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青岛版数学九年级下册第五章第五节二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件

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zxxkw 

5.4二次函数y=a(x-h)2
   的图象与性质
zxxkw 复习二次函数y=ax2的性质
  y=ax2      a>0           a<0


   图象                     O
              O

           开口向上           开口向下
   开口
           |a|越大,开口越小
  对称性     关于y轴对称
          顶点坐标是原点(0,0)
   顶点
          顶点是最低点       顶点是最高点
        在对称轴左侧递减       在对称轴左侧递增
  增减性   在对称轴右侧递增       在对称轴右侧递减
zxxkw 复习二次函数y=ax2+k的性质

     y=ax2+k                    a>0                           a<0

        图象
                     k>0              k<0             k>0             k<0
                          开口向上                        开口向下
        开口
                         a的绝对值越大,开口越小
      对称性                关于y轴       (x=o)对称
                                        (0,k)
        顶点
                         顶点是最低点                       顶点是最高点

                   在对称轴左侧,y随x的增大而减小               在对称轴左侧,y随x的增大而增大
      增减性          在对称轴右侧,y随x的增大而增大               在对称轴右侧,y随x的增大而减小
       试一试


1. y =  -2x 2 +5 的图象可由抛物线  y =  -2x 2 经过
 沿y轴向上平移5个单位       得到的. 它的对称轴是        y轴  , 
 顶点坐标是(0,5),在x<0时.y值随x的增大而          增大;
 与x轴有   2个 交点。
2.函数y=x2-1的图象,可由y=x2的图象向      ___下
 平移  1 个单位.

3.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折,得到的图
 象的函数解析式为       y=-3x2-2 .

4.已知(m,n)在y=ax2+a的图象上,(-     m,n )
 _____在 (在,不在)y=ax2+a的图象上.

5. 若y=x2+(2k-1)的顶点位于x轴上方,则
 k_______> 0.5
思维与拓展

 1.  一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的
大致图象是(     B )
                      y
  A.  y          B.

             x
       0              0     x

                       y
  C. y           D.

       0    x          0     x
思维与拓展

     函数      2 与    a (   在同一坐标系中的大致图象
   2.    y=ax +a y=  x  a≠0)
   是(    )D
          y                  y
  A.                   B.
                                     x
                  x
           0
                              0

         y
  C.                   D.      y
                                      x
                    x         0
            0
               达标检测
一:填空
1.抛物线y=-3x2+5的开口向________下      ,对称轴是
  _______y轴 ,顶点坐标是________(0,5) ,顶点是最_____高
  点,所以函数有最________大     值是_____5 .

2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是(_________0,-1),

3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线
  的函数关系式为_______y=x2+3.

4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____下       平移
  ______3 个单位得到的.
zxxkw 

  1、在直角坐标系中,二次函数y=3x2+2
  的图象大致是下图中的zxxkw  (     A    )

     y      y           y       y
             0  x               0 x
                       0  x
     0  x
    A        B         C       D
2、函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之
处是(  C  )
A.对称轴                B.开口方向
C.顶点和抛物线的位置          D.形状
3、按下列要求求出抛物线的解析式:
(1)抛物线y=ax2+c形状与y=-2x2+3的图象形
状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(0,1),
求抛物线的解析式。


 (2)抛物线y=ax2+c对称轴是y轴,顶点坐
 标是(0,-3),且经过(1,2),求抛物
 线的解析式.
 zxxkw 


             2
4.已知抛物线y=2x   –1上有两点(x1,y1  ) ,(x1,y1 )

且x1<x2<0,则y1  > y2(填“<”或“>”)
已知函数            y=(m+1)x        m2+2m是关于             x   的二次函数。求:

    (1)满足条件的                     m    的值;
思维与拓展(2)m        为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,
             这时当         x   为何值时,y                随    x   的增大而增大?
    (3)m         为何值时,函数有最大值?最大值是多少?
             这时当         x   为何值时,y                随    x   的增大而减小?
 zxxkw 

