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人教版(新)数学八年级上册第十四章第二节平方差公式课件

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14.2乘法公式
   ------平方差公式


   岢岚四中     程云英
学习目标

1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式;
2.理解平方差公式的几何意义,感知数形结合思想;
3.熟悉平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公
 式解答问题。
  探究平方差公式
    计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
    (1)(y +  4)( y-4) =   y2-16       ;
    (2)(-2m+   3)(-2m-3)=   4m2-9   ;
    (3)(5y2  + 7z)(5y2-7z)= 25y4-49z2 ;
    观察与猜想:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    22
    1.仔细观察以上算式及其运算结果,你发现了什
    么规律?
    2.你能将发现的运算规律用式子表示出来吗?
(3.试验证你的猜想。                                                                              a+                                                                                                                                                                      b)(                                                                                                                                                                                                                                                                               a                                                                                     -                                                                                   b)                                                                                                                                                 =                                                                                  a                                                                                                                                                         -                                                                                  b
   理解平方差公式的几何意义
     如图,在边长为a的正方形的一角剪去一个边长为
 b的小正方形(a>b),你能表示剩余部分的面积吗?将
 剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形,你能表示出                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 22
 它的面积吗?由此你发现了什么?                a
(a                                                                                  a+                                                                                                                                                                      b)(                                                                                                                                                                                                                                                                               a                                                                                     -                                                                                   b)                                                                                                                                                =                                                                                   a                                                                                                                                                         -                                                                                  b
                                       b
                                     b
     反思:利用图形面积验证公式
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   22


   理解平方差公式
(平方差公式:                                                                                       a+                                                                                                                                                                      b)(                                                                                                                                                                                                                                                                              a                                                                                      -                                                                                   b)                                                                                                                                                =                                                                                   a                                                                                                                                                         -                                                                                  b
     两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数
     的平方差.

    公式的结构特征:
    左边:两个二项式相乘,并且这两个二项式中一
    项完全相同,另一项互为相反数。
    右边:相同项的平方减去相反项的平方.
运用平方差公式
1.下列各式能用平方差公式计算的是(               )
A. (2a-3b)(3a+2b)      B.(0.5m-n)(-n+0.5m)
C. (4ab-7x)(-4ab-7x)  D.(2x2-3y)(3y-2x2)
2.下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改
  正?
 (1) (a-5b)(-a+5b)=a2-25b2
 (2) (2x+3a)(2x-3a)=4x2-3a2
 (3)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
运用平方差公式
3.利用平方差公式计算:
(1)(a+3b)(a- 3b);(2)(3+5/7m)(-3+5/7m);
(3)(-2x2-y)(-2x2+y);
 (4)(21-1/3)×(20-2/3);
 (5)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
 总结经验

    通过上面的练习,你认为运用平方差公式时应
注意什么?
(1)在运用平方差公式之前,一定要看是否具备公式
     的结构特征,
(2)一定要找准公式中的a和b;
(3)注意体现整体时加括号。
拓展提升
1.已知2x+y=-5,且4x2-y2=20,则2x-y的值
是
2.已知m+3n=6  且 m-3n=-7 ,则m2-9n2
的值为
3.(2a-b+3c)2-(2a+b-3c)2

4.(x+2y+3z)(x+2y-3z)

反思:应用公式可以整体求值;公式的逆用;
公式中的a、b可以表示单项式,也可以表示多
项式。
挑战极限

计算:
 1.  20152 - 2014×2016.
 2.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
3. (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
  变式训练:
  (3+1)(32+1)(44+1)(48+1)(416+1)(432+1)+1
科学探究
给出下列算式: 
 32-12=8 =8×1;   52-32=16=8×2;
 72-52=24=8×3;   92-72=32=8×4.
(1)观察上面一系列式子,你能发现什么规律?
    连续两个奇数的平方差是8的倍数.

(2)用含n的式子表示出来          (n为正整数)
(3)计算    20052-20032=     此时n =        .
课堂小结

 (1)本节课学习了什么?
 (2)平方差公式的结构特征是什么?
 (3)应用平方差公式时要注意什么?
Thank you!
 科学探究
8.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=           ,
(1-x)(1+x+x2)=      ,
(1-x)(1+x+x2+x3)=           ,
(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)
=   ________     ;(n为正整数)
 (2)根据你的猜想计算:
 ①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________;
 ②2+22+23+…+2n=________(n为正整数);
 ③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=________;
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)=________a2-b2 ;
②(a-b)(a2+ab+b2)=________a3-b3 ;
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________a4-b4 .

3.对于任意的正整数n,试说明
式子(3n+1)(3n-1)-(3+n)(3-n)的值是10的倍数。
课堂小结

                        两个数的和与这两个数的差的
          内容
                        积,等于这两个数的平方差
平方差
公式
                       1.符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2

                       2.紧紧抓住   “一同一反”这
                       一特征,在应用时,只有两
          注意
                       个二项式的积才有可能应用
                       平方差公式;对于不能直接
                       应用公式的,可能要经过变
                       形才可以应用
谢谢指导!
回顾与思考

  如何进行多项式与多项式的乘法运算?

(a+b)(m+n)     =am   +an  +bm
        14.2乘法公式
            ------平方差公式


新课导入      出示任务       展示        学习         达标
出示目标      自主学习       反馈        小结         检测

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