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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆教案

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初中数学审核员

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                   24.1 圆(3)

   教学内容
   本节课学习     24.1.3 弧、弦、圆心角
    教学目标
    知识技能
      通过探索理解并掌握圆的旋转不变性与圆心角、弧、
   弦之间相等关系定理.
    数学思考
       利用圆的旋转不变性,研究圆心角、弧、弦之间相
   等关系定理。
    解决问题
      通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发
    展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。
    情感态度
       培养学生积极探索数学问题的态度及方法.
   重难点、关键
    重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解
决相关问题.
    难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或
等圆”条件的理解及定理的证明.  
    关键:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,
    所对弦也相等及其两个推论和它们的应用。
    教学准备
    教师准备:制作课件,精选习题
    学生准备:复习有关知识,预习本节课内容
    教学过程
   一、   情境引入
   【探究】
   按下面的步骤做一做:
   (1)在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O               和⊙O′,沿
   圆周分别将两圆剪下;
   (2)在⊙O  和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB            和
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∠A′O′B′,如图          1  所示,圆心固定.
注意:在画∠AOB               与∠A′O′B′时,要使               OB  相对于       OA   的
方向与       O′B′相对于        O′A′的方向一致,否则当                   OA   与
OA′重合时,OB            与   O′B′不能重合.


(3)将其中的一个圆旋转一个角度.使得                                 OA  与   O′A′重
合.
通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相
交流一下,说一说你的理由.
【活动方略】
学生动手操作,观察操作结果;
教师在学生归纳的过程中注意学生语言的教师叙述步骤,
同学们一起动手操作. 
由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′;由两圆的半径相等,
可以得到∠OAB=∠OBA=∠O′A′B′=∠O′B′A′;由
△AOB≌△A′O′B′,可得到                   AB=A′B′;由旋转法可知
 AAB  AA' B ' .
在学生分析完毕后,教师指出在上述做一做的过程中发
现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度,使半径                      OA 与  O′A′重合时,由于
∠AOB=∠A′O′B′.这样便得到半径           OB 与 O′B′重合.因为点      A 和点  A′重合,点    B 和
              A     A                               A    A
点 B′重合,所以     AB  和 A' B ' 重合,弦  AB 与弦  A′B′重合,即    AB  A' B ' ,AB=A′B′.
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理:
在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
根据对上述定理的理解,你能证明下列命题是正确的吗?
(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;

(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优(劣)
弧相等.
【设计意图】
创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容。
二、巩固新知
                     A    A
例 1.如图,在⊙O       中,  AB  AC  ,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠AOC=∠BOC.
                      


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          A    A
证明:∵      AB   AC                                    A
∴  AB=AC,△ABC   是等腰三角形.
又  ∠ACB=60°,
∴  △ABC  是等边三角形,AB=BC=CA.                             O

∴  ∠AOB=∠AOC=∠BOC.                             B              C


【活动方略】
                                             A    A
学生独立思考,根据对三量定理的理解加以分析.由                      AB   AC ,得到   AB  AC  ,
△ABC  是等腰三角形,由∠ACB=60°,得到△ABC                是等边三角形,AB=AC=BC,所
以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC.
教师让学生独立解决,在必要时教师可以进行适当的启发和提醒,最后学生交流自己
的做法
【设计意图】
巩固新知,进一步理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
 例 2:如图,在⊙O       中,AB、CD     是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为                EF.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么           OE 与  OF 的大小有什么关系?为什么?
(2)如果    OE=OF,那么     AAB 与 CAD 的大小有什么关系?AB        与  CD 的大小有什么关系?
为什么?∠AOB       与∠COD   呢?
                                       C
                              A
                                          F
                             E
                                    O        D
                           B

分析:(1)要说明        OE=OF,只要在直角三角形          AOE  和直角三角形      COF 中说明
AE=CF,即说明     AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可.
(2)∵OE=OF,∴在       Rt△AOE   和 Rt△COF  中,
又有   AO=CO  是半径,∴Rt△AOE≌Rt△COF,
∴AE=CF,∴AB=CD,又可运用上面的定理得到                 AAB = CAD
解:(1)如果∠AOB=∠COD,那么             OE=OF
理由是:∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB,OF⊥CD
      1          1
∴AE=    AB,CF=    CD
      2          2
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
(2)如果    OE=OF,那么     AB=CD,   AAB = CAD ,∠AOB=∠COD
理由是:
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    ∵OA=OC,OE=OF
    ∴Rt△OAE≌Rt△OCF
    ∴AE=CF
    又∵OE⊥AB,OF⊥CD
          1          1
    ∴AE=    AB,CF=    CD
          2          2
    ∴AB=2AE,CD=2CF
    ∴AB=CD
    ∴ AAB = CAD ,∠AOB=∠COD
    【活动方略】
        学生解答,教师巡视、指导。
    【设计意图】
        通过解题,让学生进一步拓展圆心角、弧、弦之间相等关系定理
    三、反馈练习
    课本   P89  练习  1,2 
    补充练习:
     如图,AB     是⊙O  的直径,BC、CD、DA        是⊙O   的弦,且    BC=CD=DA,求
    ∠BOD  的度数.


    【活动方略】
    学生独立思考、独立解题.
    教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过
程)
    【设计意图】
    检查学生对所学知识的掌握情况.
 
    四、拓展提高
    例 3.如图,MN      是⊙O   的直径,弦     AB、CD相交于      MN上的一点      P,
∠APM=∠CPM.
    (1)由以上条件,你认为           AB 和  CD 大小关系是什么,请说明理由.
    (2)若交点     P 在⊙O   的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,
    请说明理由.
                     M
                 A       C                                 A
                      P                                E
                        E
                   F                               B              N
                      O                            M
             D                B             P
                                                    D     F
                      N                                        C
                                           
                
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  分析:(1)要说明        AB=CD,只要证明       AB、CD   所对的圆心角相等,只要说明它们
  的一半相等.
  上述结论仍然成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的.
  解:(1)AB=CD
  理由:过    O 作  OE、OF  分别垂直于     AB、CD,垂足分别为         E、F
  ∵∠APM=∠CPM
  ∴∠1=∠2
  OE=OF
  连结  OD、OB   且  OB=OD
  ∴Rt△OFD≌Rt△OEB
  ∴DF=BE
  根据垂径定理可得:AB=CD
  (2)作   OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为          E、F
  ∵∠APM=∠CPN     且  OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°
  ∴Rt△OPE≌Rt△OPF
  ∴OE=OF
  连接  OA、OB、OC、OD
  易证  Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF
  ∴∠1+∠2=∠3+∠4
  ∴AB=CD
 【活动方略】
  教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论.
  学生活动:合作交流,讨论解答。
  【设计意图】
  让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂
  径定理的基本结构图,进而发展学生的思维.

  五、小结作业
  1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发?
  本节课应掌握:
  (1)圆心角概念.
  (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它
   们所对应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用.
  2.作业:      习题  24.1 第 2、3、10  题
  【活动方略】
  教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程.
  学生独立完成作业,教师批改、总结.
  【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识。
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