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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第一节圆教案

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初中数学审核员

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                     24.1 圆(2)

   教学内容
   本节课学习     24.1.2 垂直于圆的直径
    教学目标
    知识技能
      1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的
   性质;
      2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.
    数学思考
       在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生
   感受圆的对称性,体会圆的一些性质,经历探索圆的对称性
   及相关性质的过程。
   解决问题
      进一步体会和理解研究几何图形的各种方法;培养学
    生独立探索,相互合作交流的精神。
   情感态度
       使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求
   是的科学态度和积极参与的主动精神.
   重难点、关键
    重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.
    难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.  
    关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际
问题。
    教学准备
    教师准备:制作课件,精选习题
    学生准备:复习有关知识,预习本节课内容
    教学过程
   一、   情境引入
   【探究】
   用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能
   得到什么结论?
   可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,
   由此可以得到:
   圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
   【活动方略】
   学生动手操作,观察操作结果,
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教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性。
【设计意图】
创设问题情境,激发学生兴趣,探索圆的对称性,引出本节内容。
二、探索新知
【思考】
按下面的步骤做一做:
第一步,在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半
部分重合;
第二步,得到一条折痕          CD;
第三步,在⊙O       上任取一点     A,过点   A 作 CD  折痕的垂线,得到新的折痕,其中点
M 是两条折痕的交点,即垂足;
第四步,将纸打开,新的折痕与圆交于另一点                   B,如图    1.


         图 1              图 2

在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么? 
【活动方略】
学生动手操作,观察操作结果,
教师在学生操作、分析、归纳的基础上,引导学生归纳垂直于弦的直径的性质:
(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
【设计意图】
探究垂直于弦的直径的性质,培养学生的探究精神。
【应用】
例 1:如图,     AAB 所在圆的圆心是点       O,过  O 作 OC⊥AB  于点  D,若  CD=4   m,弦  AB=16 
m,求此圆的半径.


解:设圆的半径为        R,由条件得到      OD=R-4,AD=8,
在 Rt△ADO  中
    2     2     2
 AO   OD   AD  ,
即
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                       2        2   2
                     R   (R  4)  8 .
                     解得
                     R=10(m).
                     答:此圆的半径是        10 m.
                     【活动方略】
                         学生观察图形,利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件,发现若                            OC⊥AB,则有
                     AD=BD,且△ADO   是直角三角形,在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程。
                         教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳:弦长、半径、拱形高、弦心距
                     (圆心到弦的距离)四个量中,只需要知道两个量,其余两个量就可以求出来。
                     【设计意图】
                         应用垂径定理解题。
                     例 2:如图,已知       AAB ,请你利用尺规作图的方法作出             AAB 的中点,说出你的作法.


                                        A                             B

                         解:1.连接     AB;
                         2.作  AB 的中垂线,交      AAB 于点 C,点   C 就是所求的点.
                     【活动方略】
                         学生作图,教师巡视、指导。
                     【设计意图】
                         通过寻找一段弧的中点,进一步理解垂径定理
                     三、反馈练习
                     课本   P89  练习  1,2 
                     补充练习:
                      银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,
                 污水水面宽度为       60 cm,水面至管道顶部距离为           10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?


                     【活动方略】
                     学生独立思考、独立解题.
                     教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过
                 程)
                     【设计意图】
                     检查学生对所学知识的掌握情况.
                     四、应用拓展
                     例  3:有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图               24-5 所示,正常水位下水面宽          AB=60m,
                 水面到拱顶距离       CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽            MN=32m   时是否需要采取紧急措施?请
                 说明理由.
                        

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    分析:要求当洪水到来时,水面宽               MN=32m是否需要采取紧急措施,只要求出
DE 的长,因此只要求半径          R,然后运用几何代数解求           R.
    解:不需要采取紧急措施
    设 OA=R,在    Rt△AOC  中,AC=30,CD=18                      D
    R2=302+(R-18)2   R2=900+R2-36R+324              M       E     N
    解得  R=34(m)
                                                            C
    连接  OM,设    DE=x,在   Rt△MOE   中,ME=16        A                   B
    342=162+(34-x)2                                        O
    162+342-68x+x2=342    x2-68x+256=0

    解得  x1=4,x2=64(不合设)
    ∴DE=4
    ∴不需采取紧急措施.
    例 4:如图,某条河上有一座圆弧形拱桥                ACB,桥下面水面宽度        AB 为 7.2 米,桥的最
高处点   C 离水面的高度      2.4 米.现在有一艘宽         3 米,船舱顶部为方形并高出水面             2 米的货
船要经过这里,问:这艘船是否能够通过这座拱桥?说明理由.

                                         G    C    F
                 C                               M
                                         H    E
                                   A
                                                     D     B
     A                        B              O

    首先分析题意,然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥,这时要采取一定的比
较量,才能说明能否通过,比如,计算一下在上述条件下,在宽度为                             3 米的情况下的高度
与  2 米作比较,若大于       2 米说明不能经过,否则就可以经过这座拱桥.
    解:如右图,连接        AO、GO、CO,由于弧的最高点          C 是弧  AB 的中点,所以得到
    OC⊥AB,OC⊥GF,
    根据勾股定理容易计算
    OE=1.5 米,
    OM=3.6 米.
    所以  ME=2.1  米,因此可以通过这座拱桥.
   【活动方略】
    教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论.
    学生活动:合作交流,讨论解答。
    【设计意图】
    让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂
径定理的基本结构图,进而发展学生的思维.

    五、小结作业
    1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发?
    本节课应掌握:
    垂直于弦的直径的性质,圆对称性。
    2.作业:教材      P94  习题   24.1 第 7、8、9、12  题
    【活动方略】
    教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程.
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学生独立完成作业,教师批改、总结.
【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识。
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