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重庆市中山外国语学校2019届高三暑期补课效果检测数学(理)试题

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              重庆市中山外国语学校                    2019   届暑期补课效果检测
                                        理科数学

注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 
要求的。


1.若复数     z 满足(1+2i)z=1−i,则复数   z 为(       )[来源:Z。xx。k.Com]

 A. 1+ 3i             B.−1+ 3i               C. 1−3 i              D.−1−3i
   5  5                  5  5                  5    5                  5    5

2.已知集合      A=(−∞,−1]∪[1,+∞),B={y|y=logx,x∈[       1 ,4]},则 A∩B=(     )
                                             2      2

A.[−1,2]              B.[1,2]               C.{−1}∪[1,2]           D.[ −1,1]∪{2}

3.函数    f(x)=sinx+|sinx|的部分图象为
                 x


A.                    B.


C.                   D.

4.已知平面向量       a,b 满足  a =3,b =2,a 与 b 的夹角为    120°,若(a+mb)⊥a,       则实数   m 的值为(        )

  A.1                   B.3                     C.2                       D.3
                          2

5.祖暅是我国古代的伟大科学家,他在                 5 世纪末提出祖暅:“幂势即同,则积不容异”,意思是:夹在两
个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个
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几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的体 

积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图(1)是一个半径为                            R 的半球体,图(2)是从圆柱中挖去一 
个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为                        R)


利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在                    x-O-y 坐标系中,设抛物线       C 的方程为    y=1-x2(-1≤x≤1),将 

曲线   C 围绕  y 轴旋转,得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为(   ).

   π                    π                         2π                          3π
A.                   B.                         C.                         D.
   3                    2                          3                          4

              2  2
6.已知双曲线       x  −y =1a>0,b>0,四点  P     4,2,P  2,0,P   −4,3,P  4,3 中恰有三点在双曲线上,则该
             a2  b2                    1     2       3       4


双曲线的离心率为(             )[来源:学科网 ZXXK]

 A. 5                   B.5                      C.  7                      D.7
    2                     2                         2                         2

7.ΔABC   中,角    A、B、C  的对边分别为      a,b,c,若    a+ b+c=20,三角形面积为        10 3,A=60°,则

a=(     )

A.7                    B.8                       C.5                        D.6
8.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该书完善了珠算口诀,确立了算盘用法, 
完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框 
图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输入的                                a 值为  5,则输出的值为(          )
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 A.19                   B.35                         C. 67                    D.198

 9.等腰直角三角形        ABE 的斜边   AB 为正四面体     ABCD 侧棱,直角边     AE 绕斜边   AB 旋转,则在旋转的过程中, 
 有下列说法:


[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

 (1)四面体      E−BCD 的体积有最大值和最小值;

 (2)存在某个位置,使得           AE ⊥BD;

 (3)设二面角       D−AB −E 的平面角为    θ,则  θ≥∠DAE;
 (4)AE   的中点   M  与 AB 的中点   N 连线交平面     BCD 于点   P,则点   P 的轨迹为椭圆.
 其中,正确说法的个数是(                )

 A.1                   B.2                       C.3                         D.4
                                              1−2,xx∈[0,1)
 10.定义在    R 上的奇函数     f(x),当 x≥0 时,f(x) =                     ,则关于    x 的函数  F(x)=f(x)− a(0<
                                              1−|x−3|,x ∈[1, +∞).
 a<1)的所有零点之和为(             )

     a                         −a
 A. 2 −1               B.1−2                     C.−  log2(1+a)             D. log2(1− a)

                       2
 11.已知二次函数       f(x)=ax +bx (b ≤2a),定义  f1(x)=maxf(t) −1≤t≤x≤1,f2(x)=minf(t) −

 1≤t≤x≤1,其中      maxa,b 表示  a,b 中的较大者,mina,b     表示  a,b 中的较小者,下列命题正确的是

 A.若  f1(−1)=f1(1),则 f(−1)>f(1)                  B.若 f2( −1)=f2(1),则 f(−1)>f(1)

