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中考数学复习-二次根式

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                                   考点六:二次根式 

聚焦考点☆温习理解

    1、二次根式

    式子    a(a  0) 叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“                        ”;被开方数      a 必须是非负

数。

    2、最简二次根式

    若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,

这样的二次根式叫做最简二次根式。

    化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

    (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,

然后利用分母有理化进行化简。

    (2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出

来。

    3、同类二次根式

    几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。

    4、二次根式的性质

    (1)   ( a) 2  a(a  0)


            2       a(a  0)
    (2)    a   a  
                    a(a  0)

    (3)    ab   a   b(a  0,b  0)

           a    a
    (4)          (a  0,b  0)
           b    b

    5、二次根式混合运算

    二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的

(或先去括号)。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、二次根式概念与性质
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


【例   1】使二次根式       x 1 有意义的    x 的取值范围是(   )

A.  x  1            B. x  1           C. x  1           D. x  1

【答案】D.

【解析】

试题分析:使二次根式            a 有意义的条件是被开方数          a≥0,所以使二次根式           x 1 有意义的条件是      x-

1≥0,即    x≥1,故答案选      D.

考点:二次根式有意义的条件.

【点睛】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.

【举一反三】

1. 下列各式一定是二次根式的是(     )

A.   3     B.   x2 1

C.  3 4     D.  x  2

【答案】B


                                                2         2
2.(2017  陕西西安一模)若1         x  4 ,则化简    x  4  x 1  ________.

【答案】     3

                2         2
【解析】      x  4   x 1  4  x  x 1  3.

考点:二次根式性质.

考点典例二、二次根式的运算

                                                    a    a       a   b
【例   2】(济宁)如果       ab>0,a+b<0,那么下面各式:①                   ,②      A   1,③
                                                    b    b       b   a

        a
  ab      b 其中正确的是      (  )
        b
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A.①②             B.②③                C.①③              D.①②③

【答案】B.

【解析】

试题分析:由       ab>0,a+b<0   先求出   a<0,b<0,再进行根号内的运算.

试题解析:∵ab>0,a+b<0,

∴a<0,b<0

    a     a
①          ,被开方数应≥0a,b        不能做被开方数,(故①错误),
    b     b

    a   b
②     A   1(故②正确),
    b   a

          a
③   ab      b (故③正确).
          b

故选:B.

答案:二次根式的乘除法.

                                                       a    a
【点睛】二次根式化简依据:               ab   a  b(a  0,b  0) ,       (a  0,b  0) ,本题是考查二次
                                                       b    b

根式的乘除法,解答本题的关键是明确                 a<0,b<0.

【举一反三】

         1
       2     18
1.计算     2       的结果是      .

【答案】      2 2 .

【解析】

             1            1
试题分析:      2     18  2    2  3 2  2  2
             2            2

考点:二次根式化简.

2. 下列二次根式中,不能与             2 是合并的是(      )

A.   8   12   27  2      B. 2  2  2 3  3 3  2     C.  2 2  2 3  3 3  2      D. 

 3 2-  3
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【答案】C


 考点典例三、二次根式混合运算

                             1       1
【例   3】(荆门)计算:         24      4   (1   2)0
                             3       8

【答案】      2 .

【解析】

试题分析:

                                                    1       2
根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=                        24    4    1  2 2  2 ,然后合并即可;
                                                    3      4

                     1       2
试题解析:原式=         24    4   1
                     3      4

= 2 2   2

=  2 .

考点:二次根      式的混合运算

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运

算,然后合并同类二次根式.

【举一反三】

1.化简    27   3  12 的结果为(  )
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

A.0      B.2      C.               2  3       D.      2  3

【答案】D.

【解析】

试题分析:       27   3  12 = 3 3  3  2 3 = 2 3 ,故选  D.

考点:二次根式的加减法.

2. 计算(     48 -  27 )÷   24 的结果为__________________.

          2
【答案】
          4

【解析】

                                              2            2
试题分析:原式=(4         3 −3 3 )÷26√=   3 ÷2   6 =   .故答案为        .
                                              4           4

考点典例四、二       次根式运算中的技巧

                      x  4  4  x
【例   4】(德州)若      y=               -2,则(x+y)y=          
                           2
         1
【答案】      .
         4
【解析】

试题分析:根据被开方数大于等于               0,列式求出     x,再求出     y,然后代入代数式进行计算即可得解.

试题解析:由题意得,x-4≥0           且  4-x≥0,

解得   x≥4 且  x≤4,

∴x=4,

y=-2,
                  1
∴x+y)y=(4-2)-2=     .
                  4
考点:二次根式有意义的条件

【点睛】本题考查        的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.

【举一反三】

1. (福州)若(m-1)2+         n  2 =0,则 m+n 的值是(  )

A.-1         B.0        C.1            D.2
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

【答案】A.


考点:非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:偶次方.

2. 观察下列等式:   

     1           2 1                    1             3   2
①                          2 1;②                                 3   2 ;③
    2 1    2 1  2 1              3  2    3   2  3   2 

    1             4   3
                               4   3 ;……
   4  3    4   3  4  3

回答下列问题:

                                    1
(1)利用你观察到的规律,化简: 
                                  23  22

               1       1         1               1
(2)计算:             +        +         +……+
            1   2    2  3    3   4        99   100

【答案】(1)        23 - 22   (2)9

【解析】

                                                1
试题分析:(1)根据已知的            3 个等式发现规律:                      n 1  n ,把   n=22 代入即可求解;
                                             n 1   n

(2)先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式,再计算即可.

