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湖北省荆州市2018届高三质量检查数学(理)试题(III)含答案

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                       荆州市   2018 届高三年级质量检查(Ⅲ)

                               数学(理工农医类)

                             第Ⅰ卷  选择题(60       分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的,请将正确的答案填涂在答题卡上.


1.设全集U      R ,集合  A  {x |1 x  3}, B  {x | 2x  3  0},则 A (CU B)  (   )
        3                                3            3
A. (,  )          B. (1,)        C. (1, )        D.[ ,3)
        2                                2            2
                                                    2
2.若复数   z  m2 1 (m 1)i 是纯虚数,其中      m 是实数,则        (   )
                                                    z
A. i                B. i            C. 2i           D. 2i

3.下列命题正确的是(   )

A.命题“     p  q ”为假命题,则命题        p 与命题  q 都是假命题;

B.命题“若     x  y ,则  sin x  sin y ”的逆否命题为真命题;

C.“  am2   bm2 ”是“  a  b ”成立的必要不充分条件;

                           2
D.命题“存在      x0  R ,使得  x0  x0 1 0 ”的否定是:“对任意         x  R ,均有

 x2  x 1 0 ”.

4.已知随机变量       : N(1,1) ,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形                   OABC  中随机投

掷  10000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为(   )

注:   P         68.26% , P  2      2  95.44% .


A.6038               B.6587            C.7028         D.7539

                    an1     an
5.已知数列an满足       5    255 ,且   a2  a4  a6  9 ,则 log1 a5  a7  a9  (   )
                                                       3
                                             1              1
A.-3                 B.3               C.               D.
                                             3              3
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6.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”


 ABC  A1B1C1 的所有顶点都在球       O 的球面上,且      AB  AC  1,若球   O 的表面积为     3 ,

则这个三棱柱的体积是(   )
    1                      1                1
A.                      B.               C.               D.1
    6                      3                2
7.偶函数    f x和奇函数    g x的图象如图所示,若关于          x 的方程   f g x1,

 g f x 2 的实根个数分别为      m 、  n ,则 m  n  (   )


A.16                    B.14            C.12            D.10

8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(   )


A.14                    B.15             C.16            D.17

                  6                  7
9.已知  1 xa  x  a0  a1x   a7 x ,若 a0  a1   a7  0 ,则 a3  (   )

A.-5                    B.-20            C.15            D.35

10.如图,网格纸上小正方形的边长为               1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表

面积为(   )
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A.8   4 2           B.12  4 2  2 3        C. 6  4 2  2 3        D.12

                  x2  y2
11.已知双曲线     C :        1(a  0,b  0) 的左、右焦点分别为       F 、 F ,  O 为坐标原点,
                  a2  b2                                  1   2


以  F1F2 为直径的圆    O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为                   P 、 Q ,点  B 为圆  O 与


 y 轴正半轴的交点,若        POF2   QOB   ,则双曲线     C 的离心率为(   )

                        3   5                                          1  5
A. 3   5             B.                       C.1   5               D.
                           2                                              2

12.已知函数     f x ex  x2  ln x 与函数 g x ex  2x2  ax 的图象上存在关于   y 轴对称

的点,则实数      a 的取值范围为(   )

                               1
A. ,e           B.   ,               C. ,1            D.
                               e

      1 
  ,
      2

                            第Ⅱ卷  非选择题(90        分)

二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分.把答案填在答题卷的横线上.
                                                  
13.平面向量    a  (2,) , b  (3,1) ,若向量 a 与 b 共线,则    a b            .

          x2  y2                                                          6
14.设椭圆          1(a  b  0) 的右焦点与抛物线      y2 16x 的焦点相同,离心率为             ,
          a2  b2                                                          3

则此椭圆的方程为          .

                         2y  x  0
                         
15.已知  x , y 满足不等式组      x  y  3  0 ,若不等式   ax  y  7 恒成立,则实数     a 的取值
                         
                         2x  y  3  0

范围是          .
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                      1              a2
16.设数列a    满足   a    , a    a    n n  0,1,2,若使得   a 1  a  ,则正
           n       0  2    n1  n   2018                      k      k 1

整数  k            .

三、解答题:本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

17~21  题为必考题,每个试题考生都必须作答.第                 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
                                                                    
17.已知向量    a    2 sin 2x, 2 cos 2x , b  cos,sin (  ) ,若 f (x)  a b ,且
                                                       2
                          
函数   f (x) 的图象关于直线     x   对称.
                           6
(Ⅰ)求函数       f (x) 的解析式,并求     f (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ)在    ABC  中,角    A 、 B 、 C 的对边分别为      a 、 b 、 c ,若 f (A)  2 ,且  b  5 ,

 c  2 3 ,求 ABC  外接圆的面积.


