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[人教版]2009年高考数学二轮专题训练—导数应用

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高中数学审核员

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                                 导数应用

一、选择题:本大题共          12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
                                2x  3 f x
1、已知    f 3 2, f 3 2,则lim
                             x3   x  3

A.-4           B.8             C.0            D.不存在
         f (x)(x 1)
2、若   lim          存在,则     f (x) 不可能为(      )
      x0  x 2  x

A.   x 2 ;   B   | x | ;   C.   x ;    D.        x ;

3、函数    y=2x3-3x2-12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别是(              )

A. 5,-15           B. 5,-4           C. -4,-15          D. 5,-16 

                  2
 4、设  a>0,f(x)=ax  +bx+c,曲线     y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为
    π
 [0,4],则点   P 到曲线   y=f(x)对称轴距离的取值范围为(             )
      1                  1                      b               b-1
 A.[0,a]            B.[0,2a]             C.[0,|2a|]        D.[0,| 2a |]

5、函数    y  f (x) 的图象经过原点,且它的导函数          y  f '(x) 的
                                                             y

图象是如图所示的一条直线,则              y  f (x) 的图象不经过      (   

)                                                          o              x

A.第一象限                      B.第二象限

C.第三象限                      D.第四象限

6、若函数     f (x)=e xcosx,则此函数图象在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为(              )

                                   
A.0             B.锐角           C.               D.钝角
                                   2

7、定义在     R 上的函数    f (x) 满足 f (4) 1. f (x) 为 f (x) 的导函数,已知函数     y y f (x) 的
                                               b  2
图象如右图所示.若两正数           a,b 满足  f (2a  b)  1,则     的取值范围是()
                                               a  2
                                                                     O            x
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       1  1           1                1
(A)   ( ,  ) (B) (,  )  3,(C)  ( , 3) (D) (, 3)
       3  2           2                2

8、设   a  R ,函数   f (x)  ex  a ex 的导函数是 f (x) ,且 f (x) 是奇函数    .   若曲线

                             3
   y  f (x) 的一条切线的斜率是         ,则切点的横坐标为(            )
                             2
       ln 2                                     ln 2
   A.                  B. ln 2                 C.              D. ln 2
        2                                        2

9、对于    R 上可导的任意函数        f x,若满足   x 1f / x 0 ,则必有(      )

A  f 0 f 2 2 f 1      B  f 0 f 2 2 f 1        

C  f 0 f 2 2 f 1      D  f 0 f 2 2 f 1

10、函数    f (x) 在定义域  R 内可导,若     f (x)  f (2  x) ,且当 x  (, 1) 时,

                                  1
 (x 1) f (x)  0 ,设 a  f (0), b  f ( ), c  f (3). 则(    )
                                  2
A.  a  b  c                          B.  c  a  b
C.  c  b  a                          D.  b  c  a
11、设   f (x) 是函数 f (x) 的导函数,  y  f (x) 的图象如图所示,则      y  f (x) 的图象最有可能的
是(     )


12、若函数     y  ln x  ax 的减区间为 (1,0) ,则 a 的值是    (   )

A. 0  a 1          B. 1  a  0               C. a  1            D. a 1 
二.填空题:本大题共          4 个小题。把答案填在题中横线上。

                    x2 1
                          (x 1)
13、已知函数      f(x)=  x 1         在 x=1 处连续,则实数       a 的值为            ;
                   
                   x  a   (x 1)
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14、已知函数      f (x)  x3  3mx2  nx  m2 在 x=-1 时有极值 0,则   m=_________;n=

_____________;

15、已知点     P 2,2在曲线   y  ax3  bx 上,如果该曲线在点       P 处切线的斜率为      9 ,那么
                                             3
 ab  ____________;函数  f x ax3  bx , x [ ,3]的值域为____________.
                                             2
  、如图为函数               3    2       的图象,          为函数
16             f (x)  ax  bx  cx  d      f '(x)                   y
 f (x) 的导函数,则不等式       x  f '(x)  0 的解集为______  ______.

三.解答题:本大题共          5 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或
演算步骤。
                                                                   - 3 o  3   x
17、已知函数      f (x)  ln(x  a)  x 2  x 在 x  0 处取得极值,

(1)求实数     a 的值;
                             5
  (2)若关于     x 的方程   f (x)   x  b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数               b 的
                             2
  取值范围.


18、已知    a 为实数,    f (x)  (x 2  4)(x  a).

 (1)若    f (1)  0,求f (x) 在[—4,4]上的最大值和最小值;

 (2)若    f (x)在 ,2和2,上都是递增的,求         a 的取值范围。
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19、设函数     f (x)  2x 3  3(a 1)x 2  6ax  8,其中a R.

(1)若    f (x)在x  3处取得极值,求常数         a 的值;

(2)若    f (x)在(,0) 上为增函数,求      a 的取值范围.