  画出二次函数                        的图像, 并说出它们的开
                   1     2
                y   (x 1) 1   2
                   2      y   (x 1)
口方向、对称轴和顶点.                  2         解:先列表     描点
    x      … -4    -3  -2   -1  0    1  2   3   4 …


   1   2   …                       -2  -4.5
y   (x 1)  -4.5 -2  -0.5  0 -0.5         …
   2                                              …
   1          …
y   (x 1)2          -4.5 -2 -0.5 0  -0.5 -2 -4.5
   2                                    y
                                      1
(1)抛物线
            1   2     1    2              x=1
         y   (x 1) y   (x 1)
            2         2       -5 -4 -3 -2 -1 o1 2 3 4 5 x
  的开口方向、对称轴、顶点各是                      -1
                                      -2

                                                 1
  什么?                                 -3      y   (x 1)2
                                      -4         2
(2)抛物线
               1     2                -5
           y   (x 1)
               2                      -6

                   1 2                -7
      1     2   y   x
  y   (x 1)     2
      2                               -8
   有什么关系?                             -9
                                     -10
                                              1
                                x=-1       y   (x 1)2
                                              2
zxxkw 


      抛物线                         1                             1               与抛物线                             1
                       y           (x   1)2、y                 (x   1)2                            y         x2
                                  2                             2                                                2
       有什么关系?
                       向左平移
            1                                        1
     y       x2                          y           (x  1)2
            2           1个单位                         2

                                                                                                 y
                       向右平移                                                                  1
            1                                        1
     y       x2                          y           (x  1)2
            2           1个单位                         2                   -5   -4  -3  -2  -1    o1     2    3   4   5       x
                                                                                            -1
                                                                                            -2

                                                                                                                   1
     想一想:(1)抛物线能够平                                                                          -3             y       (x  1)2
                                                                                                                   2
     移的理由是什么?                                                                               -4
                                                                                            -5
     (2)为什么是左右平移而非上                                                                          -6
     下平移?                                                                                   -7
     (3)平移的单位与什么有关?                                                                         -8
                                                                                            -9
     (     )何时向左平移?何时向右
         4                                                                                -10
                                                             1                                                  1   2
                                                     y        (x  1)2                                 y      x
     平移?                                                     2                                                  2
                                                                                    6


                                                                                    5


                                                                                    4


                                                                                    3


  zxxkw 
      在同一坐标系中作出了下列二次函数的图像:                                                          2

                 1           1
               y  (x  2)2 y  (x  2)2
       1
      y  x 2
       2         2           2


                                      1 2                                           1
                                     y  x
  观察三条抛物线的                            2
                                          1
                                         y  x  22
                                          2
                   1
                  y  x  22
  相互关系,并分别指        2
  出它们的开口方向,
  对称轴及顶点.
-8        -6                       -4                        -2 B                                               2                        4                        6
            向左平移            向右平移
     1                                1
   y  (x  2)2                     y  (x  2)2
                     1                                                              -1
     2      2个单位    y  x 2  2个单位     2
                      2
            向左平移            向右平移
  顶点(-2,0)          顶点(0,0)         顶点(2,0)
            2个单位             2个单位
                                                                                    -2
           向左平移对称轴:y轴       向右平移
  直线x=-2                            直线x=2
            2个单位即直线: x=0     2个单位

                                                                                    -3


                                                                                    -4
          当向右平移h时                y=a(x-h)2
  y=ax2
          当向左平移h时                 y=a(x+h)2
                       y=a(x-h)2的图象
                       a>0时,开口_____,向上  最 ____低  点是顶点;     


               1    2
   1    2   yx  1
yx  1     2
   2                   a<0时,开口_____,向下  最 ____高  点是顶点; 
-4   -2       2    4
                       对称轴是    直线x=h  ,  顶点坐标
        -2
                       是 (h,0) 。在对称轴左侧(x0,开口都向上.
 物线y=3x2整体沿x轴
 向右平移了1 个单位
                                   顶点坐标
                                   是点(1,0).
                想一想,在同一坐标系中作二次函
                数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
zxxkw 

    取哪些值时        函数                                       2
(2)x             ,                                y  3 x 1
                                    2                   
                                y  3x
y=3(x-1)2的值随x值的增
大而增大?x取哪些值时,
函数y=3(x-1)2的值随x的
增大而减少?