18.如图,在直三棱柱        ABC   A1B1C1 中, AC  BC  , AC   BC  AA1  2 ,点 P 为棱


 B1C1 的中点,点    Q 为线段   A1B 上一动点.


(Ⅰ)求证:当点        Q 为线段   A1B 的中点时,     PQ  平面   A1BC ;
           
(Ⅱ)设    BQ   BA1 ,试问:是否存在实数          ,使得平面     A1PQ  与平面   B1PQ 所成锐二面角

            30
的余弦值为          ?若存在,求出这个实数            ;若不存在,请说明理由.
           10

19.手机  QQ  中的“   QQ  运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以

看到朋友圈里好友的步数.小明的              QQ 朋友圈里有大量好友参与了“             QQ  运动”,他随机选

取了其中     30 名,其中男女各      15 名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
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      步

 性        数0,2500    2500,5000    5000,7500   7500,10000   10000,
      别

   男           0            2              4              7             2

   女           1            3              7              3             1

(Ⅰ)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明                      QQ  朋友圈里的男性好友中任意选取

3 名,其中走路步数低于          7500 步的有  X 名,求    X 的分布列和数学期望;

(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过                7500 步,此人将被“      QQ  运动”评定为“积极型”,

否则为“消极型”.根据题意完成下面的                 2 2 列联表,并据此判断能否有          95%  以上的把握认

为“评定类型”与“性别”有关?

                           积极型                 消极型                  总计

        男

        女

       总计

                n(ad  bc)2
附:   K 2                        .
          (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)

       2
   P(K   k0 )        0.10            0.05            0.025           0.01


       k0             2.706           3.841           5.024           6.635
               
20.已知倾斜角为        的直线经过抛物线         : y2  2 px( p  0) 的焦点 F ,与抛物线     相交于
               4
 A 、 B 两点,且    AB   8 .

(Ⅰ)求抛物线        的方程;


(Ⅱ)过点     P(12,8) 的两条直线    l1 、 l2 分别交抛物线    于点  C 、  D 和 E 、 F ,线段   CD  和


 EF 的中点分别为      M  、 N .如果直线    l1 与 l2 的倾斜角互余,求证:直线         MN  经过一定点.

21.已知函数     f x ax  ln x .

(Ⅰ)讨论      f x的单调性;
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                 1                        ax1
(Ⅱ)若                  ,求证:                     .
        a  ,  2          f x 2ax  xe
                 e 

请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.[选修   4-4:坐标系与参数方程]

                                    
在极坐标系中,已知圆          C 的圆心为     2 2,   ,半径为   2  2 .以极点为原点,极轴方向为
                                   4 

 x 轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线                         l 的参数方程为

    1
 x   t  3
    a     ( t 为参数,   a  R 且 a  0 ).
 y 1 t

(Ⅰ)写出圆      C 的极坐标方程和直线         l 的普通方程;

(Ⅱ)若直线      l 与圆 C 交于   A 、 B 两点,求    AB  的最小值.

23.[选修   4-5:不等式选讲]

设不等式     x 1  x 1  2 的解集为   A .

(Ⅰ)求集合      A ;

(Ⅱ)若    m   A ,不等式    mx2  2x 1 m  0 恒成立,求实数     x 的取值范围.
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                    荆州市  2018 届高三年级质量检查(Ⅲ)

                          数学(理科)参考答案

一、选择题

1-5: CBBBA      6-10: CDCAC     11、12:DC

二、填空题

     20             x2  y2
13.             14.     1          15. [4,3]           16. 2018
      3            24   8

三、解答题
                  
17.解:(Ⅰ)    f (x)  a b  2 sin 2x cos  2 cos 2xsin  2 sin(2x  ) ,
                                             
∵函数   f (x) 的图象关于直线   x   对称,∴   2     k  , k  Z ,
                         6           6          2
                                
∴  k   , k  Z ,又    ,∴     .
         6                2       6
                 
∴ f (x)  2 sin(2x  ) .
                 6
                                      3 
∵函数  y  sin x 的单调递减区间为     2k  ,2k     , k  Z .
                               2       2 

                    3                 2 
令 2x    2k   ,2k    ,∴  x  k   ,k     .
      6      2       2          6       3 

                              2 
∴ f (x) 的单调递减区间为     k   ,k     , k  Z .
                        6      3 
                                        
(Ⅱ)∵   f (A)  2 sin(2A  )  2 ,∴ sin(2A  ) 1.
                       6                 6
                      13                   
∵ A(0, ) ,∴ 2A     ,    ,∴ 2A      ,∴  A   .
                  6   6  6         6   2        6
                                                             
在 ABC 中,由余弦定理得      a2  b2  c2  2bc cos A  25 12  25 2 3 cos  7 ,
                                                             6

∴ a  7 .