                    1               23  22
试题解析:(1)                 =                            23   22 ;
                 23+  22  ()2(3+)22       23   22

              1        1        1               1
(2)计算:            +        +        ++
            1+  2    2+  3    3+  4          99+  100
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=  2 1   3  2   4   3    100   99

=  100 1

=10-1

=9. 

考点典例五、估算大小

【例   5】(河北)a,b      是两个连续整数,若         a<   7 <b,则   a,b 分别是(  )

A.2,3          B.3,2            C.3,4             D.6,8

【答案】A.


考点:估算无理数的大小.

【举一反三】

1. (2017  重庆一中一模)估计          18   6+  2 的 运算结果应在(   )之间.

A. 1 和 2    B. 2 和 3    C. 3 和 4    D. 4 和 5

【答案】C

【解析】

试题解析:       18   6+  2 = 3+  2

 1.7  3 1.8 ,1. 4< 2 1.5

所以   3.1<  3+  2  3.3 。

故选   C. 

2.(吉林)若      a<  13 <b,且   a,b 为连续正整数,则         b2-a2=         

【答案】7.
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【解析】

试题分析:因为        32<13<42,所以    3<  13 <4,求   得  a、b 的数值,进一步求得问题的答案即可.

试题解析:∵32<13<42,

∴3<    13 <4,

即  a=3,b=4,

∴b2-a2=7.

考点:估算无理数的大小.

课时作业☆能力提升

1.与    5 是同类二次根式的是(  )

A.   10    B.  15    C.   20    D.  25

【答案】C.


考点:同类二次根式

2.下列计算正确的是(  )

                          3   3
A.   12  2 3     B.               C.      x3  x x     D.      x2  x
                          2   2

【答案】A.

【解析】

试题分析:A.        12  2 3 ,正确;

     3    6
B.         ,故此选项错误;
     2    2

C.   x3  x x ,故此选项错误;

D.   x2  x ,故此选项错误;
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故选   A.

考点:二次根式的性质与化简.

3. (2017  山东德州二模)函数               +    中自变量    x 的取值范围是(    )

A. 1< x < 2    B. 1≤ x ≤ 2    C. x > 1    D. x ≥1

【答案】D

【解析】

试题分析:根据二次根式有意义的条件列不等式,即可求出自变量                            x 的取值范围.

解:由题可得:             ,

解得,x ≥1.

故选   D.

考点:二次根式有意义的条件.

4. (内江)按如图所示的程序计算,若开始输入的                     n 值为   2 ,则最后输出的结果是(  )

A.14        B.16         C.8+5  2       D.14+   2


【答案】C.

【解析】


考点:实数的运算.

6. 计算   3   ﹣2   的结果是(  )

A.        B.2         C.3        D.6

【答案】A.
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【解析】

试题分析:根据二次根式的加减运算法则可得原式=(3﹣2)                           =   .故答案选     A.

考点:二次根式的加减法.

                                                                               2
7(2017  山东寿光一模)一次函数           y=ax+b 在直角坐标系中的图象如图所示,则化简                  a  b  a  b 的

结果是(     )


A. 2a    B . -2a    C. 2b    D. -2b

【答案】D

【解析】

                                                          2
试题分析:由图可知         a>0,b<0,a+b>0,所以     a-b>0,所以     a  b  a  b =a-b-(a+b)=-2b,

故  选 D.

8.(2017  湖北鄂州联考)已知         0≤x≤3  ,化简              = ______ .

【答案】3

【解析】∵0≤x≤3,

∴x≥0,x−3≤0,

原式=|x|+|x−3|

=x+3−x=3.

故答案为:3.

9.(2017  江苏徐州一模)计算          -2a· 8a  (a<0)的结果是_       _____.

【答案】-4a

【解析】      -2a· 8a  (a<0)

=  2a8a  =﹣4a.

10.计算    3 ﹣  2 的结果精确到      0.01 是(可用科学计算器计算或笔算)(  )

A.0.30 B.0.31 C.0.32 D.0.33
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【答案】C.

【解析】

试题分析:用计算器计算可得               3 ≈1.732,   2 ≈1.414,所以     3 ﹣  2 ≈1.732﹣1.414=0.318≈0.32.

故答案选     C.

考点:计算器的运用.

          1
        2     18
11.计算     2       的结果是      .

【答案】      2 2 .

【解析】

             1            1
试题分析:      2     18  2    2  3 2  2  2
             2            2

考点:二次根式化简.

12.(2017  河北沧州中考模拟)计算:                          =__.
【答案】12

【解析】

试题分析:根据实数的乘除运算,结合二次根式的性质可求解为:

       8    1        2  6
  27        = 3 3        2 =12.
       3    2          3

故答案为:12.

                                            1
13. (2017  辽宁盖州中考模拟)计算:(              27 ﹣    )×    3 =______.
                                            3

【答案】8

【解析】

试题分析:原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得:

                          1
试题解析:原式=         273     3  9 1  8  .故答案为:8.
                          3

14.(2017  天津宁河区联考)计算
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 (1)


(2)                             .


【答案】(1)         ;(2)15+

【解析】试题分析:(1)(2)由题意先开根号,然后再进行加减乘除运算.

试题解析:


(1)


=   -   +


= 


(2)


=      —         +(8+    +3)

=4—    +11+     

=15+

                                             1      
15. (2017  山东平邑一轮复习)化简:                                     .
                                   3  12  2     48   2 3
                                             3      
             14
【答案】原式=         .
              3
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