 C.若  f2(1)=f1( −1),则 f1( −1)f2(1)

 12. 已知圆   C 与 x 轴相切于点    T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点        A,B(B 在 A 的上方)且   AB=2,过点  A 任作一条直

 线与圆    O:x2+y2=1 相交于 M、N  两点,下列三个结论:①NA=MA;②NB−MA=2;③NB+MA=22          其中正确结论
                                               NB  MB   NA  MB        NA MB

 的序号是

 A.①②                   B.②③                    C.①③                         D.①②③


 二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。、

 13.若不等式|mx3−lnx|≥1(m>0),对∀x∈(0,1]恒成立,则实数             m 的取值范围是                           .

                           x −y −1≤0,                                                  1
    14.已知   x,y 满足约束条件              当目标函数     z=ax+by( a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值          4, +
                           2x−y −3≥0,                                                     a

 1 的最小值为             .
 b

 15.若   sin(π−α)=1,则 cos(π +2α)=        .
           3     4        3

 16.已知三棱锥       ABCD  中,    BCCD,ABAD          2,BC1,CD     3,则该三棱锥外接球的体积
                         中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台


为.


三、解答题:共        70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                     17~21  题为必考题,每个试题考 
生都必须作答。第         22、23 为选考题。考生根据要求作答。

(一)必考题:共        60 分。

17.已知等差数列        an 中,a1=2,a2+ a4=16.

            an
(1)设    bn=2 ,求证:数列       bn 是等比数列;

(2)求    an+bn 的前 n 项和.


18.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记 

住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的. 

根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了                                       50 名魔方爱好 

者进行调查,得到的情况如下表所示:

            喜欢盲拧           不喜欢盲拧             总计

男           22               ▲               30

女             ▲            12                ▲

总计            ▲              ▲               50

                          表 1

并邀请这     30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:

成功完成时间(分钟)            [0,10)  [10,20)  [20,30)   [30,40]

人数                    10      10       5         5

                          表 2

(1)将表     1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过                  0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?
                         中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台


(2)根据表      2 中的数据,求这      30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值

代替);

                                2
附参考公式及数据:K2=               n(ad−bc)  ,其中   n=a+ b+ c+ d.
                       (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

             0.10    0.05   0.025  0.010   0.005  0.001

 (−1,+∞)     2.706   3.841  5.024  6.635   7.879  10.828


19.如图,四棱锥       P−ABCD       中,底面    ABCD      是直角梯形, 

AB//CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面     PAD⊥底面   ABCD,且 ΔPAD  是

以  AD 为底的等腰三角形.

(Ⅰ)证明:AD⊥PB

                                3
(Ⅱ)若四棱锥        P−ABCD 的体积等于      问:是否存在过点         C 的平面
                                 .2
CMN  分别交   AB,PB 于点   M,N,使得平面      CMN//平面   PAD?若存在

    , 求出   ΔCMN  的面积;若不存在,请说明理由.


20.如图,在平面直角坐标系            xOy 中,已知点    T(1,t)(t<0)到抛 
物线   y2=2px(p>0)焦点的距离为    2.
(1)求    p,t 的值;
(2)设    A,B 是抛物线上异于      T 的两个不同点,过       A 作 y 轴的 
垂线,与直线       TB 交于点  C,过   B 作 y 轴的垂线,与直线       TA 交 
于点   D,过  T 作 y 轴的垂线,与直线        AB,CD 分别交于点    E,F. 
求证:①直线       CD 的斜率为定值;

②T  是线段   EF 的中点.
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 21.已知函数      f(x)=lnx-ax+a,a∈R.
 (1)若    a=1,求函数     f(x)的极值;
 (2)若函数      f(x)有两个零点,求     a 的取值范围;

 (3)对于曲线       y=f(x)上的两个不同的点       P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),记直线  PQ 的斜率为    k,若   y=f(x)的导 

                    x +x
 函数为    f′(x),证明:f'( 1 2)5.024
                                  30×20×30×20    9
所以能在犯错误的概率不超过             0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

(2)依题意,所求平均时间为             5 ×1+15×1+25×1+35×1=20+10=50(分钟)
                               3      3      6      6  3      3

19.

