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人教版(新)数学九年级下册第二十八章锐角三角函数全章学案

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第二十八章           锐角三角函数

                                     28.1   锐角三角函数

                                        第  1 课时      正弦


    1.了解直角三角形中一个锐角固定,它的对边与斜边的比也随之固定的规律.
    2.理解并掌握锐角的正弦的定义.
    3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.


    阅读教材    P61-63 页,自学两个“思考”、“探究”及“例                 1”.
    自学反馈      学生独立完成后集体订正
    ①在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C          的对边分别为      a、b、c;∠A   的对边与斜边的比叫做∠A           的           
,即   sinA=           .
    ②在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C          的对边分别为      a、b、c,若    a=3、b=4,则   sinB=           .
                                               (    )
    ③在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=30°,则         sinA=    =           .
                                               (    )

                                               (    )
    ④在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=60°,则         sinA=    =           .
                                               (    )

                                               (    )
    ⑤在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=45°,则         sinA=    =           .
                                               (    )

                正弦值的讨论前提是在直角三角形中,当锐角度数一定时,它的对边与斜边的比是一个定值.


活动   1  小组讨论
    例 1  如图,求     sinA 和 sinB 的值.


    解:在  Rt△ABC 中,

    AB=  AC 2  BC 2 = 52  32 = 34 ,

           BC    3    3 34
    ∴sinA=    =     =      .
           AB    34    34

           AC    5    5 34
    ∴sinB=     =    =      .
           AB    34    34
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                正弦值是锐角的对边与斜边的比,所以应该先用勾股定理求出斜边,再求正弦值.

活动   2  跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若       AC=2BC,则  sinA 的值是             .
2.在 Rt△ABC 中,各边的长度都扩大为原来的              3 倍,那么锐角      A 的正弦值              .
                                  2
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2,sinA=      ,则求  AC 的长.
                                  3

                 第  2 小题可以在方格内构造直角三角形,体会在直角三角形内,锐角度数一定时,其对边与斜

边的比也是定值,即是此锐角的正弦值;第                   5 小题连结   OA,构造直角三角形.


活动   1  小组内讨论交流并展示解题思路和解题要点
                                                                                       7
    例 2  在△ABC   中,∠A、∠B、∠C       的对边分别是      a、b、c,且     a∶b∶c=3∶4∶5,求证:sinA+sinB=      .
                                                                                       5
    证明:设   a=3k,b=4k,c=5k,
    ∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,c2=(5k)2=25k2,
    ∴a2+b2=c2.∴∠C=90°.
           a  3k  3      b  4k  4
    ∴sinA=   =   =  ,sinB= =   =  .
           c  5k  5      c  5k  5
               3  4  7
    ∴sinA+sinB=  +  =  .
               5  5  5
                 此题并没有直角,所以不能直接用正弦来做,需要先用勾股定理的逆定理证得直角,再用正弦
的知识来做.
活动   2  跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.若长  5 米的梯子以倾斜角        40°架在墙上,则       A、B 间距离为多少?
2.若长  5 米的梯子靠在墙上,使         A、B  间距为   2.5 米,则倾斜角∠CAB       为多少度?
3.点 P(2,4)与  x 轴的夹角为    α,则   sinα=           .
4.在 Rt△ABC 中,∠A、∠B、∠C        的对边分别是      a、b、c,∠C    是直角,求证:sin2A+sin2B=1.
活动   3  课堂小结
    1.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形前提中去,若没有直角三角形,可通过作垂线构造直角三角形.
    2.互余的两个锐角的正弦值的平方和等于                1.
    3.在直角三角形中,可根据锐角度数求出直角边与斜边的比值,也可以通过直角边与斜边的比值求出直角边所
对的角的度数.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学】
自学反馈
        a
①正弦  
         c
   4
②
   5
   BC    1
③       
   AB    2
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
   BC     3
④       
   AB    2

   BC     2
⑤       
   AB    2
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练

    5
1.
   5
2.不变

3. 5

【合作探究     2】
活动   2  跟踪训练
1.5·sin50°米

2.60°

  2  5
3.
   5

                    a2  b2
4.提示:∵sin2A+sin2B=         ,a2+b2=c2,∴sin2A+sin2B=1
                      c2
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                                  第   2 课时     锐角三角函数


    1.掌握余弦、正切的定义.
    2.了解锐角∠A     的三角函数的定义.
    3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.