            a          7
由正弦定理得          2R    ,∴  R   7 ,∴ S  7 .
           sin A      1
                      2


18.(Ⅰ)证明:法     1:连接   AB1 、 AC1 ,显然 A 、 Q 、 B1 三点共线.
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∵点  P 、 Q 分别为 B1C1 和 A1B 的中点,∴ PQ / / AC1 ;


在直三棱柱    ABC  A1B1C1 中, AC  BC ,∴ BC  平面 ACC1 A1 ,∴ BC  AC1 ,


又 AC  AA1 ,∴四边形  ACC1 A1 为正方形,∴  AC1  A1C ,


∵ A1C 、 BC  平面 ACC1 A1 ,∴ AC1  平面 A1BC ,


而 PQ / / AC1 ,∴ PQ  平面 A1BC .

法 2:(用向量法同等给分).


(Ⅱ)解:以    C 为原点,分别以    CA 、 CB 、 CC1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,


连接  A1P 、 B1Q ,设 Q(x, y, z) ,

                                   x  2
                           
∵ BQ  BA1 ,∴ (x, y  2, z)  (2,2,2) ,∴ y  2  2 ,∴ Q(2,2  2,2) .
                                   
                                   z  2

当点  Q 在线段  A1B 上运动时,∴平面    A1PQ 的法向量即为平面    A1PB 的法向量,
                                
                            
                              n1  BP  0 2x  y  0
设平面   A1PB 的法向量为  n1  (x, y, z) ,由   得   ,
                                          y  2z  0
                              n1  PA1  0 
        
令 y  2 得 n1  (1,2,1) ,
                                 
                            
                               n2  PB1  0 y  0
设平面  B1PQ 的法向量为   n2  (x, y, z) ,由   得       ,
                                           x  ( 1)z  0
                               n2  B1Q  0 
         1      1            
令 z 1得 n  (  ,0,1)  (1 ,0,) ,取 n  (1 ,0,) ,
        2                        2
        (1,2,1)(1 ,0,)   1         30
∵ cos  n1,n2                              ,
               6 (1 )2   2 6 2 2  2 1 10
                     1     2
∴ 9 2  9  2  0 ,∴   或   .
                     3     3
                                                            6  2
19.解:(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取           1 名,其中走路步数低于     7500 的概率为      .
                                                           15  5
 X 可能取值分别为    0,1,2,3,
              2  3    27             2  3    54
∴ P(X  0)  C 0 ( )0 ( )3  , P(X 1)  C1( )1( )2  ,
            3 5  5   125           3 5  5   125
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             2  3    36               2   3    8
P(X  2)  C 2 ( )2 ( )1  , P(X  3)  C3 ( )3 ( )0  ,
           3 5  5   125             3 5   5   125
                       积极型                消极型                总计

       男                  9                 6                15

       女                  4                11                15

      总计                 13                17                30

X 的分布列为

     X              0              1             2              3
                   27             54             36             8
     P
                   125           125            125            125
           27     54      36      8   6
则 E(X )  0  1     2     3     .
           125    125    125     125  5
(Ⅱ)完成    2 2 列联表

             30(911 6 4)2 750
k 2 的观测值 k                      3.394  3.841.
          0   15151317     221

据此判断没有    95% 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
                                        p
20.解:(Ⅰ)由题意可设直线         AB 的方程为   y  x  ,令  A(x , y ) , B(x , y ) .
                                        2        1 1      2 2

          p            2
   y  x     2       p
联立        2 得 x  3px    0 ,∴ x1  x2  3p ,
     2                 4
   y   2 px


根据抛物线的定义得,又         AB  x1  x2  p  4 p ,又 AB  8 ,∴ 4 p  8 ,∴ p  2 .

则此抛物线的方程为       y2  4x .


(Ⅱ)设直线    l1 、 l2 的倾斜角分别为   、  ,直线   l1 的斜率为 k ,则 k  tan .
                                              
                                           sin( )
                                   
由于直线   l 与 l 的倾斜角互余,则     tan   tan( )   2
       1   2                                  
                                    2      cos( )
                                              2
  cos    1      1
                 ,
  sin  sin   tan
        cos
              1
则直线  l 的斜率为     .
      2       k
于是直线   CD 的方程为    y 8  k(x 12) ,即 y  k(x 12)  8 ,
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   y  k(x 12)  8                              4
联立                得   2               ,∴            ,
     2             ky  4y  32  48k  0 yC  yD 
   y   4x                                       k
              4  16            2  8 2
则 x  x  24      ,∴  M (12    ,  ) ,
   C   D      k 2 k           k 2 k k
           1
同理将  k 换成   得:  N(12  2k 2 8k,2k) ,
           k
              1
            2(  k)
                             1
∴ k          k                 .
   MN    1         1      1
       2(   k 2 ) 8(  k)  k  4
         k 2       k      k
                          1
则直线  MN  的方程为   y  2k       [x  (12  2k 2 8k)] ,
                       1
                          k  4
                       k
   1     
即   k  4 y  x 10 ,显然当 x 10 , y  0 .
   k     

