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2.2.3直线与平面平行的性质

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    课桌边沿所在直线与地面平行,那它
与底面上的直线都有什么位置关系呢?
2.2.3 直线与平面平行的性质
            教学目标

     知识与能力

掌握直线与平面平行的性质定理及其应用。

     过程与方法

学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质
及应用。
      情感态度与价值观

进一步提高学生空间想象能力、思维能力。

进一步体会类比的作用。

进一步渗透等价转化的思想。
       教学重难点

     重点

性质定理。

     难点

性质定理的证明。
性质定理的正确运用。
      探
      究

   (1)如果直线a与平面α平行,那么直线a与平
面α内的直线有哪些位置关系?
       a                  a

       b                     b
α                  α
    直线a平行于平面α,则a不可能与α相
交,a与b的关系只可能是异面或平行。
                   β
    (2)已知直线     a∥平面α,如何在平面α内                        a
找出和直线     a 平行的一条直线?
                                                b
                 α

   因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是
平行就是异面,所以只要a与b在一个平面内,
就能保证a//b。
直线和平面平行的性质定理:

  一条直线与一个平面平行,则过这条直线
的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

符号表示:
           a // 
                 
           a     a// b
                 
           

面面相交、线面平行          线线平行
 已知:如图,a ∥α,a         β,α∩β=b,
                               β
 求证:a ∥b。                                                         a

证明:因为α∩β=b,
     所以    β,
         b                                                   b
     又因为a ∥α,
     所以a,b无公共点,               α


     又  a   β,b  β,
     所以a∥b。
  注意:使用定理时,必须具备三个条件:
 (1)直线a与平面α平行。
 (2)平面α与平面β相交于直线b。
 (3)直线a在平面ββ内。
   三个条件缺一不可,缺少其中任何一条,则                             a
结论就不一定成立了。
                                              b
              α
           思
           考
  (1)若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直线a
平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?
                     a


            α

        有无数条,这些直线相互平行。
  (2)如果直线a与平面α平行,那么经过直线a的
平面与平面α有几种位置关系?

         a                    a


 α                      α
  (3)如果直线a与平面α平行,经过直线a的平面与
平面α相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?

                   a

                    b
              α
       例五

如图所示的一块木料中,棱BC//平面A'C',
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,
应该怎样画线?
(2)所画的线和平面AC是什么位置关系?
              D′
                 P
          A′               C′
                       B′
            D
                          C
        A              B
    解:(1)在平面A'C'内,过点P作直线EF,
使EF ∥  B'C',并分别交棱A'B',C'D'于点E,F。
连BE,CF.则EF,BE,CF就是应画的线。
             D′
                    F
                P
        A′                C′
               E     B′
          D
                        C

      A              B
   (2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与
平面A'C'交于B'C',所以,BC ∥      B'C'.由1知,
EF ∥ B'C' ,所以EF ∥  BC,因此EF ∥    BC,
EF不在平面AC,BC在平面AC上,从而EF ∥
平面AC.  BE,CF显然都与面AC相交。
            D′
                   F
               P
        A′               C′
              E     B′
         D
                        C
      A             B
        例六
     求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直
 线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
   已知:直线a//直线b,平面α
交平面β于直线l。                           l
   求证:a//l,  b//l。
   证明:
                                  a    b
   因为a//b,
   根据直线与平面平行的判定定理,             α         β
   直线a//面β,
   又根据直线与平面平行的性质定理,
   直线a//直线l,
   同理,直线b//直线l。
              课堂小结

线面平行的判定定理           线线平行           线面平行

     平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
   则该直线与此平面平行。

线面平行的性质定理            线面平行         线线平行

    一条直线与一个平面平行,则过这条直线的
  任一平面与此平面的交线与该直线平行。
      直线与平面之间的位置关系同直线与
  直线之间的位置关系的相互转化是立体几何
  的一种重要思想。

在解决问题时注意转化思想的应用如在例题四中

         转化为             转化为
线线平行            线面平行            线线平行
              随堂练习

    1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线
(  D )
   A.   只和这个平面内一条直线平行
   B.   只和这个平面内两条相交直线不相交
   C.   和这个平面内的任意直线都平行
   D.   和这个平面内的任意直线都不相交
   2.直线a ∥平面α,平面α内有n条互相平行的直
  线,那么这n条直线和直线a(           C)
  A.  全平行
  B.  全异面
  C.  全平行或全异面
  D.  不全平行或不全异面

    3.直线a∥平面α,平面α内有n条交于一点的
直线,那么这n条直线和直线a 平行的            (   B)
 A.至少有一条        B.至多有一条
 C.有且只有一条        D.不可能有
      4.已知平面外的两条平行直线中的一条平行
   于这个平面,求证另一条也平行于这个平面。

           b       如图,已知直线a,b和
   a               平面α ,a∥b,a∥α , a,
                   b都在平面α外     。
     c             求证:    ∥
α                        b α  
   5.已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,画出
过G和AP的平面。
             P

                  M

              G
           D            C
              H
                O
         A          B
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