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华师大版数学九年级下册第二十八章第三节与圆有关的计算教案

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初中数学审核员

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                  《与圆有关的计算》教案

教学目标

1.了解扇形的概念,理解         n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算

公式并熟练掌握它们的应用.

2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索                 n°的圆心角所对的弧长

   n R2              n R2
L= 180 和扇形面积     S 扇=  360 的计算公式,并应用这些公式解决一
些题目.

教学重难点

                               n R              n R2

1.重点:n°的圆心角所对的弧长             L= 180 ,扇形面积    S 扇= 360 及其
它们的应用.

2.难点:两个公式的应用.

教学过程

一、复习引入

(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题.

1.圆的周长公式是什么?

2.圆的面积公式是什么?

3.什么叫弧长?

老师点评:(1)圆的周长           C=2 R

(2)圆的面积      S 图= R2

(3)弧长就是圆的一部分.

二、探索新知
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(小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为                     R,则:

1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.

2.1°的圆心角所对的弧长是_______.

3.2°的圆心角所对的弧长是_______.

4.4°的圆心角所对的弧长是_______.

……

5.n°的圆心角所对的弧长是_______.

(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:

                      n R
n°的圆心角所对的弧长为          180 .

1.一滑轮装置如图,滑轮的半径            R=10cm,当重物上升       15.7cm 时,

问滑轮的一条半径        OA 绕轴心    O 按逆时针方向旋转的角度?(假设

绳索与滑轮之间没有滑动,π            取 3.14)


          
解:设半径     OA 绕轴心    O 按逆时针方向旋转        n°,则

n R
   =15.7
180
解方程,得

n≈90.

答:滑轮按逆时针方向旋转的角度约为                 90°.

2.古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简
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单方法.如图,点        S 和点  A 分别表示埃及的赛伊尼和亚历!大两地,

亚历山大在赛伊尼的北方,两地的经度大致相同,两地的实际距离

为 5000 希腊里(1    希腊里≈158.5m).当太阳光线在赛伊尼直射时,

同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为                       α,实际测得

α 是 7.2°,由此估算出了地球的周长,你能进行计算吗?


解:因为太阳光线可看作平行的,所以圆心角∠AOS=α=7.2°.

设地球的周长(即⊙O         的周长)为      C,则

 C  360o
   =  o =50,
»AS 7.2

C  50»AS  505000

=250000(希腊里)

≈39625(km)

答:地球的周长约为         39625km.

我们知道,地球周长约为           40000m.可见,2000     前,埃拉托塞尼的

估算结果已经相当精确了.

问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上

拴着一条长     5m 的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:
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(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?

(2)如果这头牛只能绕柱子转过              n°角,那么它的最大活动区域有

多大?

学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以

A(柱子)为圆心,5m         为半径的圆的面积.

(2)如果这头牛只能绕柱子转过              n°角,那么它的最大活动区域应

该是  n°圆心角的两个半径的         n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分

的图形,如图:


          5
       n
 www.czsx.com.c
像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形

叫做扇形.

(小黑板),请同学们结合圆心面积                S= R2 的公式,独立完成下题:


1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.

2.设圆的半径为       R,1°的圆心角所对的扇形面积            S 扇形=_______.

3.设圆的半径为       R,2°的圆心角所对的扇形面积            S 扇形=_______.

4.设圆的半径为       R,5°的圆心角所对的扇形面积            S 扇形=_______.

……
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5.设圆半径为      R,n°的圆心角所对的扇形面积            S 扇形=_______.

老师检察学生练习情况并点评

1.360

           1
2.S 扇形=   360  R2

           2
3.S 扇形=   360  R2

          5 R2
4.S 扇形=    360

          n R2
5.S 扇形=    360

                                             n R2

因此:在半径为       R 的圆中,圆心角       n°的扇形:S    扇形=  360 .
圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边

旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.

圆锥用表示它的轴的字母表示.


如图,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个

扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的

长.
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3.如图,圆锥形的烟囱帽,它的底面直径为                 80cm,母线为

50cm.在一块大铁皮上剪裁时,如何画出这个烟囱帽的侧面展开图?

求出该侧面展开图的面积.


解:烟囱帽的侧面展开图是扇形,如图,设该扇形的面积为                         S.

在铁皮上画一个扇形,除需知道扇形半径                 l 外,还需知道扇形圆心

角 α.由刚学过的弧长计算方法,可得:

     
2 r  g2l
    360o
        r      40
=360  =360  =288
        l      50

         288o
S=    gl 2 = 502 =2000 (cm2 )
  360o    360o

三、归纳小结(学生小结,老师点评)

本节课应掌握:

                         n R
1.n°的圆心角所对的弧长          L= 180 .

2.扇形的概念.

                               n R2

3.圆心角为     n°的扇形面积是      S 扇形= 360 .
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4.运用以上内容,解决具体问题.

生小结,老师点评)

本节课应掌握:

                         n R
1.n°的圆心角所对的弧长          L= 180 .

2.扇形的概念.

                               n R2

3.圆心角为     n°的扇形面积是      S 扇形= 360 .
4.运用以上内容,解决具体问题.

  5 R2
= 360

          n R2
5.S 扇形=    360

                                             n R2

因此:在半径为       R 的圆中,圆心角       n°的扇形:S    扇形=  360 .
圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边

旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.

圆锥用表示它的轴的字母表示.


如图,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个

扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的

长.
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3.如图,圆锥形的烟囱帽,它的底面直径为                 80cm,母线为

50cm.在一块大铁皮上剪裁时,如何画出这个烟囱帽的侧面展开图?

求出该侧面展开图的面积.


解:烟囱帽的侧面展开图是扇形,如图,设该扇形的面积为                         S.

在铁皮上画一个扇形,除需知道扇形半径                 l 外,还需知道扇形圆心

角 α.由刚学过的弧长计算方法,可得:

     
2 r  g2l
    360o
        r      40
=360  =360  =288
        l      50

         288o
S=    gl 2 = 502 =2000 (cm2 )
  360o    360o

三、归纳小结(学生小结,老师点评)

本节课应掌握:

                         n R
1.n°的圆心角所对的弧长          L= 180 .

2.扇形的概念.

                               n R2

3.圆心角为     n°的扇形面积是      S 扇形= 360 .
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