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2018全国Ⅱ卷理科数学高考真题

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高中数学审核员

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               2018  年普通高等学校招生全国统一考试
                              理科数学

注意事项:

        1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

        2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

        3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。


一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
    一项是符合题目要求的.
   1 2i
        
1. 1 2i
        4  3                4  3                3  4               3  4
          i                  i                i                 i
   A.   5  5           B.   5  5           C.   5  5          D.   5  5
           A  x ,y≤,x2 , y 2 3 x  Z y  Z
2.已知集合                                  ,则   A 中元素的个数为 
   A.9                 B.8                 C.5                D.4
             ex  e x
        f x   2
3.函数            x   的图像大致为 


                    | a | 1            a (2a  b) 
4.已知向量     a , b 满足       , a b  1 ,则
   A.4                 B.3                 C.2                D.0
          x2  y2
          2  2 1 (a  0, b  0)
5.双曲线    a   b               的离心率为      3 ,则其渐近线方程为
                                                    2                   3
                                              y     x           y    x
       y   2x            y   3x
   A.                  B.                  C.      2           D.      2

                   C   5
                cos 
6.在△ABC    中,      2   5 , BC 1 , AC  5 ,则  AB 

   A. 4  2             B.   30             C.   29             D. 2 5
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               1  1  1      1    1
         S 1       …                                            开始
7.为计算          2  3  4      99  100 ,设计了右侧的程序框图,
                                                                     N  0,T  0
   则在空白框中应填入

   A. i  i 1                                                          i 1
      i  i 2                                                       是          否
   B.                                                                i 100
   C. i  i  3  
                                                                     1
                                                              N  N          S  N T
   D.  i  i  4                                                     i
                                                                    1
                                                             T  T            输出S
                                                                   i 1
                                                                               结束


8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是
   “每个大于     2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如                30  7  23 .在不超过  30 的素数
   中,随机选取两个不同的数,其和等于                 30 的概率是
       1                   1                   1                  1
   A. 12               B.  14              C. 15              D.  18

           ABCD   A B C D                AA   3             AD   DB
9.在长方体             1 1 1 1 中, AB  BC 1 ,  1    ,则异面直线         1 与   1 所成角
    的余弦值为

       1                5                   5                  2
   A.  5            B.  6              C.  5               D.  2
       f (x)  cos x  sin x [a, a]
10.若                  在       是减函数,则      a 的最大值是
        π                  π                  3π
    A.  4              B.  2               C.  4              D.  π
         f (x)        (, )               f (1 x)  f (1 x) f (1)  2
11.已知       是定义域为             的奇函数,满足                      .若        ,则
     f (1)  f (2)  f (3) …  f (50) 

    A. 50             B.0                 C.2                D.50
                        x2  y2
                     C:      1(a  b  0)
        F    F           2   2
12.已知    1 ,  2 是椭圆     a   b            的左、右焦点,       A 是 C 的左顶点,点      P 在
                  3
                             △
    过  A 且斜率为    6 的直线上,       PF1F2 为等腰三角形,      F1F2P 120 ,则 C 的离心率
    为
        2                  1                  1                   1
    A.  3              B.  2               C. 3               D.  4
二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分.
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        y  2ln(x 1)  (0, 0)
13.曲线              在点       处的切线方程为__________.

                      x  2y  5  0,
                      
                      x  2y  3  0,
                      
                       x  5  0,     z  x  y
14.若  x, y 满足约束条件                  则        的最大值为__________.
        sin α  cos β 1 cosα  sin β  0 sin(α  β) 
15.已知                ,              ,则           __________.
                                                   7
16.已知圆锥的顶点为         S ,母线   SA, SB 所成角的余弦值为        8 , SA与圆锥底面所成角为

    45°,若△SAB    的面积为    5 15 ,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共       70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                      17~21 题为必考
    题,每个试题考生都必须作答.第               22、23 为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共        60 分。
17.(12  分)

    记 Sn 为等差数列{an}    的前  n 项和,已知     a1  7 , S3  15 .
           {a }
    (1)求     n 的通项公式;
           S        S
    (2)求    n ,并求    n 的最小值.

18.(12  分)
                                                 y
    下图是某地区      2000 年至  2016 年环境基础设施投资额           (单位:亿元)的折线图.


                                                    y
    为了预测该地区       2018 年的环境基础设施投资额,建立了                与时间变量     t 的两个线性回

                                                          1,2,…  ,17
    归模型.根据      2000 年至  2016 年的数据(时间变量        t 的值依次为              )建立模
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          yˆ  30.4 13.5t
    型①:                 ;根据   2010 年至  2016 年的数据(时间变量        t 的值依次为

    1,2,…  ,7 )建立模型②:      yˆ  99 17.5t .