(Ⅰ)证明:取       AD 的中点   G,连接    PG,GB,


∵PA=PD,

∴PG⊥AD.

∵AB=AD  且∠DAB=60°,

∴ΔABD  是正三角形,且       BG⊥AD, 
又∵PG∩BG=G,PG,BG⊂平面       PGB

∴AD⊥平面    PGB,且   PB ⊂平面  PGB

∴AD⊥PB
(Ⅱ)解:存在,理由如下:

分别取   PB,AB 的中点   M,N,连接    CM,MN,NC,则   MN//PA;

                           1 
∵ABCD  是梯形,DC//AB    且  DC= AB,
                            2

∴DC//AN  且 DC=AN,则四边形      ABCD 为平行四边形,

∴NC//AD

又∵MN,NC⊄     平面  PAD,AP,AD⊂平面    PAD

∴MN//平面    PAD,NC//平面   PAD 且 MN,NC⊂平面    CMN,MN∩NC=N
∴平面   CMN//平面   PAD

∵侧面   PAD⊥ABCD,且平面      PAD∩平面    ABCD=AD

由(Ⅰ)知,PG⊥平面         ABCD,若四棱锥     P−ABCD 的体积等于      3,
                                                     2

则  PG=  3,所以   MN=1,NC=2

在  ΔPBC 和 ΔMBC 中,PB=BC =   2
                  BC BM

∴ΔPBC∼ΔMBC,则     CM=    3

                              1         3
∴ΔCBM 是直角三角形,则         SΔCMN= ⋅CM⋅MN=   .
                              2             2
20.

                      p
(1)由抛物线定义知,1+          =2
                        2
所以  p=2,

将点  T(1,t)(t<0)代入抛物线得    y2=4x,t=2

          2      2
         y 1    y 2
 (2)设   A(   ,y),B( ,y2)
          4 1    4
                        y +2
①则直线    TA 的方程为:y+2=     1 (x−1)
                           2
                          y 1−1
                           4

              (y +2)(y −2)      (y +2)(y −2)
令  y=y2 得,x=   2  2  +1,所以    D( 2   2 +1,y )
                 4                 4       2

同理  D((y1+2)(y1−2)+1,y)
          4       1

                       y2−y1      y2−y1
所以直线    CD 的斜率为(y   +2)(y −2) (y +2)(y −2) = 4(y −y ) =−1(定值)
                    2  1 − 1 2     1 2
                     4      4      4

②设点   E,F 的横坐标分别为      xE,xF

                                   (y +2)(y −2)
由①知,直线      CD 的方程为:y−y1=−x +       1  2  +1
                                      4

                      (y +2)(y −2)
令  y=−2 得,xF=2+y1+     1  2  +1
                         4

又直线   AB 的方程为:y−y     =    4
                      1      (x−x1)
                         y1+y2

                   (y +2)(y +y )
令  y=−2 得,xE=x1−    1  1 2
                      4

           (y +2)(y +y ) (y +2)(y −2)
         x − 1 1   2 +2+y + 1 2 +1 2
 所以  xE+xF= 1 4     1   4   =4x1−y1 −2y1−y1y2−2y2+8+4y1+y1y2+2y2−2y1−4+4
     2             2                        8

     2
=4x1−y1 +8=1 所以 T 是线段 EF 的中点.
    8
21.

