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人教版(新)数学八年级上册第十二章第二节三角形全等的判时)

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初中数学审核员

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八年级数学·上    新课标 [人]

     第十二章       全等三角形

  12.2  全等三角形的判定(2)


   学习新知              检测反馈
                                             学 习 新 
                                                      知
 回顾思考

(1)怎样的两个三角形是
全等三角形?全等三角形                           (2)如果两个三角形有两条边和一
的性质是什么?三角形全                个角分别对应相等,那么这两个三角形一定
等的判定方法“SSS”                全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹
的内容是什么?                    在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是
                           角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如
                           图所示.
  一、“边角边”定理的探究
 1.先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,
 A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)

解:如图所示,(1)画∠DA'E=∠A;
(2)在射线A'D上截取
A'B'=AB,在射线A'E上截取
A'C'=AC;
(3)连接B'C'.
        结论
    两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全
等.简写成“边角边”或“SAS”.
    也就是说,三角形的两条边的长度和它们的
夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小
就确定了.

  用符号语言表达为:               [易错提示
                         ]“SAS”中的
 在△   与△ ´ ´ ´中,
    ABC  A B C           “A”必须是两个
                         “S”所夹的角.
∴△ABC≌△A´B´C´(SAS)
                            小问题小问题

      如果把“两边及其夹角分别相等”改为“
两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边
的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?


       “已知两边及其中一边的对角分别相等
  的两个三角形全等”不一定成立.
  例2  如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距
离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可
以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD 
=CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,那
么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?
            提醒提醒

      把实际问题转化为数学问题,观察图形中
有没有全等的三角形.

 解析:如果能证明△ABC≌△DEC就可以
 得出AB=DE.由题意可知△ABC和
 △DEC具备“边角边”的条件.
  证明过程


   证明:在△ABC和△DEC中,

         


     ∴△ABC≌△DEC(SAS).
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
【小结】

               从上例可以看出:因为全等
三角形的对应边相等、对应角相等,
所以证明线段相等或角相等时,可以
通过证明它们是全等三角形的对应
边或对应角来解决.
       两边及其夹角分别相等的
两个三角形全等,简写成“边角
边”或“SAS”.
          注意注意

        三角形全等的条件中的相等的
角必须是夹角,否则这两个三角形
不一定全等,即有两边和其中一边
的对角分别相等的两个三角形不一
定全等.
                                       检测反馈
1.如图所示,已知AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全
等三角形有( C  )
A.1对    B.2对     C.3对    D.4对


 解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,又∵AB=CD,AE=FD,
 ∴△ABE≌△DCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,
 ∴∠BEF=∠CFE,又∵EF=FE,∴△BEF≌△CFE(SAS),
 ∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即
 AF=DE,∴△ABF≌△DCE(SSS),∴全等三角形共有三对.
 故选C.
2.如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=DE,
∠B=∠DEF,补充下列哪一个条件后,能应用
“SAS”判定△ABC≌△ADEF      (  )
A.BE=CF  B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF  D.∠A=∠D


    解析:两边和它们的夹角分别相等的
    两个三角形全等(SAS).∠B的两边是
    AB,BC,∠DEF的两边是DE,EF,而
    BC=BE+CE,EF=CE+CF,要使BC=EF,
    则BE=CF.故选A.
3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,需
补充的条件是          (  C )
A.∠B=∠C    B.∠D=∠E
C.∠1=∠2    D.∠CAD=∠DAC


   解析:已知AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的
   夹角,∴A不可以;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可
   以;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以为
   补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,D不
   可以.故选C.
   4.看图填空.
   如图所示,已知BC∥EF,AD=BE,BC=EF.
   试说明△ABC≌△DEF.
   解:∵AD=BE,
   ∴    AD+DB          =BE+DB, 
   即    AB =    DE  . 
   ∵BC∥EF,
   ∴∠    ABC =∠    DEF (两直线平行,同位角相等). 
   在△ABC和△DEF中,    AB=DE,∠  ABC=          ∠  DEF      , BC=EF             
   , 
    ∴△ABC≌△DEF(SAS).
解析:由AD=BE,利用等式性质可得
AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质可得
∠ABC=∠DEF,再加上BC=EF,利用“SAS”
说明△ABC≌△DEF.
布置作业
     必做题
            教材第39页练习第1,2题.

     选做题
            教材第43页习题12.2第2,3题.
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