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华师大版数学九年级下册第二十七章第三节实践与探索教案

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 课 题                                 26.3.3   实践与探索(3)
          、会求出二次函数        y  ax 2  bx  c 与坐标轴的交点坐标;
 教 学     1
 目 标     2、了解二次函数       y  ax 2  bx  c 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.

 教 学
         确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.
 重 点
 教 学
         确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题
 难 点
 教 具
         多媒体课件    
 学 具
                 教  学  内  容  及  教  师  活  动                                          二次备课

一、情境导入
   给出三个二次函数:(1)           y  x 2  3x  2 ;(2) y  x 2  x 1;(3) y  x 2  2x 1.
它们的图象分别为


   观察图象与      x 轴的交点个数,分别是             个、      个、      个.你知道图象与        x 轴的交点个
数与什么有关吗?
另外,能否利用二次函数          y  ax 2  bx  c 的图象寻找方程    ax 2  bx  c  0(a  0) ,不等式
ax 2  bx  c  0(a  0) 或 ax 2  bx  c  0(a  0) 的解?
二、实践与探索

例 1.画出函数     y  x 2  2x  3 的图象,根据图象回答下列问题.

(1)图象与     x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么?

(2)当   x 取何值时,y=0?这里       x 的取值与方程     x 2  2x  3  0 有什么关系?

(3)x  取什么值时,函数值         y 大于 0?x  取什么值时,函数值         y 小于 0?
解    图象如图     26.3.4,(1)图象与       x 轴的交点坐标为(-1,0)、(3,
0),与   y 轴的交点坐标为(0,-3).

(2)当   x= -1 或 x=3 时,y=0,x 的取值与方程      x 2  2x  3  0 的解相同.

(3)当   x<-1 或 x>3 时,y>0;当      -1<x<3  时,y<0.
回顾与反思        (1)二次函数图象与         x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决;反
过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决.
(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集,先观察图象,找出抛物线与                               x 轴的交点,再根
据交点的坐标写出不等式的解集.
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例 2.(1)已知抛物线        y  2(k 1)x 2  4kx  2k  3 ,当 k=          时,抛物线与    x 轴相交

于两点.

(2)已知二次函数        y  (a 1)x 2  2ax  3a  2 的图象的最低点在   x 轴上,则    a=        .

分析(1)抛物线       y  2(k 1)x 2  4kx  2k  3 与 x 轴相交于两点,相当于方程

2(k 1)x 2  4kx  2k  3  0 有两个不相等的实数根,即根的判别式⊿>0.

(2)二次函数      y  (a 1)x 2  2ax  3a  2 的图象的最低点在   x 轴上,也就是说,方程

(a 1)x 2  2ax  3a  2  0 的两个实数根相等,即⊿=0.

回顾与反思       二次函数的图象与        x 轴有无交点的问题,可以转化为一元二次方程有无实数根的问
题,这可从计算根的判别式入手.

例 3.已知二次函数       y  x 2  (m  2)x  m 1,

(1)试说明:不论        m 取任何实数,这个二次函数的图象必与                x 轴有两个交点;
(2)m  为何值时,这两个交点都在原点的左侧?
(3)m  为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是                   y 轴?

分析(1)要说明不论         m 取任何实数,二次函数          y  x 2  (m  2)x  m 1的图象必与  x 轴有两

个交点,只要说明方程          x 2  (m  2)x  m 1  0 有两个不相等的实数根,即⊿>0.

(2)两个交点都在原点的左侧,也就是方程                   x 2  (m  2)x  m 1  0 有两个负实数根,因而


必须符合条件①⊿>0,②          x1  x2  0 ,③ x1  x2  0 .综合以上条件可解得所求        m 的值的范
围.

(3)二次函数的图象的对称轴是             y 轴,说明方程       x 2  (m  2)x  m 1  0 有一正一负两个实


数根,且两根互为相反数,因而必须符合条件①⊿>0,②                        x1  x2  0 .

解(1)⊿=    (m  2) 2  4 (1)  (m 1)  m 2  8 ,由 m 2  0 ,得 m 2  8  0 ,所以⊿>0,即

不论  m 取任何实数,这个二次函数的图象必与                 x 轴有两个交点.

(2)由   x1  x2  m  2  0 ,得 m  2 ;由 x1  x2  m 1  0 ,得 m  1;又由(1),

⊿>0,因此,当      m   1时,两个交点都在原点的左侧.

(3)由   x1  x2  m  2  0 ,得 m=2,因此,当    m=2 时,二次函数的图象的对称轴是              y 轴.

探索    第(3)题中二次函数的图象的对称轴是                 y 轴,即二次函数      y  x 2  (m  2)x  m 1是

由函数   y  x 2 上下平移所得,那么,对一次项系数有何要求呢?
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三、巩固练习

1.已知二次函数       y  x 2  3x  4 的图象如图,

则方程   x 2  3x  4  0 的解是           ,

不等式   x 2  3x  4  0 的解集是          ,

不等式   x 2  3x  4  0 的解集是          .

2.抛物线    y  3x 2  2x  5与 y 轴的交点坐标为              ,与   x 轴的交

点坐标为                   .
                                 5
3.已知方程     2x 2  3x  5  0 的两根是  ,-1,则二次函数       y  2x 2  3x  5与 x 轴的两个交点
                                 2
间的距离为            .

4.函数   y  ax 2  ax  3x 1的图象与  x 轴有且只有一个交点,求          a 的值及交点坐标.

四、提高练习

1.已知二次函数       y  x 2  x  6 ,画出此抛物线的图象,根据图象回答下列问题.

(1)方程    x 2  x  6  0 的解是什么?

(2)x  取什么值时,函数值大于           0?x 取什么值时,函数值小于           0?

2.如果二次函数       y  x 2  6x  c 的顶点在 x 轴上,求   c 的值.

3.不论自变量      x 取什么数,二次函数        y  2x 2  6x  m 的函数值总是正值,求       m 的取值范围.

4.已知二次函数       y  2x 2  4x  6 ,

求:(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出草图;
   (2)以此函数图象与        x 轴、y  轴的交点为顶点的三角形面积;              (3)x  为何值时,y>0.

5.你能否画出适当的函数图象,求方程                x 2  x  2 的解?

6.函数   y  mx 2  x  2m (m 是常数)的图象与       x 轴的交点有                   (     )

A.0 个        B.1 个        C.2  个       D.1  个或  2 个

7.已知二次函数       y  x 2  ax  a  2 .(1)说明抛物线    y  x 2  ax  a  2 与 x 轴有两个不同

交点;(2)求这两个交点间的距离(关于                 a 的表达式);(3)a       取何值时,两点间的距离最小?
 
    作业设计

    教后反思
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