20、已知函数      f (x)  x3  bx2  cx  d (b,c,d∈R 且都为常数)的导函数  f (x)  3x2  4x 且

f(1)=7,设 F(x)  f (x)  ax2

(1)当 a<2 时,  F(x) 的极小值;

(2)若对任意    x [0,) 都有  F(x)  0 成立,求   a 的取值范围;

                                  1
(3)在(2)的条件下比较      a2 13a  39与     的大小.
                                 a  6
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                                     1
21、已知定义在正实数集上的函数              f (x)  x2  2ax, g(x)  3a2 ln x  b ,其中 a  0 。设
                                     2

两曲线    y  f (x), y  g(x) 有公共点,且在公共点处的切线相同。

(1)若    a 1,求  b 的值;

(2)用    a 表示 b ,并求   b 的最大值。


答案:
一、选择题
1、B 2、B 3、A 4、B 5、B6、D 7、C 8、D 9、C 10、B 11、C 12、C
二、填空题

13、1     14、2,9       15、-3;[-2,18]       16、 (,   3)  (0, 3)
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 三、解答题
                                        1
 17 解:①  f (x)  ln(x  a)  x 2  x. f (x)   x 1
                                       x  a
              1
 又  f (0)  0,即 1  0.a  1
              a
          5                   3
 由 f (x)   x  b得ln(x  a)  x 2  x  b  0
          2                   2
                     3              1        3
 设 g(x)  ln(x 1)  x 2  x  b,则g(x)   2x 
                     2             x 1      2
          (4x  5)(x 1)
 即 g(x) 
            2(x 1)

 当x  (0,1)g(x)  0 g(x)在(0,1)上单调递增
 当x  (1,2)g(x)  0, g(x)在(1,2)上单调递减.8分
          5
  f (x)   x  b在0,2恰有两个不同实数根等得于
          2
 g(x)  0在0,2恰有两个不同实数根
  g(0)  b  0 b  0
  
                   3                1
g(1)  ln(1 2) 1  b  0b  ln 2 
                   2                2
  g(2)  ln(1 2)  4  3  b  0b  ln3 1
                  1
   ln3 1  b  ln 2 
                  2
                                                 1
 18 解:(1)  f (x)  3x 2  2ax  4, f (1)  2a 1  0a  , f (x)  (3x  4)(x 1)
                                                 2
     x         (—∞,-1)    —1            4       4          4
                                     (1, )               (  ,4)
                                        3       3          3
      f (x)   +          0         —          0          +

      f (x)    增          极大        减          极小         增

                    9           4     50
     f极大 (x)  f (1)  , f极小 (x)  f ( )   , f (4)  54, f (4)  42
                    2           3     27

     f min (x)  f (4)  54, f max (x)  f (4)  42

    (2) f (x)  0对一切x   ,2及2,均成立,
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      f (2)  0
      f (2)  0
     
          a    或   0    即  2  a  2
       2    2
          3
     
       0

19 解:(Ⅰ)     f (x)  6x 2  6(a 1)x  6a  6(x  a)(x 1).

因  f (x)在x  3取得极值,       所以  f (3)  6(3  a)(3 1)  0.  解得 a  3.

经检验知当     a  3时, x  3为f (x) 为极值点.


(Ⅱ)令     f (x)  6(x  a)(x 1)  0得x1  a, x2  1.

当  a 1时,若则x (,a)   (1,), f (x)  0, 所以f在(x) (,a) 和 (1,) 上为增函数,

故当   0  a  1时, f (x)在(,0) 上为增函数.

当  a 1时,若则x (,1)  (a,), f (x)  0, 所以f在(x和) (,1) (a,) 上为增函数,

从而   f (x)在(,0]上也为增函数. 

综上所述,当      a [0,)时,  f (x)在(,0) 上为增函数. 

20 解:(1)  f (x)  3x2  2bx  c  3x2  4x
∴2b=4    c=0    ∴b=2    c=0
∴  f (x)  x3  2x2  d
f(1)=7      d=4         ∴f(x)=x3+2x2+4 
∵F(x)=f(x)-ax2=x3+(2-a)x2+4
则  F(x)  3x2  2(2  a)x
                             2(2  a)
 F(x)  0      x1=0    x2=-
                                3
∵a<2        ∴x1>x2
                     2(2  a)
故由   F(x)  0, x (,       )  (0,)
                         3
            2(2  a)                  2(2  a)
∴F(x)在 (,         ),(0,) 上单调增在    (         ,0) 上单调减
                3                          3
故  x=0 时 F(x)取得极小值为     F(0)=4 
(2)F(x)≥0 恒成立     当 x∈[0,+∞)时   F(x)最小值≥0
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①当   2-a>0 即  a<2 时由(1)知 F(x)min=F(0)=4>0 符合题意 

②若   2-a≤0,即    a≥2 时,由(1)知    x1
	
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