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人教版(新)数学九年级上册第二十四章第二节切线长定理课件

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初中数学审核员

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切线长定理
数学探究
  如图,纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条
  切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A
  重合的点为B。
                             A
 问题:
                          O
1.OB是⊙O的一条半径吗?
                                     P
2.PB是⊙O的切线吗?                B
3.PA、PB有何关系?
4.∠APO和∠BPO有何关系?
数学探究
 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线
 段的长叫做切线长。
                         ·A
                      O
                       ·          · P
                        B
 切线长和切线的区别和联系:
 切线是直线,不可以度量;切线长是指切线上切线是直线,不可以度量;切线长是指切线上
 的一条线段的长,可以度量。的一条线段的长,可以度量。
        A            切线长定理  从
       ·             圆外一点可以引
    O·               圆的两条切线,
                · P  它们的切线长相
                     等,这一点和圆
      B              心的连线平分两
                     条切线的夹角。

已知:如图,P为⊙ O外一点,PA、PB为⊙ 
     O的切线,A、B为切点,连结PO
  求证:
一、判断             练习
(1)过任意一点总可以作圆的两条切线(    )
(2)从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等
。   
 二、填空
 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点,                
 连结PO,则          25    度。
                           A
                              O

                    P         B
(3)如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C
,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切
线长为8CM,则Δ PDE的周长为(        A )

      A   16cm    B   14cm
      C  12cm     D   8cm

              A   D

                   C          P

                   E
               B
例2、如图,过半径为6cm的⊙O外一点P作圆
的切线PA、PB,连结PO交⊙O于F,过F作⊙O
切线分别交PA、PB于D、E,如果PO=10cm
, 求△PED的周长。

             A
                D

          O   F       P
                 E
             B
数学探究
 思考:连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系?
              为什么?
      你还能得出什么结论?

                  ·A
               O·
                  E        · P
                 B
 已知:如图PA、PB是⊙ O的两               A
 条切线,A、B为切点。直线OP
 交⊙ O于D、E,交AB于C。         E                  P
                               O C  D
(1)图中互相垂直的关系 3  有        
对,分别是                           B

(2)图中的直角三角形有  6    个,分别是

   等腰三角形有   2   个,分别是
(3)图中全等三角形   3    对,分别是
(4)如果半径为3cm,PO=6cm,则点P到⊙ O的切线长
为      cm,两切线的夹角等于 60    度
(5)如果PA=4cm,PD=2cm,      A
试求半径OA的长。
                        x
                   E               P
                        O C D

                         B


    即:

    解得: x=    3cm

       半径OA的长为3cm
例1、如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切
点,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度数;
(2)当OA=3时,求AP的长. 
                  A

             O            P

                 B
随堂训练
 如图,AC为⊙O的直径,PA、PB分别切⊙O于
 点A、B,OP交⊙O于点M,连结BC。
 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°,则PA=______.
 (2)观察OP与BC的位置关系,并给予证明。
                A

            O             P
                    M

          C     B
试一试:已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB
为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直径。∠C
=50,
①求∠APB的度数
②求证:AC∥OP。        C      A

                    O             P

                         B
思考:当切点F在弧AB上运动时,问△PED
的周长、∠DOE的度数是否发生变化,请说
明理由。

               A
                  D

            O   F       P
                   E
               B
(2)如图,Δ ABC的内切圆分别和BC,AC,
AB切于D,E,F;如果
AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11    cm,
AC=  6cm                 AB=  9cm  
                  A
                 2
               F       E
                         4

                            C
                    D
         B    7
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N,
求证:AB+CD=AD+BC。 
                    D
                          M
                              C
                  N
                               Q
                         O

               A        P      B
思考思考      如图如图,,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮,,如何在它上面截下如何在它上面截下
    一块圆形的用料一块圆形的用料,,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢??


