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人教版(新)数学八年级上册第十三章第四节课题学习-最短路径问题课件

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八年级  上册

  13.4 课题学习 最短路径问题
课件说明

• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮
  马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 
  究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最
  小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为
  “两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和大 
  于第三边”)问题. 
课件说明

• 学习目标:
  能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形
  的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想.
• 学习重点:
  利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线
  段最短”问题. 
引入新知

  引言:
   前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 
题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 
探索新知

  问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访
海伦,求教一个百思不得其解的问题:
  从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然
后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短?
                            B
             A

                     l
探索新知

  精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 
知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 
问题”.
  你能将这个问题抽象为数学问题吗? 


                            B
             A

                     l
探索新知

  追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 

  将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线
. 
                            B
                          ·
             A·

                              l
探索新知

  追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 
并把它抽象为数学问题吗? 

(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; 
(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,
          B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地
     到饮马地点,再回到B 地的路程之和; 
探索新知

  追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,
并把它抽象为数学问题吗? 

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 
     短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上
     面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,
    AC 与CB 的和最小(如图).                   B
                            A

                                         l
                              C
探索新知

  问题2  如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 
的和最小? 
                                    B
                                    ·
  追问1 对于问题2,如何              A
将点B“移”到l 的另一侧B′             ·
处,满足直线l 上的任意一点                            l
C,都保持CB 与CB′的长度
相等? 
探索新知

  问题2  如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB
的和最小? 
                                    B
                                    ·
                            A
  追问2 你能利用轴对称的              ·
有关知识,找到上问中符合条
                                          l
件的点B′吗? 
探索新知

  问题2  如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 
的和最小? 
  作法:                                B
                                     ·
(1)作点B 关于直线l 的对称             A
                             ·
     点B′;
                                           l
(2)连接AB′,与直线l 相交               C
     于点C.
     则点C 即为所求. 
                                     B′
探索新知

  问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 


                                     B
                                     ·
                             A
                             ·
                                           l
                               C

                                     B′
探索新知

  问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 

  证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不
重合),连接AC′,BC′,B′C′.
                                     B
    由轴对称的性质知,                        ·
                             A
    BC =B′C,BC′=B′C′.        ·
    ∴ AC +BC
                            C′             l
            = AC +B′C = AB′,   C
               AC′+BC′
           = AC′+B′C′.
                                     B′
探索新知

  问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 

  证明:在△AB′C′中,
    AB′<AC′+B′C′,
                                     B
    ∴ AC +BC<AC′+BC′.                ·
                             A
  即 AC +BC 最短.               ·
                            C′             l
                               C

                                     B′
探索新知

  追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上
任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′
+BC′?这里的“C′”的作用是什么? 
                                     B
                                     ·
  若直线     上任意一点(与点           A
         l                   ·
C 不重合)与A,B 两点的距离
                            C′             l
和都大于AC +BC,就说明AC +             C
BC 最小. 

                                     B′
探索新知

  追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 
过程、借助什么解决问题的? 

                                     B
                                     ·
                             A
                             ·
                            C′             l
                               C

                                     B′
1. 如图,A.B两地在一条
河的两岸,现要在河上建
                      A·
一座桥MN,桥造在何处才             M
能使从A到B的路径AMNB
最短?(假设河的两岸是
                        N
平行的直线,桥要与河垂                     E
直)
                               B
作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽
 到E,
         2.连接AE交河对岸与点M,
  则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。
证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, 
 MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
                            A·
若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE,M       C
则AB两地的距离为:
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,   N
                                D   E
在△ACE中,∵AC+CE>AE, 
∴AC+CE+MN>AE+MN,                   B
即AC+CD+DB >AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。
运用新知

  练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 
回P 处,请画出旅游船的最短路径.

                               C
                              Q
                           山          河岸
                                   P
                            A            B
                                 大桥
运用新知

  基本思路:
  由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为
一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 
的同侧,如何在BC上找到                   C
一点R,使PR与QR 的和最
                              Q       河岸
小”.                        山
                                   P
                            A            B
                                 大桥
归纳小结


    (1)本节课研究问题的基本过程是什么? 
    (2)轴对称在所研究问题中起什么作用?
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