    (1)分别利用这两个模型,求该地区                2018 年的环境基础设施投资额的预测值;

    (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12  分)

                2
    设抛物线    C:y   4x 的焦点为   F ,过   F 且斜率为    k(k  0) 的直线 l 与 C 交于 A , B 两

    点,|  AB |  8 .
    (1)求   l 的方程
    (2)求过点     A , B 且与  C 的准线相切的圆的方程.
20.(12  分)

    如图,在三棱锥       P  ABC 中,  AB  BC  2 2 , PA  PB  PC  AC  4 , O 为 AC 的
    中点.

    (1)证明:     PO  平面  ABC  ;
    (2)若点    M  在棱  BC 上,且二面角      M  PA  C 为 30 ,求 PC 与平面  PAM  所成角的
    正弦值.
                                      P


                                     O
                         A                         C

                                        M
                                 B
21.(12  分)

                   x   2
    已知函数     f (x)  e  ax .
                                  f (x) 1
    (1)若   a 1,证明:当     x  0 时,       ;
            f (x) (0, )
    (2)若       在        只有一个零点,求        a .
(二)选考题:共        10 分.请考生在第       22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
      第一题计分.

22.[选修   4-4:坐标系与参数方程](10          分)

                                          x  2cosθ ,
                                          
                                           y  4sin θ
    在直角坐标系      xOy 中,曲线    C 的参数方程为               ( θ 为参数),直线      l 的参数
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    方程为

    x 1 t cosα ,
    
      y  2  t sin α
                ( t 为参数).
    (1)求   C 和 l 的直角坐标方程;
                                            (1, 2)
    (2)若曲线     C 截直线   l 所得线段的中点坐标为             ,求  l 的斜率.
23.[选修   4-5:不等式选讲](10        分)

    设函数    f (x)  5  | x  a |  | x  2 | .
                            f (x)  0
    (1)当   a 1时,求不等式             的解集;
            f (x) 1
    (2)若          ,求  a 的取值范围.
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绝密★启用前

               2018  年普通高等学校招生全国统一考试
                        理科数学试题参考答案

一、选择题
1.D         2.A         3.B        4.B         5.A         6.A

7.B         8.C         9.C        10.A        11.C        12.D

二、填空题
                                 1
13.  y  2x     14.9       15.            16. 40  2π
                                 2
三、解答题

17.解:


    (1)设{an}的公差为       d,由题意得     3a1  3d  15.


    由 a1  7 得 d=2.


    所以{an}的通项公式为        an  2n  9 .

                        2            2
    (2)由(1)得      Sn  n 8n  (n  4) 16 .


    所以当   n=4 时,  Sn 取得最小值,最小值为−16.

18.解:

    (1)利用模型①,该地区           2018 年的环境基础设施投资额的预测值为

                       yˆ  30.4 13.519  226.1 (亿元).

    利用模型②,该地区         2018 年的环境基础设施投资额的预测值为

                         yˆ  99 17.59  256.5 (亿元).

    (2)利用模型②得到的预测值更可靠.

    理由如下:

    (ⅰ)从折线图可以看出,2000            年至  2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线

     y  30.4 13.5t 上下.这说明利用      2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能

    很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010                   年相对    2009 年的环境基础设施投

    资额有明显增加,2010        年至  2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从

    2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用                          2010 年至 2016 年
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    的数据建立的线性模型          yˆ  99 17.5t 可以较好地描述    2010 年以后的环境基础设施投

    资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

    (ⅱ)从计算结果看,相对于             2016 年的环境基础设施投资额          220 亿元,由模型①得

    到的预测值     226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合

    理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

    以上给出了     2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.解:

    (1)由题意得      F(1,0) ,l 的方程为    y  k(x 1)(k  0) .


    设  A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,

      y  k(x 1),
    由             得   2 2     2        2    .
        2           k x  (2k  4)x  k  0
      y   4x

                                2k 2  4
     16k 2 16  0 ,故 x  x         .
                         1   2    k 2

                                            4k 2  4
    所以|  AB || AF |  | BF | (x 1)  (x 1)    .
                             1       2        k 2

            4k 2  4
    由题设知            8 ,解得   k  1 (舍去),    k 1 .
              k 2

    因此  l 的方程为    y  x 1 .

    (2)由(1)得      AB 的中点坐标为      (3,2) ,所以  AB 的垂直平分线方程为

     y  2  (x  3) ,即 y  x  5 .


    设所求圆的圆心坐标为          (x0 , y0 ) ,则


    y0  x0  5,
                                  x0  3,  x0 11,
              (y  x 1)2     解得         或 
            2    0   0               y  2    y   6.
    (x0 1)              16.      0       0
                   2

    因此所求圆的方程为         (x  3)2  (y  2)2 16 或 (x 11)2  (y  6)2 144 .

20.解:

    (1)因为    AP   CP  AC  4 , O 为 AC 的中点,所以      OP   AC ,且  OP   2 3 .
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                        2
连结  OB .因为   AB  BC    AC ,所以△ABC     为等腰直角三角形,
                       2
                 1
且 OB  AC , OB    AC  2 .
                 2
由 OP2  OB2  PB2 知 PO  OB .

