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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆周角和圆心角的关系课件

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初中数学审核员

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温  故  知  新

1、请说说我们是如何给
圆心角下定义的?
 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中,若弧AB的度数是85°,
则∠AOB是多少度?为什么?
 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
                     探    究

问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察
得到的∠ACB是个什么角呢?它与圆心角∠AOB有什么
关系呢?
                      C

                      O.

                 A         B
3.3 圆周角和圆心角的关系
       学习目标:

• 1、理解圆周角的概念及其相关
 性质。
• 2、掌握圆周角与圆心角的关系。
                     探    究

问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察
得到的∠ACB有什么特征?

                      C

                      O.

                 A         B

    顶点在圆上
                 这样的角叫圆周角。
两边都与圆相交
           
探索:判断下列各图中,哪些是圆周角,为什么?
                          O

                   B              C

画一画:在⊙O中画出劣弧BC所对的圆心角和圆周角∠BAC

想一想:
    1.劣弧BC所对的圆心角有几个?
     劣弧BC所对的圆周角有几个?
    2圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有哪几种?
                                    A
                                                                  A

  圆心与圆周角的位置关系A               :
                               O                   O
             O
                      B                                           C
   B                    C                   CB

点O在∠BAC的一边上          点O在∠BAC内部         点O在∠BAC外部
1.首先考虑一种特殊情况:
 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周
 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.

∵∠AOC是△ABO的外角,                A
∴∠AOC=∠B+∠A.                       C

∵OA=OB,                         ●O
∴∠A=∠B.
                            B
∴∠AOC=2∠B.

即  ∠ABC =1 ∠AOC.
         2
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角
 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
  老师提示:能否转化为1的情况?

过点B作直径BD.由1可得:               A  D
                                  C


∠ABD =  ∠AOD,∠CBD =            ●O
      1            1
      2
∠COD,              2

∴ ∠ABC = 1  ∠AOC.             B
         2
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角
  ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
 老师提示:能否也转化为1的情况?
                              A
                                   C


                                ●O
                           B
如图,连接BO并延长,与圆相交于点D。(此时我们得
到与图①同样的情形)
                           A               C
                                 C   A
                                  D

                                         O
                              O

                        B             B
                                         ①
如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同
样的情形)

                              A                  C
                                     C    A
                                       D

                                              O
                                  O

                           B               B
                                              ①
如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同样的情形)

∵ ∠AOD是△ABO的外角,                    A
                                            C
                。
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO                                D
∵ OA=OB,
                                        O
∴ ∠A=∠ABO。
                                B
∴ ∠AOD=2∠ABD,
∴ ∠ABD=  1 ∠AOD。
         2
              1
同理  ,       ∠CBD=      ∠COD。
              2
                 1        1
∴ ∠ABD-∠CBD=     ∠AOD-    ∠COD
= 1 (∠AOD-∠COD)2  。       2
 2
∴ ∠ABC=   1 ∠AOC
          2
          圆周角定理
圆周角定理:
    一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
 一半.     即 ∠ABC =   ∠AOC.
                  1
    A           A 2         A
         C            C          C


                  ●
      ●O           O          ●O
                         B

  B
                 B
• 思考:圆心角的度数等于它所对的弧的度
 数,那么圆周角的度数和它所对的弧的度
 数又是什么关系呢?
• 推论:圆周角的度数等于它所对的弧的度
 数的一半。
下面的说法正确吗?说说你的看法


  1、圆周角的度数是圆心角的一半             ( ×   )

  2、相等的圆周角所对的弧也相等             (  ×   )
学以致用你能行

• 1.如图,在⊙O中,若
 ∠BOC=50°,∠A=     B
                       C
•    25°。
                    ●O
                A
2.如图,∠A是圆O的圆周角,
 ∠A=46°,则∠OBC=    44°。
                                A


3.如图,∠B=30°,∠C=20°     ,则
∠A=     °                      O
                    B                       C
 4、如图,△ABC的顶点A、B、C
 都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2,
                                      C
 则⊙O的半径是          2    。
                                     O
解:连接OA、OB
                                 A
  ∵∠C=30 °  ,∴∠AOB=60 °               B
 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形
  ∴OA=OB=AB=2,即半径为2。
    O   C  5.若OA//BC, ∠C= 25°, 则

    D      ∠ADB=_______
A
    B
  变式:
     6.若∠C= 25°,点P在AB间滑动则
  变式    ∠AOP的取值范围______
  :
    C


    O

A     B
    P
 7.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠            AOB=2∠  BOC,
∠ ACB与∠   BAC的大小有什么关系?为什么?
   答:∠ACB=2∠BAC.理由是:
                                             O
   ∵∠AOB=2∠ACB
                                                   C
                                       A
   ∠BOC=2∠BAC                                    B
   ∠AOB=2∠BOC
   ∴∠ACB=2∠BAC
拓展延伸

      圆内的一条弦将圆分成1:2两部分,
    求这条弦所对的圆周角的度数。
               M
               60°        O
            A                               B

                120°
                N
                     A


 结论:圆内接四边形对角互补O                      D
             B

                        C
   如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O
上,你能找出∠A和∠C、         ∠B和∠D的关系
吗?
                   A


                      O            D
           B

                      C

                          °
如图,∠BAD=70°,则∠BCD=_______110
                  O
            M

          A                C
                  B

如图,∠AOC=100°,∠ABC=_______130°
已知⊙O中弦AB等于半径,弦AB所
对的圆心角的度数为          60,°圆周角
的度数为      30 °或 150。°


     O


  A      B
 自学检测:                D
 求圆中角     的度数
1.       X          C               O
                       120°

                    O                     B
       O     C       .      A
        .            X
       70° x            B
                 A
   A                            C
           B
2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___130。°
3、 如图,在直径为AB的半圆中,O为
圆心,C、D为半圆上的两点,
∠COD=500,则∠CAD=_________25º
  自学检测:
4、判断
(1)、顶点在圆上的角叫圆周角。×
(2)、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。√
                                        .
5、半径为R的圆中,有一弦分圆                         O
周成1:4两部分,则弦所对的圆
                                 D
周角的度数是     36º或144°   。

6 、如图,已知圆心角                     O
∠AOB=100°,求圆周角                       B
                           A

∠ACB=_____130º 、∠ADB=______50º C
。
            内容小结:
(1)一个概念(圆周角)

(2)一个定理:圆周角定理

(3)二个推论
    1.圆周角的度数等于它所对的弧度          数的一半。
    2.圆内接四边形对角互补。
(4)两种思想方法:1. 由特殊到一般
                 2. 分类讨论
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