    阅读教材    P64-65,自学“探究”与“例        2”.
    自学反馈      学生独立完成后集体订正
    ①在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C          的对边分别为      a、b、c;∠A   的邻边与斜边的比叫做∠A           的           
,即   cosA=           ;∠A 的对边与邻边的比叫做∠A           的            ,即  tanA=           .
    ②锐角   A 的正弦、余弦、正切叫做∠A            的            .
    ③在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C          的对边分别为      a、b、c,若    a=3、b=4,则   cosB=            ,
tanB=           .
                                             ( )                  ( )                 ( )   
    ④在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=30°,则         sinA=    =         ,cosA=    =         ,tanA=    =         .
                                             ( )                  ( )                 ( )   
                                             ( )                  ( )                  ( )   
    ⑤在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=60°,则         sinA=    =         ,cosA=    =         ,tanA=     =         .
                                             ( )                  ( )                  ( )   
                                             ( )                  ( )                  ( )   
    ⑥在  Rt△ABC  中,∠C=90°,∠A=45°,则         sinA=    =         ,cosA=    =         ,tanA=     =         .
                                             ( )                  ( )                  ( )   

                锐角三角函数是在直角三角形的前提下.


活动   1  小组讨论
    例 1  分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.


    解:在  Rt△ABC 中,根据勾股定理得         BC=  AB2  AC 2 = 132 122 =5,
                BC   5           AC   12      BC    5       AC   12
    ∴sinA=cosB=    =   ,cosA=sinB=   =   ,tanA=   =   ,tanB=   =   .
                AB  13           AB   13      AC   12       BC   5

                利用勾股定理求出第三边,再直接运用三角函数定义即可.

活动   2  跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D      是 AB 的中点,若     CD=BC,则   tanA=           .
2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,c=13,a=12,那么         sinA=           ,cosA=           ,tanA=           .
                                   1
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,c=2,sinB=       ,则   a=           ,b=           ,S△ABC=           .
                                   2

                均可先求出直角三角形的边长,再用锐角三角函数的关系来做.
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
活动   1  小组讨论
                                                  3
    例 2  如图,在     Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,tanA=        ,求  sinA 和 cosB 的值.
                                                  4


              BC
    解:∵tanA=     ,
              AC
                     3
    ∴BC=AC×tanA=8×     =6.
                     4

    ∵AB=   BC 2  AC 2 = 62  82 =10,
           BC   6   3      BC   6   3
    ∴sinA=    =   =  ,cosB=    =  =  .
           AB   10  5      AB   10  5

                先求  Rt△ABC 的边长,再求      sinA、cosB 的值.

    例 3  如图,在△ABC      中,AB=15,AC=13,S△ABC=84,求     sinA 的值.


    解:过点   C 作 CD⊥AB  于点  D.
            1
    ∵S△ABC=   AB·CD,
            2
          2S      284   56
    ∴CD=    A ABC =    =   .
           AB      15    5
                            56
                       CD       56
    在 Rt△ACD  中,sinA=     =  5 =   .
                       AC   13  65

                 求 sinA 的值,由正弦定义可知,必须在直角三角形中,图中没有直角三角形,应想办法构造,

题中又提供了三角形的面积及边              AB 的长,故可通过       C 作高  CD.
活动   2  跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
                              1
1.在△ABC  中,∠C=90°,且      tanA=  ,则 cosB 的值是             .
                               3

2.如图,在△ABC     中,∠ABC=60°,AB∶BC=2∶5,S△ABC=10         3 ,求  tanC 的值.
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台


活动   3  课堂小结
    1.本节学习的数学知识,锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.
    2.本节还学到了类比的思想.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学】
自学反馈
        b         a
①余弦         正切  
        c         b
②锐角三角函数
   3   4
③     
   5   3
④⑤⑥略
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练

    3
1.
   3
  12   5    12
2.          
  13   13   5
            3
3. 3   1  
           2
【合作探究     2】
活动   2  跟踪训练

   10
1.
   10

    3
2.
   4
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
                              第   3 课时     特殊角的三角函数值


    1.掌握  30°、45°、60°角的三角函数值,能够用它们进行计算.
    2.能够根据    30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.


