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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:第五章 数列 31 Word版含答案

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课时作业     31 数列求和


    1.(2017·北京卷)已知等差数列{an}           和等比数列{bn}满足      a1=

b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

    (1)求{an}的通项公式;

    (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.

    解析:(1)设等差数列{an}的公差为          d.

    因为  a2+a4=10,所以     2a1+4d=10,

    解得  d=2,所以    an=2n-1.

    (2)设等比数列{bn}的公比为        q,
                          3          2
    因为  b2b4=a5,所以   b1qb1q =9,解得   q =3,
                 2n-2  n-1
    所以  b2n-1=b1q   =3   .
                                                3n-1
                                    2      n-1
    从而  b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+3      +…+3      =  2 .
    2.(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{an}满足

a1=-2,an+1=2an+4.

    (1)证明:数列{an+4}是等比数列;

    (2)求数列{|an|}的前   n 项和 Sn.

    解析:(1)证明:∵a1=-2,∴a1+4=2.

    ∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4),
      an+1+4
    ∴  an+4 =2,

    ∴{an+4}是以    2 为首项,2   为公比的等比数列.
                        n        n
    (2)由(1),可知   an+4=2  ,∴an=2   -4.

    当 n=1  时,a1=-2<0,∴S1=|a1|=2;

    当 n≥2  时,an≥0.
                              2           n
    ∴Sn=-a1+a2+…+an=2+(2       -4)+…+(2    -4)=2+
                   21-2n
22+…+2n-4(n-1)=      1-2 -4(n-1)=2n+1-4n+2.
    又当  n=1  时,上式也满足.
             *        n+1
    ∴当  n∈N  时,Sn=2     -4n+2.

    3.(2018·西安质检)等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前

n 项和为   Sn;数列{bn}为等比数列,b1=1,且          b2S2=6,b2+S3=8.

    (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
        1   1      1
    (2)求S1+S2+…+Sn.

    解析:(1)设等差数列{an}的公差为          d,d>0,{bn}的公比为      q,
                         n-1
    则 an=1+(n-1)d,bn=q      .
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    依题意有Error!,
    解得Error!,或Error!(舍去).
                 n-1
    故 an=n,bn=2     .
                             1

    (2)由(1)知 Sn=1+2+…+n=2n(n+1),
    1     2     1   1
    Sn=nn+1=2(n-n+1),
      1   1      1       1   1  1       1  1          1
    ∵S1+S2+…+Sn=2[(1-2)+(2-3)+…+(n-n+1)]=2(1-n+1)
   2n
=n+1.

    4.(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{an}的前               n 项和为

Sn,且  Sn=2an-2.

    (1)求数列{an}的通项公式;
             n+1

    (2)若数列{  an }的前 n 项和为   Tn,求证:1≤Tn<3.
    解析:(1)当   n=1  时,a1=2.

    当 n≥2  时,Sn-1=2an-1-2,
                                          an
                                          -
    所以  an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),即an     1=2(n≥2,
n∈N*),

    所以数列{an}是首项为       2,公比为     2 的等比数列,故      an=
2n(n∈N*).
                  n+1  n+1

    (2)证明:令   bn=  an = 2n ,
          3   3  4      n+1

    则 Tn=21+22+23+…+     2n ,①
        1   1    2  3   4      n  n+1
                                   +
    ①×2,得2Tn=22+23+24+…+2n+2n        1,②
              1   3  n+3               n+3
                      +
    ①-②,得2Tn=2-2n      1,整理得    Tn=3-   2n ,
             *
    由于  n∈N  ,显然    Tn<3.
            n+3   cn+1  n+4
                         +
    又令  cn= 2n ,则  cn =2n 6<1,所以    cn>cn+1,
        n+3

    所以  2n ≤c1=2,所以    Tn≥1.
    故 1≤Tn<3.

    5.(2018·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前                n 项和为

Sn,已知   a1=9,a2 为整数,且     Sn≤S5.

    (1)求{an}的通项公式;
               1                           4
               +
    (2)设数列{anan  1}的前 n 项和为   Tn,求证:Tn≤9.
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    解析:(1)由   a1=9,a2  为整数可知,等差数列{an}的公差            d 为整
数.

    又 Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0,
    于是  9+4d≥0,9+5d≤0,
          9      9
    解得-4≤d≤-5.
    ∵d 为整数,∴d=-2.

    故{an}的通项公式为      an=11-2n.
                      1         1        1 1    1
                                             -
    (2)证明:由(1),得anan+1=11-2n9-2n=2(9-2n    11-2n),
         1          1  1  1
                         -
                      -
    ∴Tn=2Error!Error!=2(9 2n 9).
           1                1
           -               -
    令 bn=9  2n,由函数    f(x)=9 2x的图象关于点(4.5,0)对称及其单
调性,知    0
	
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