由 OP  OB,OP  AC  知 PO  平面 ABC  .
                        uuur
(2)如图,以     O 为坐标原点,    OB 的方向为    x 轴正方向,建立空间直角坐标系

O  xyz .


                                                  uuur
由已知得   O(0,0,0), B(2,0,0), A(0,2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 3), AP  (0,2,2 3), 取
                uuur
平面  PAC 的法向量    OB  (2,0,0) .
                         uuur
设 M (a,2  a,0)(0  a  2) ,则 AM  (a,4  a,0) .

设平面   PAM 的法向量为    n  (x, y, z) .

  uuur     uuur      2y  2 3z  0
由 AP n  0, AM n  0 得           ,可取  n  ( 3(a  4), 3a,a) ,
                     ax  (4  a)y  0

        uuur        2 3(a  4)
所以  cos OB,n                     .
               2 3(a  4)2  3a2  a2

              uuur     3
由已知可得|    cos OB,n |   .
                      2

         2 3 | a  4|    3                        4
所以                    =    .解得  a  4 (舍去),   a   .
    2 3(a  4)2  3a2  a2 2                      3
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            8 3  4 3   4
   所以  n  (   ,    , ) .
             3    3    3

     uuur                    uuur     3
   又 PC  (0,2,2 3) ,所以 cos PC,n     .
                                     4

                                    3
   所以  PC 与平面   PAM 所成角的正弦值为          .
                                    4

21.解:

                              (x2 1)ex 1 0
   (1)当  a 1 时,  f (x) 1等价于            .

                2    x               2        x       2 x
   设函数   g(x)  (x 1)e 1,则 g'(x)  (x  2x 1)e  (x 1) e .

   当 x  1 时, g'(x)  0 ,所以 g(x) 在 (0,) 单调递减.

   而 g(0)  0 ,故当 x  0 时, g(x)  0 ,即 f (x) 1.

             h(x) 1  ax2ex
   (2)设函数               .

    f (x) 在 (0,) 只有一个零点当且仅当    h(x) 在 (0,) 只有一个零点.

   (i)当  a  0 时, h(x)  0 , h(x) 没有零点;

                  h'(x) ax(x 2)ex
   (ii)当 a  0 时,              .

   当 x (0,2) 时, h'(x)  0 ;当 x (2,) 时, h'(x)  0 .

   所以  h(x) 在 (0,2) 单调递减,在  (2,) 单调递增.

             4a
     h(2) 1 2
   故         e  是 h(x) 在[0,) 的最小值.

                    e2
                 a 
   ①若  h(2)  0 ,即   4 , h(x) 在 (0,) 没有零点;

                     e2
                 a 
   ②若  h(2)  0 ,即   4 , h(x) 在 (0,) 只有一个零点;

                     e2
                 a 
   ③若  h(2)  0 ,即   4 ,由于  h(0) 1 ,所以 h(x) 在 (0,2) 有一个零点,

                        x   2
   由(1)知,当     x  0 时, e  x ,所以
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              16a3      16a3      16a3      1
    h(4a) 1   4a 1    2a 2 1    4 1    0
               e        (e )      (2a)      a    .

    故 h(x) 在 (2,4a) 有一个零点,因此       h(x) 在 (0,) 有两个零点.

                                           e2
                                        a 
    综上,    f (x) 在 (0,) 只有一个零点时,         4  .

22.解:

                               x2   y2
                                     1
    (1)曲线    C 的直角坐标方程为         4  16    .

    当 cos   0 时, l 的直角坐标方程为       y  tan  x  2  tan ,

    当 cos   0 时, l 的直角坐标方程为       x 1 .

    (2)将   l 的参数方程代入      C 的直角坐标方程,整理得关于             t 的方程

                            2   2
                    (1 3cos )t  4(2cos  sin)t 8  0 .①

    因为曲线    C 截直线   l 所得线段的中点      (1,2) 在 C 内,所以①有两个解,设为           t1 , t2 ,

    则 t1  t2  0 .

                     4(2cos  sin)
            t1  t2          2
    又由①得               1 3cos     ,故   2cos  sin  0 ,于是直线    l 的斜率

    k  tan  2 .

23.解:
                           2x  4, x  1,
                           
                     f (x)  2,1 x  2,
                           2x  6, x  2.
    (1)当   a 1 时,         

    可得   f (x)  0 的解集为{x | 2  x  3} .

    (2)   f (x) 1等价于|  x  a |  | x  2 | 4 .

    而| x  a |  | x  2 || a  2 |,且当 x  2 时等号成立.故 f (x) 1等价于| a  2 | 4 .

由| a  2 | 4 可得 a  6 或 a  2 ,所以 a 的取值范围是    (,6][2,)
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