    阅读教材    P65-67 页,自习“探究”、“例          3”与“例    4”.
    自学反馈      学生独立完成后集体订正
    ①sin30°=             ,cos30°=             ,tan30°=             ,sin45°=             ,cos45°=          
,tan45°=           ,sin60°=           ,cos60°=           ,tan60°=           .
    ②sinα  的值随着角     α 的增大而                ,cosα  的值随着角     α  的增大而             ,tanα  的值随着角
α  的增大而           .

                这些常用的锐角三角函数值之间也是有规律的,互余的两个锐角的正弦值的平方和为                                   1,互余的

两个锐角的余弦值的平方和为             1,它们的正切值的积为          1.


活动   1  小组讨论
    例 1  求下列各式的值:
                         cos45
    ①cos230°+sin230°;②          -tan60°.
                          sin45
                           3    1
    解:①cos230°+sin230°=(     )2+( )2=1.
                          2     2

      cos45           2     2
    ②        -tan60°=    ÷     -3=1-3.
       sin45          2    2

                sin230°表示(sin30°)2,即   sin30°·sin30°,这类计算只需将三角函数值代入即可.

活动   2  跟踪训练(学生独立完成后展示学习成果)
                     6
1.计算:①|3-   12 |+(      )0+cos230°-4sin60°;
                  2  2

                         24
②   2 (2cos45°-sin60°)+     ;
                         4

③(sin30°)-1-2 0100+|-4 3 |-tan60°.
                                         1
2.直线  y=kx-4 与 y 轴相交所成的锐角的正切值为             ,则  k 的值为             .
                                         2

                第 1 题的计算,注意理清运算顺利;第              2 题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决,

注意两种情况.


活动   1  小组讨论
    例 2    如图,在高为      2 m,斜坡面与地平面夹角为           α  的楼梯表面铺地毯,楼梯宽           2 m,共需地毯的面积为(4
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  3 +4)m2,则 α 为多少度?


                         4 3  4
    解:由题意可得,BC+AC=              =2  3 +2,
                            2

    ∴AC=2   3 .

                       BC     2     3
    在 Rt△ABC  中,∵tana=     =     =   ,
                       AC   2  3   3

    ∴∠α=30°.
    答:α  为 30 度.

                 此题应该先理解       BC+AC 的长就是地毯的长度,所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长,再

求出   AC 的长,然后根据      tanA 的值得知    α 的度数.
活动   2  跟踪训练(小组内讨论完成并展示小组学习成果)
1.已知  α 为锐角,则      m=sinα+cosα 的值(      )
  A.m>1            B.m=1               C.m<1                   D.m≥1

                运用三角形的两边之和大于第三边,可得出分子大于分母,其商必大于                             1.

2.求下列锐角     α 的大小:

①4cos2α-3   2 sin45°=0;

②tan2α-(  3 +1)tanα+  3 =0.

                先求出   α 的三角函数值,再根据其值求角的度数.

3.在△ABC  中,∠C=90°,设      sinB=n,当∠B  是最小的内角时,n        的取值范围是                .
4.已知,如图,在△ABC        中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6,求       BC 的长.(结果保留根号)


活动   3  课堂小结
    1.本节主要学习了特殊角的锐角三角函数值,已知角的度数可求出其正、余弦和正切值,也可根据角的正、余
弦值和正切值求出角的度数.
    2.本节学习的数学方法:培养学生的特殊化的意识,认识特殊是事物属性的一个方面.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.
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【预习导学】
自学反馈

   1    3     3     2    2        3   1
①                            1              3
   2    2    3     2     2       2    2
②增大     减小    增大
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练
     5
1.①-    ②2   ③1+3   3
     4
2.±2
【合作探究     2】
活动   2  跟踪训练
1.A
2.①30°   ②60°或    45°
         2
3.0”),若                 α=45°,则    sinα               cosα;若 α<45°,则   sinα           
cosα;若  α>45°,则  sinα           cosα;
  (4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列大小:sin10°,cos30°,sin50°,cos70°                                 .