所以直线   MN  经过定点   (10,0) .
                     1  ax 1
21.解:(Ⅰ)    f '(x)  a     ,
                     x    x
∵ a  0 , f '(x)  0 在 (0,) 上恒成立,即 f x在 (0,) 上单调递减.
                          1                      1
当 a  0 时,由 f '(x)  0 ,得 x  ;由 f '(x)  0 ,得 0  x  ;
                          a                      a
综上:当   a  0 时, f x在 (0,) 上单调递减;

                  1              1   
当 a  0 时, f x在 0,  上单调递减,在     , 上单调递增.
                  a              a   

(Ⅱ)令   g(x)  f (x)  2ax  xeax1  xeax1  ax  ln x ,


         ax1   ax1   1         ax1 1 
则 g '(x)  e  axe  a   (ax 1)e    ,
                       x              x 

         1  xeax1 1
由于 eax1         ,设  r(x)  xeax1 1, r '(x)  (1 ax)eax1 ,
         x     x

                          1               1 
由 r '(x)  0 1 ax  0  x   ,所以 r(x) 在 0,  上单调递增;
                          a               a 

                          1             1    
由 r '(x)  0 1 ax  0  x   ,所以 r(x) 在   , 上单调递减.
                          a             a    
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            1     1                  1             1
∴                           (因为          ),从而    ax1     .
  r(x)max  r     ( 2 1)  0 a   2      e      0
            a    ae                  e             x

           1               1                           1 
则     在        上单调递减;在              上单调递增,∴                    ,
  g(x)  0,                ,             g(x)min  g   
           a               a                           a 

      1            1        t
设 t    0,e2  , g   h(t)   ln t 1(0  t  e2 ) ,
                           2
      a            a        e
      1  1
              ,    在    2  上递减,∴          2    ;
h'(t)  2   0 h(t) 0,e          h(t)  h(e )  0
      e  t               
∴ g(x)  0 ,故 f x 2ax  xeax1 .
              1
说明:判断    eax1  的符号时,还可以用以下方法判断:
              x
       1          1 ln x         1 ln x       ln x  2
由 eax1   0 得到 a     ,设  p(x)       , p '(x)     ,
       x             x              x             x2
当 x  e2 时, p '(x)  0 ;当 0  x  e2 时, p '(x)  0 .
                                                        1
从而  p(x) 在 (0,e2 ) 上递减,在 (e2 ,) 上递增. ∴ p(x)  p(e2 )   .
                                           min         e2
       1       1 ln x        1
当 a   时,  a       ,即  eax1   0 .
      e2          x           x
                                                  
22.解:(Ⅰ)法一:在极坐标系中,令            BOX    , AOX    ,
                                                  4
                                       
在 ABC 中,  AC 为直径,   OB    4 2 cos(  ) ,
                                        4
     1
  x  t  3
∵    a    消去参数   t 得直线  l 的普通方程为:    ax  y  3a 1  0 .
  y 1 t

法二:在直角坐标系中,圆         C 的圆心为   (2,2) ,则方程为  (x  2)2  (y  2)2  8.

即 x2  y2  4x  4y  0 ,∴  2  4 cos  4 sin  0 ,
                             
即   4cos  4sin  4 2 sin(  ) .
                             4
(Ⅱ)法一:直线过圆       C 内一定点    P(3,1) ,当 CP  AB 时, AB 有最小值,

                 2
∴ AB  2 R2  CP   2 8  2  2 6 .

                             1 a
法二:点   C(2,2) 到直线 l 的距离  d       ,
                             a2 1
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                            2
                2      (1 a)       2a
∴  AB  2 R2  CP  2 8      2 7     .
                        a2 1      a2 1

当 a 1时,  AB 有最小值  2  6 .

                                   2(x 1)
                                   
23.解:(Ⅰ)由已知,令      f (x)  x 1  x 1  2x(1 x 1) ,
                                   
                                   2(x  1)

由  f (x)  2 得 A  {x | 1 x 1}.

(Ⅱ)将不等式     mx2  2x 1 m  0 整理成 (x2 1)m  2x 1 0 ,

令 g(m)  (x2 1)m  2x 1 ,要使 g(m)  0 ,

  g(1)  (x2 1)(1)  2x 1 0
则                          ,
         2
  g(1)  (x 1)1 2x 1 0

          x2  2x  2  0 x  1 3或x  3 1
        ∴            ,∴                    ,∴   3 1 x  2 . 
           2            
          x  2x  0   0  x  2
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