   在对称轴(直线:x=1)左侧
   (即x<1时),函数y=3(x-1)2
   的值随x的增大而减少,.        顶点是最低点,函数
                       有最小值.当x=1时,
                          最小值是0..
 二次函数y=3(x-1)2
                                        在对称轴(直线:x=1)右侧
 与    2的增减性类似
  y=3x           .                      (即x>1时),函数y=3(x-1)2
                                        的值随x的增大而增大,.

           想一想,在同一坐标系中作出二次函数
           y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
练习跟踪
1.函数y=-2x2+4的图象开口向____下     ,对称轴是_____y轴  ,顶点坐
标是_______(0,4) ,当x=____0 时,函数有最____大 值为____4 ;当x<0
时,y随x的增大而_______增大    ,当x>0时,    y随x的增大_______减小 。

2.函数y =-2(x+1)2的图象开口向____下    ,对称轴是________直线x=-1 ,
顶点坐标是_______(-1,0) ,当x=____-1 时,函数有最____大 值为____0 ;
当x_____< -1 时,y随x的增大而增大,当x_____> -1 时, y随x的增大
而减小.
3.抛物线y=3x2-4,y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_______形状  相同,
_______位置 不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向____下    平移____4
单位而得到;抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____右         平移____1
单位而得到.
 1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x-h)2和抛物线y=ax2的
 形状完全相同,开口方向一致;
 当a>0时, 开口向上;    当a<0时,开口向下.
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移
|k|得到.  (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
  抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平
移|h|得到.     (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
 3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
  (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
  (2)对称轴是y轴;       (3)顶点是(0,k).
  4.抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
  (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
  (2)对称轴是x=h;      (3)顶点是(h,0).
zxxkw 
              二次函数y=a(x-h)2的性质

抛物线          y=a(x-h)2 (a>0)      y=a(x-h)2 (a<0)

 图像
          h>0           h<0       h>0       h<0
顶点坐标    (h,0)   顶点是最低点        (h,0)   顶点是最高点
 对称轴          直线x=h                 直线x=h
  位置    在x轴的上方(除顶点外)           在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向            向上                    向下
         在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.  在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 
 增减性     在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
  最值      当x=h时,最小值为0.          当x=h时,最大值为0.
开口大小         越大,开口越小.            越小,开口越大.
           a                   a
  y = ax2 + k        y = a(x – h )2

上下平移,上加下减          左右平移,左加右减

      上下平移     y = ax2 左右平移
zxxkw 做一做:
 抛物线       开口方向    对称轴     顶点坐标
 y =2(x+3)2 向上    直线x=-3  ( -3 , 0 )
 y = -3(x-1)2 向下  直线x=1   ( 1 , 0 )
 y = -4(x-3)2 向下  直线x=3   ( 3, 0)
填空:
1、由抛物线y=2x²向    左   平移  1 个单位可得
到y= 2(x+1)2
2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线
 y=-5x2 向 右   平移  4 个单位而得到的。它
的顶点坐标为(4,0);对称轴为        直线x=4.
zxxkw 
 1.函数y=-2(x+3)2的图象的对称轴是                  ,
 顶点坐标是            ,当x=      时,y有最        值
 为      。
2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位,再与x轴
对称后,所形成的二次函数的解析式为                         。
3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-3,0)它是
由抛物线y=-4x2平移得到的,则a=                  ,
h=         。
4、把抛物线y=(x+1)2向         平移       个 单位
后,得到抛物线y=(x-3)2
 5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位,得到抛
 物线y=(x-1)2,则m=       ,n=     .
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