活动   3  课堂小结
    1.本节学习的数学知识:利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
    2.本节学习的数学方法:培养学生一般化意识,认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.
    3.求锐角的三角函数时,不同计算器的按键顺序是不同的,大体分两种情况:先按三角函数键,再按数字键;
或先输入数字后,再按三角函数键,因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学】
自学反馈
①sin28°
  (4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°


                                28.2   解直角三角形及其应用
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
                                    28.2.1   解直角三角形


    1.了解什么叫解直角三角形.
    2.掌握解直角三角形的根据.
    3.能由已知条件解直角三角形.


    阅读教材    P72-73,自学“探究”、“例          1”与“例    2”,弄清楚直角三角形的元素,掌握解直角三角形的方法.
    自学反馈      学生独立完成后集体订正
    ①在直角三角形中,由                    求            的过程叫做解直角三角形.
    ②直角三角形中的边角关系:
    三边之间的关系                 ;
    两锐角之间的关系                  ;
    边与角之间的关系:sinA=             ,cosA=        ,tanA=       ,sinB=       ,cosB=        ,tanB=      .
    ③在  Rt△ABC  中,∠C=90°,已知∠A        与斜边   c,用关系式               ,求出∠B,用关系式                   求出
a.

                弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.


活动   1  小组讨论
    例 1  Rt△ABC  中,∠C=90°,c=0.832 8,b=0.295 4,解这个直角三角形.
             b  0.2954
    解:∵sinB=   =       ≈0.354 7,
             c  0.8328
    ∴∠B≈20°46′,∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′,
           a
    ∵tanA=   ,
           b
    ∴a=b·tanA≈0.779.

                直角三角形除直角外的其它五个元素中,已知其中任何两个元素(必有一边),即可求出其它三个

元素.
活动   2  跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示)
1.如图,点    C 在以  AB 为直径的⊙O     上,AB=10,∠A=30°,则       BC 的长为             .


                               3
2.如图,在△ABC     中,∠B=45°,cosC=    ,AC=5a,则△ABC 的面积用含     a 式子表示是               .
                               5
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3.根据下列所给条件解直角三角形,结果不能确定的是(                         )
  ①已知一直角边及其对角;②已知两锐角;③已知两直角边;④已知斜边和一锐角;⑤已知一直角边和斜边.
  A.②③          B.②④            C.只有②              D.②④⑤

                第 2 小题要过点     A 作 BC 的垂线,构造两个直角三角形,再解直角三角形;第                      3 小题要注意解直

角三角形中已知的两元素不包括直角.
4.已知,如图:△ABC      是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=10,D          为△ABC  外一点,连结       AD、BD,过    D 作 DH⊥AB,
垂足为   H,交   AC 于 E.
  ①若△ABD    是等边三角形,求        DE 的长;
                          3
  ②若  BD=AB,且   tan∠HDB=   ,求   DE 的长.
                          4


                求出   AB 的长,根据等腰三角形“三线合一”可求出                  AH 和 BH 等于  AB 的二分之一,然后在直角

三角形   AHD  和 AHE,可利用    tan∠DAH  和 tan∠EAH  求出  DH 和  EH 的长,从而求出      DE 的长;第②小题思路和方法
同上.
活动   3  课堂小结
    1.本节学习的数学知识:解直角三角形.
    2.本节学习的数学方法:转化的数学思想.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学】
自学反馈
①略    ②略    ③略
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练
1.5
2.14a2
3.C

4.①DE=5  3 -5  ②4
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                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
                                       28.2.2   应用举例

                       第  1 课时      与视角有关的解直角三角形应用题


    1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.
    2.进一步理解仰角、俯角等概念,并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
    3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.