(1)f'(x) =1−a=1−ax,x>0,
          x      x

        当 a≤0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;

        当 a>0 时,x∈(0,1 ), f'(x)>0,f(x)在(0,1 ),上单调递增;
                         a                 a

                   x ∈(1 ,+∞), f'(x)<0,f(x)在(1 ,+∞),上单调递减,
                       a                    a

        函数有极大值      f(1)=a−lna−1,无极小值.
                      a

(2)由(1)可知当        a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调增,不可能有两个零点;

当  a>0 时,函数有极大值        f(1 )=a−lna−1,
                        a

       令 g(x)=x −lnx−1(x>0),g'(x)=1−1=x−1,
                                        x  x[来源:

                                          学&科&网]

       x ∈(0,1),g'(x)<0,g(x)<0 在(0,1)上单调递减;
       x ∈(1,+∞),g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,
       函数  g(x)有最小值   g(1)=0.
       要使若函数     f(x)有两个零点时,必须满足         a>0 且 a≠1, 下
       面证明   a>0 且 a≠1 时,函数有两个零点.
       因为  f(1)=0,
       所以下面证明      f(x)还有另一个零点.

                      1
       ①当  00,
                        a

                              2        2
       f(1)=−2lna+a −1=−2a lna+a−1=−2alna−a+1,
        a2            a     a         a

       令 h(a)=2alna−  a2+1(0h(1)=0,则     f( )<0,
                                             a2

                1 1                  1
       所以  f(x)在( , )上有零点,又     f(x)在( ,+∞)上单调递减,
                 a  a2                 a

                1 1  
       所以  f(x)在( , )上有惟一零点,从而       f(x)有两个零点.
                 a  a2

                    1
       ②当  a>1 时,f(  )=a−lna−1>0,
                     a

        1       1      1 
       f( )=−a −a× +a=−a× <0,
        ea         ea        ea

                     1 1
       易证  ea>a,可得    < ,
                     ea  a

                1  1                 1
       所以  f(x)在( , )上有零点,又     f(x)在( ,+∞)上单调递减,
                 ea   a               a

                1  1 
       所以  f(x)在( , )上有惟一零点,从而        f(x)有两个零点.
                 ea   a

        综上,a    的范围是(0,1)∪(1,+∞).

(3)证明:f(x1)−f(x2)=lnx1−lnx2+a(x2−x1),

        k=f(x1)−f(x2)=lnx1−lnx2+a(x2−x1)=lnx1−lnx2−a,
          x1−x2     x1−x2     x1−x2

      又 f'(x)=1−a=1−ax,f'(x1+x2)=   2 −a,
             x      x     2    x1+x2

      f'(x1+x2)−k= 2   −lnx1−lnx2=1   [2(x1−x2)−lnx1]
         2      x1+x2  x1−x2 x1−x2 x1+x2 x2
                       2(x1−1)
                   1    x2    x1
                 =    [ x1  −ln ]
                  x1−x2  +1    x2
                        x2

      不妨设   0<x2<x1,t=      ,则   t>1,
        2(x1−1)
      则 x2     x1 2(t−1) .
         x1 −ln =    −lnt
          +1    x2 t+1
         x2

      令 h(t)=2(t−1)−lnt(t>1),
              t+1

                 2
      则 h'(t)=−(t−1) <0,
               (1+t)2t

因此  h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以          h(t)<h(1)=0.
又  0<x2<x1,所以     x1-x2>0,

所以  f′(     )-k<0,即    f′(     )<k.
22.

(1)由已知     sinθ=x+y,cosθ=x−y,由  sin2θ+ cos2θ=1,消
                   2         2

                   x+y 2  x−y 2
去 θ  得:普通方程为            +      =1,化简得    x2+ y2=2
                    2      2

               π
(2)由   2 ρsin(  -θ)+1=0 知  ρ(cosθ−sinθ)+1=0,
                4     2                     2

化为普通方程为       x−y+1=0,
                    2

所以圆心到直线       l 的距离  h=  2,由垂径定理      AB =  30
                          4                   2
23.

(1)当   m=−1  时,f(x)=|x −1|+ |2x−1|,

①当  x≥1  时,f(x)=3x−2≤2,解得      1≤x≤4;
                                           3

②当   1
	
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