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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节弧、弦、圆心角学案

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初中数学审核员

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                        24.1.3   弧、弦、圆心角

    一、新课导入

    1.导入课题:

    问题  1:圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?

    问题  2:把圆绕着圆心旋转一个任意角度,旋转之后的图形还能与原图形重合吗?

    这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(板书课题)

    2.学习目标:

    (1)知道圆是中心对称图形,并且具有任意旋转不变性.

    (2)知道什么样的角是圆心角,探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.

    (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.

    3.学习重、难点:

    重点:弧、弦、圆心角关系定理.

    难点:探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.

    二、分层学习


    1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第       83 页至第   84 页例  3 之前的内容.

    (2)自学时间:8     分钟.

    (3)自学方法:完成探究提纲.

    (4)探究参考提纲:

    ①剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转                180°和任意角度,观察旋转前后的两个图形是否

重合,并填空:圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心;把圆绕着圆心旋转任意一个角

度,旋转之后的图形          都与原图形重合.

    ②顶点在圆心的角叫做圆心角.


    重合
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    ④结论:在在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则

它们所对应的其余各组量都相等.

    2.自学:学生结合自学指导进行自学.

    3.助学:

    (1)师助生:

    ①明了学情:观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.

    ②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.

    (2)生助生:小组内相互交流、研讨.

    4.强化:

    (1)弧、弦、圆心角关系定理,尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”.

    (2)该定理可以实现角、线段(弦)、弧的相互转换.

    (3)练习:如图,AB,CD      是⊙O   的两条弦. 


    解:相等.理由:
                                          1            1
    ∵OE⊥AB,OF⊥CD,由垂径定理得            AE=BE=2AB,CF=DF=2CD.  
    又 AB=CD,∴AE=CF.在    Rt△AOE   和 Rt△COF  中,

    OA=OC,AE=CF,

    ∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴OE=OF.
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    1.自学指导:

    (1)自学内容:教材第       84 页例  3.

    (2)自学时间:3     分钟.

    (3)自学方法:阅读理解,推理论证.

    (4)自学参考提纲:


    它们所对的弦      AB=BC=AC,或证明它们都是          120°. 

    b.在每一步后面填上相应的依据:

    证明:

    ∴AB=AC(在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的弦相等).

    又∠ACB=60°,     ∴△ABC   是等边三角形(有一个角是           60°的等腰三角形是等边三角形).

    即 AB=BC=AC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆心

角相等).

    c. 你还有其他的证法吗?


    ∴AB=AC.     又∠ACB=60°,

    ∴△ABC   是等边三角形.

    易证△AOB≌△BOC≌△AOC,

    ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.  


2.自学:学生结合自学指导进行自学.

    3.助学:

    (1)师助生:
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    ①明了学情:观察学生是否会用定理实现角、线段、弧的转换.

    ②差异指导:看图逐步适应从直线到曲线的过渡.

    (2)生助生:小组内相互交流、研讨.

    4.强化:弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.

    三、评价

    1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?还存在哪些疑惑?

    2.教师对学生的评价:

    (1)表现性评价:点评学生的学习态度、积极性,小组合作情况、存在的问题等.

    (2)纸笔评价:课堂评价检测.

    3.教师的自我评价(教学反思):

    (1)本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,得出了圆的中心对称性、

圆心角定理及推论,可以发展学生勇于探究的良好习惯,培养动手解决问题的能力.

    (2)本节课中,教师应让学生掌握解题方法,即要证弦相等或弧相等或圆心角相等,可

先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.


    (时间:12   分钟满分:100     分)

    一、基础巩固(70      分)


    A.36°             B.72°          C.108°              D.48°

    2.(15 分)如图,已知    AB  是⊙O  的直径,C、D      是半圆上两个三等分点,则∠COD=60°.

    3.(15 分)如图,在⊙O     中,点           C 是的中点,∠A=50°,则∠BOC=40°.
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    二、综合应用(20      分)

    6. (20 分)如图,A,B  是⊙O   上的两点,∠AOB=120°,                C 的中点,求证:四

边形   OACB 是菱形.

    证明:∵C     是 AB 的中点,∴AC=BC,
                    1
    ∴∠AOC=∠BOC=2∠AOB=60°.
    又∵OA=OC=OB,

    ∴△AOC    与△BOC   是等边三角形.∴∠A=60°. 

    又∠AOB=120°,∴AC∥OB.  

    ∵AC=OC=OB,

    ∴四边形    OACB  是平行四边形.

    又 OA=AC,∴四边形      OACB  是菱形.


    三、拓展延伸(10      分)

    7.(10 分)如图,在⊙O     中,弦   AB 与  CD 相交于点    E,AB=CD.

    (1)求证:△AEC≌△DEB;

    (2)点 B 与点  C 关于直线    OE 对称吗?试说明理由.
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(2)解:对称.理由:连接        OB、OC.    则 OB=OC.  

由(1)知  BE=CE,

连接  BC,则   OE 垂直平分     BC.  

∴点  B 与点   C 关于直线    OE 对称.
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