    阅读教材    P74-75 页,自学“例      3”与“例    4”,复习与圆的切线相关的知识,弄清仰角与俯角的概念.
    自学反馈      独立完成后小组内展示学习成果
    ①某人从    A 看 B 的仰角为    15°,则从    B 看 A 的俯角为              .
    ②什么叫圆的切线?它有什么性质?
    ③弧长的计算公式是什么?
    ④P89 练习题    1-2 题.
                 把求线段的长转化成解直角三角形的知识,构造直角三角形,把相应的元素放到相应的直角三
角形中去.


活动   1  小组讨论
    例 1   如图,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为                  10 m,∠A=26°,求中柱        BC(C 为底边中点)和上弦      AB 的
长.(精确到    0.01 m)


              BC
    解:∵tanA=     ,
              AC
    ∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).
           AC
    ∵cosA=     ,
           AB
          AC      5
    ∴AB=      =        ≈5.56(m).
          cosA  cos26
    答:中柱   BC 约长  2.44 m,上弦 AB 约长  5.56 m.

                这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形,同一个问题可以用不同的关系式来解.

活动   2  跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图,某飞机于空中处探测到目标              C,此时飞行高度       AC=1      200     m,从飞机上看地平面指挥台            B 的俯角
a=16°31′,求飞机     A 到指挥台    B 的距离.(精确到    1 m)
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2.在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是                    5.5 m,测得斜坡的倾斜角是           24°,求斜坡上相邻两树间的
坡面距离是多少       m.(精确到   0.1 m)


                这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题,另外,要注意理解有关的名词术语.第

2 小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.


活动   1  小组讨论
    例 2    如图,两建筑物的水平距离为             32.6 m,从点   A 测得点   D 的俯角   α  为 35°12′,测得点      C 俯角  β  为
43°24′,求这两个建筑物的高.(精确到              0.1 m)


    解:过点   D 作 DE⊥AB  于点  E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.
                            AB
    在 Rt△ABC  中,∵tan∠ACB=      ,
                            BC
    ∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).
                            AE
    在 Rt△ADE  中,∵tan∠ADE=      ,
                            DE
    ∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).
    ∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).
    答:两个建筑物的高分别约为           30.8 m,7.8 m.

                关键是构造直角三角形,分清楚角所在的直角三角形,然后将实际问题转化成几何问题解决.

活动   2  跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)
    如图,一只运载火箭从地面            L 处发射,当卫星到达        A 点时,从位于地面        R 处的雷达站测得      AR 的距离是    6 
km,仰角为     43°,1s  后,火箭到达      B 点,此时测得      BR 的距离是    6.13 km,仰角为    45.54°,这个火箭从     A 到 B 的平
均速度是多少(精确到         0.01 km/s)?
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                 速度=路程÷时间,本题中只需求出路程                 AB,即可求出速度.无论是高度还是速度,都转化成解

直角三角形.
活动   3  课堂小结
    1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.
    2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学】
自学反馈
①15°
②略
    n
③      ·2πr
   360
④7.7 m    334.2 m
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练
1.4 221 m
2.6.0 m
【合作探究     2】
活动   2  跟踪训练
0.28 km/s
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
                  第  2 课时     与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题


    1.能运用解直角三角形解决航行问题.
    2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
                坡面的铅直高度
    3.理解坡度    i=                =tan 坡角.
                坡面的水平宽度


    阅读教材    P76,自学“例      5”和“归纳”,掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.
    自学反馈      独立完成后小组内交流
    ①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
    a.将实际问题抽象为数学问题,画出图形,转化为解                               的问题;
    b.根据条件的特点,适当地选用                       去解直角三角形;
    c.得到数学问题的答案;
    d.最后得到              问题的答案.
    ②已知外婆家在小明家的正东方,学校在外婆家的北偏西                        40°,外婆家到学校与小明家到学校的距离相等,
则学校在小明家的                  方向.


活动   1  小组讨论
    例 1   如图,海中一小岛        A,该岛四周     10 海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行,开始在                    A 岛南偏西    55°的
B 处,往东行驶      20 海里后到达该岛的南偏西          25°的   C 处,之后,货轮继续向东航行,你认为货轮向东航行的途中
会有触礁的危险吗?