                                  I

                                  D
数学探究
 三角形的内切圆:
 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

 三角形的内心:
 三角形的内切圆的圆心叫
 做三角形的内心
                           D      E
 三角形的内心是三角形三
 条角平分线的交点,它到
 三角形三边的距离相等。                  F
 已知:四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA和圆O
 分别相切于L,M,N,P。探索圆外切四边形边
 的关系。
    N      (1)找出图中所有相等的线段
  D    C
                 ,        ,       ,
 P   O  M  DN=DP   AP=AL   BL=BM    CN=CM
           (2)填空:AB+CD    =        AD+BC(
         B
A    L     >,<,=)
       结论:圆的外切四边形的两组对边和相等。
       比较圆的内接四边形的性质:
           圆的内接四边形:角的关系
           圆的外切四边形:边的关系
  练习四 已知:△ABC是⊙O外切三角形,切点
 为D,E,F。若BC=14 cm ,AC=9cm,AB=
 13cm。求AF,BD,CE。
              解  设                           则
                : AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm
          A  AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
                                     x+y=13
        x     x
                    依题意得方程组          y+z=14
     F          E                    x+z=9
           O
  y              z        X+y+z=18
                  C        x+y=13
B    y     D  z
                    解得:  Z=5
(1)Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
 是直角,三边长分别是a,b,c.                   A
 求⊙O的半径r. 
                               D
                                ┗ O
                                 ● ┗ F
                                  ┓ ┏
                           B     E C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c.
                              A
求内切圆⊙    的半径
        O      r.          D    F
                            ┗  ┗
                              ●●OO
                              ┓
                     B       E      C
 1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——

2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——

  3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于   
  10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲
 例:如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB
 分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm
 ,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。

                  A  x
                       F
                 x       9﹣ x
                E
                              B
                    O
          13﹣ x          9﹣ x
                       D
                 13﹣ x
            C
随堂训练
1、如图,△ABC中,∠ ABC=50°,∠ACB=75 °,点
O 是△ABC的内心,求∠ BOC的度数。
                                   A


                                O
∠ BOC= 90°+     ∠ A
                       B             C
 变式:△ABC中,∠ A=40°,点O是△ABC的内
 心,求∠ BOC的度数。
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,
求△ABC的面积。(提示:设内心为O,连接OA
、OB、OC。)
若△ABC的内切圆半径为 r , 
周长为 l ,                      A

则S△ABC=   lr

                              r
                           r
                             O
                     B        r
                                    C
切线长定理
                                                       拓展
回顾反思

 1.切线长定理

                      ·A
                   O
                    ·          · P
                     B
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相
等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思

  2.三角形的内切圆、内心、内心的性质


                D       E


                   F
知识拓展
 拓展一:直角三角形的外接圆与内切圆


                           c
                  b

                         a
 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________斜边中点    ,
 半径为___________.斜边的一半
 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________三角形内部,
 半径r=___________.
知识拓展
3.已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是
A、B,Q为⊙O上一点,过Q点作⊙O的切线,交
PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70°,求
:△PEF的周长和∠EOF的大小。

               A
            E
                    O
              Q
       P        F  B
知识拓展
 4.Rt4.Rt△△ABCABC中中,,∠∠C=90°,a=3,b=4,C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半则内切圆的半
 径是径是_______._______.11

 5.5.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为
 1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是_______._______.22cm22cm
知识小结
  直角三角形的外接圆与内切圆


                           c
                  b

                         a
 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________斜边中点    ,
 半径为___________.斜边的一半
 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________三角形内部,
 半径r=___________.
课前训练
1、已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B
为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C.
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 
                        A
          OA的长.

                                   P
               E    O    C  D

                        B
知识拓展

 2.已知:两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线
 ,PC、PD是小圆的两条切线,A、B、C、D
 为切点。求证:AC=BD
                      A

                    C
                  O ·             P
                    D

                      B
试一试:如图△ABC中,∠C=90,AC=6,
BC=8,三角形三边与⊙O均相切,切点分别是
D、E、F,求⊙O的半径。 
   A

          F

  D      O

   C    E             B
             知识回顾
 切线长:
        从圆外一点引圆的切线,这个点与切点间
的线段的长称为切线长。

切线长定理:
        从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的
切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条
切线的夹角。
 巩固练习:
1、如图,一圆内切于四边形ABCD,且
AB=16,CD=10,则四边形的周长为(      )
(A)50    (B) 52     (C)54     (D) 56
                 C
       D


       A             B
2、已知:在△ABC中,BC=14cm,AC=
9cm,AB=13cm,BC,AC,AB分别与⊙O切
于点D、E、F,求AF,BD和CE的长。
              A

         F        E
              O

   B         D       C
 3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有
一个动点K,过点K作半圆的切线EF,EF分别
交AB、CD于点E、F,试问:四边形AEFD的周
长是否会因K点的变动而变化?为什么?
                   A              D

                   E
                             K
                                 F

                   B             C
4、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,
AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E
.已知AB=8,边BC比AD大6,
求边AD、BC的长。
            A   D
                  E

           O

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