图,提出问题.
   教师结合示意图,构造出圆周角的定义:
    顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
   注意圆周角定义的两个基本特征:
   (1)顶点在圆上;
   (2)两边都和圆相交。
   利用几何画板演示,让学生辨析圆周角,并引导学生将问题       1、问题 2 中的实际问题
   转化成数学问题:即研究同弧(    AAB )所对的圆心角( AOB )与圆周角
   ( ACB )、同弧所对的圆周角( ACB 、 ADB 、 AEB 等)之间的大小关
   系.教师引导学生进行探究.
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    【设计意图】
    引导学生对图形的观察,发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答
    问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心.

   探究:现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问                             
题.                                                       
    1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?                                 
    2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?                                 
    3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
    (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.                                
    老师点评:                                                
    1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.                                   图  23.1.10 
    2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
    3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
    【活动方略】
    由学生总结发现的规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于
这条弧所对的圆心角的度数的一半.
    教师提出问题,引导学生利用度量工具(量角器或几何画板)动手实验,进行度量,
发现结论。
    教师利用几何画板,从动态的角度进行演示,验证学生的发现.教师可从以下几个方
面演示,让学生观察圆周角的度数是否发生改变,同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无
变化.
    1.拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动;
    2.改变圆心角的度数;
    3.改变圆的半径大小.
    【设计意图】
    让学生亲自动手,利用度量工具(如半圆仪、几何画板)进行实验、探究,得出结
论.教师演示课件激发学生的求知欲望,调动学生学习的积极性.

    论证:下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它
的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”
    启发提问:
     问题  1
     在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? 
     问题  2
     当圆心在圆周角的一边上时,如何证明探究中所发现的结论?
     问题  3
     另外两种情况如何证明,可否转化成第一种情况呢?

   证明:(1)设圆周角∠ABC          的一边   BC 是⊙O  的直径,如图所示
    ∵∠AOC  是△ABO   的外角                           
                                                                 A
    ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO                                                     C
    ∵OA=OB
                                                                     O

                                                               B
             


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    ∴∠ABO=∠BAO
    ∴∠AOC=∠ABO
            1
    ∴∠ABC=    ∠AOC
            2
    (2)如图,圆周角∠ABC         的两边   AB、AC  在一条直径     OD 的两侧,           A
          1                                                                D
那么∠ABC=     ∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.
          2
    老师点评:连结       BO 交⊙O  于 D 同理∠AOD   是△ABO  的外角,                   O
                                                                            C
∠COD  是△BOC  的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因                  B
此∠AOC=2∠ABC.
    (3)如图,圆周角∠ABC         的两边   AB、AC  在一条直径     OD 的同侧,
          1                                                   _A      _C
那么∠ABC=     ∠AOC 吗?请同学们独立完成证明.                                           _D
          2
    老师点评:连结       OA、OC,连结    BO 并延长交⊙O     于 D,那么
                                               1                    _O
∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=           ∠AOD-
                                               2             _B
 1       1
  ∠COD=   ∠AOC
 2       2
    现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,
因此,同弧上的圆周角是相等的.
    从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:
    在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
   【活动方略】
     教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论.学生采取小组合作的学习方式进行
探索发现,教师观察指导小组活动.启发并引导学生,通过添加辅助线,将问题进行转化。
学生写出已知、求证,完成证明.

    【设计意图】
        教给学生一种科学研究的方法,学会发现问题、提出问题、分析问题,并能解决
    问题.让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度。
    三、范例点击
    例 1:OA、OB、OC      都是⊙O   的半径,∠AOB=2∠BOC,
          求证:∠ACB=2∠BAC.
    分析: ∠AOB   和∠ACB   都对着弧    AB, ∠BOC 和∠BAC  都对着弧     BC,因此,根据圆周角定理
    可得出它们之间的关系
    证明:∠ACB=1/2 ∠AOB
          ∠BAC=1/2 ∠BOC    
          ∠AOB=2∠BOC                                            O
          ==>∠ACB=2∠BAC 
                                                        A                C
    四、反馈练习                                                        B
    课本   P89  练习  1,2                                             B
    补充练习:
  (1)如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB                          的度数?
 
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                                                             _A      _O

                                                              _C
                                                                    _B

 (2)一条弦分圆为         1:4  两部分,求这弦所对的圆周角的度数?
    【活动方略】
    学生独立思考、独立解题.
    教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过
程)
    【设计意图】
    检查学生对所学知识的掌握情况.
    五、小结作业
    1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发?
    本节课应掌握:
    知识:(1)圆周角定义及其两个特征;(2)圆周角定理的内容.
  思想方法:一种方法和一种思想:
  在证明中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思
    想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
    2.作业:教材      P94  习题   24.1 第 4、11 题
    【活动方略】
    教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程.
    学生独立完成作业,教师批改、总结.
    【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识。
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