    解:如图,过点    A 作 AD⊥BC  交  BC 的延长线于点     D.
                            BD
    在 Rt△ABD  中,∵tan∠BAD=       ,
                            AD
    ∴BD=AD·tan55°.
                            CD
    在 Rt△ACD  中,∵tan∠CAD=      ,
                            AD
    ∴CD=AD·tan25°.
    ∵BD=BC+CD,
    ∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.
                20
    ∴AD=                ≈20.79>10.
          tan55  tan25
    ∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.

                应先求出点     A 距 BC 的最近距离,若大于        10 则无危险,若小于或等于           10 则有危险.

活动   2  跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
    如图所示,A、B      两城市相距      100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段                    AB).经测量,森林保护
中心   P 在 A 城市的北偏东     30°和   B 城市的北偏西     45°的方向上,已知森林保护区的范围在以                  P 点为圆心,50 
km 为半径的圆形区域内,请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?(参考数据:

  3 ≈1.732, 2 ≈1.414)


                 解这类题目时,首先弄清楚方位角的含义;其次是通过作垂线构造直角三角形,将问题转化为
解直角三角形.


    阅读教材    P77 练习  2,自学关于坡度的问题,弄懂坡度与坡角的实际意义,理解铅垂高度与水平宽度的实际意
义.
    自学反馈      独立完成后小组内交流
    ①拦水大坝的横断面为梯形,其中坡度                 i 是指         与          的比,这个值与坡角的                  值相等.
    ②坡度   i 一般写成    1∶m  的形式,坡度      i 的值越大,表明坡角越                   ,即坡越陡.
    ③已知一大坝的坡角为          45°,则它的坡度       i 的值等于             .

                 通过书上的例题掌握“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的方法来解决一些实际
和数学问题.


活动   1  小组讨论
    例 2    如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽                 6  m,坝高   23  m,斜坡   AB 的坡度   i=1∶3,斜坡    CD 的坡度
i′=1∶2.5,求斜坡     AB 的坡角   α,坝底宽     AD 和斜坡    AB 的长.(精确到   0.1 m)


    解:如图,过点    B 作 BE⊥AD  于点  E,过点  C 作 CF⊥AD  于点  F,
                           BE  1  CF    1
    在 Rt△ABE  和 Rt△CDF 中,     =  ,    =   ,
                           AE  3  FD   2.5
    ∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
    ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
                  1
    ∵斜坡的坡度      i=  ≈0.333 3,
                  3
       BE
    ∴     =0.333 3,即 tanα=0.333 3.
       AE
    ∴α≈18°26′.
       BE
    ∵     =sinα,
       AB
                           中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台
          BE       23
    ∴AB=      ≈        ≈72.7(m).
          sin   0.3162
    答:斜坡   AB 的坡角   α 约为   18°26′,坝底宽    AD 为  132.5 m,斜坡 AB 的长约为    72.7 m.
                 这类问题,首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义;其次,要将梯形予以分割,分割成特殊的
四边形和直角三角形.
活动   2  跟踪训练
    如图,已知在山脚的         C 处测得山顶     A 的仰角为    45°,沿着坡角为       30°的斜坡前进      400  m 到点  D 处,测得点
A 的仰角为    60°,求出    AB 的高度.


                 第  2 小题,要过点      D 作 AB 和 BC 的垂线,构造两个直角三角形和一个矩形,将                   AB 分成两段来

求.
活动   3  课堂小结
    1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题.
    2.本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想.


    教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.


【预习导学     1】
自学反馈
①直角三角形        锐角三角函数等        实际
②北偏东    40°
【合作探究     1】
活动   2  跟踪训练
过点   P 作 PD 垂直  AB 于点  D,可求得    PD≈63.4 m>50 m,所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
【预习导学     2】
自学反馈
①坡面的铅垂高度          它的水平宽度       正切
②大
③1
【合作探究     2】
活动   2  跟踪训练

AB=(200  3 +200)m
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