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1.2.2空间中的平行关系(1-2)

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1.2.2空间中的平行关系
1、平行直线

 初中知识回顾:

 (1)平行直线   ----在同一平面内,不相交的的两条直线
 (2)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知
 直线平行
 (3)性质:平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,
 则这两条直线也互相平行.

  性质(3)推广到空间,作为空间平行直线的基本性质:
 基本性质4     平行于   同一条直线的两条直线平行
基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

 若a∥b,b∥c,      则  a∥c。

                       c
              a

                    b
         α

 性质4又叫做空间平行线的传递性
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别
平行,并且方向相同,那么这两个角相等.


  已知:                                                                                      BAC                                          和                                        B               '       A             '     C                 '的边                                                 AB                               //                  A             '      B               '     ,          AC                                 //                 A              '     C                '     ,

    并且角的方向相同求证:                                                                      BAC                            B     '  A     ' C     '                                                  .


                                                                                                                            B '
                                                                                                                 D '  .

                                                                                                            E '  .          C '
                                                                              A ' β


                                                                                                                         .      B

                                                                                                                          D
                                                                                                                    ..
                                                                                A                                              C
                                                                                 α                                E
如图(1)所示:顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成
的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空
间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空
间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四
边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表
示.如图(2)中的空间四边形ABCD,线段AC,BD是它的
对角线.
        A                   A


  B       D                    D
       C             B      C

    (1)                  (2)
                例1:已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边的
                  AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行
                四边形


证明                                 :      在                        ABD                             中              ,
                                                                                                                                                                                                                                                A
  因为                                                             :             E                   ,            H                     分别是                                                                                        AB                                   ,             AD                                      的中点                                                                                       ,


                                                                                                                                                                                                    1
   所以                                          :         EH                               //              BD                          ,        EH                                                        E         BD                         .
                                                                                                                                                                                                    2                                                                       H

                                                                                                                                                                                                                            1
    同理                                          ,        FG                               //               BD                            ,      且                     FG                                                                    BD                           .
                                                                                                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                                                B                                                                                                          D
 所以                                               :          EH                                   //                FG                              ,        EH                                                 FFG                                  .                   G
                                                                                                                                                                                                                                                       C

  所以                                                               :          四边形                                                                                          EFGH                                                                               是平行四边形                                                                                                                                                                                   .
 2.直线与平面平行
(1).空间直线与平面的位置关系有哪几种?

 直线a在平面内   直线a与平面相交   直线a与平面平行

                             a
                a
     B
   A  a           A
                       

   a       a∩=A         a//
 (2).如何判定一条直线和一个平面平行呢?
 抽象概括:
 直线与平面平行的判定定理
   如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直
 线平行,那么这条直线和这个平面平行.
                                a
即:a    
    
   b          a //
                              b
    b//a

   简述为:线线平行线面平行              a//
  证明直线与平面平行,三个条件必须具
备,才能得到线面平行的结论.

 三个条件中注意:“不在平面内,在平
 面内、平行”
    线线平行         线面平行

运用定理的关键是找平行线;
找平行线又经常会用到三角形中位线定理. 
例2.已知空间四边形ABCD中,  E,F分别为AB,AD
的中点
求证:EF//平面BCD.
                             A
证明:如图,连接BD,在△ABD中, 
因为  E,F分别为AB,AD的中点,
                         E    F
所以  EF ∥BD,
                             D     C

又  因  为  BD    平面    BCD,B
            EF  平面   BCD,
所以  EF ∥平面BCD。
 (3)线面平行的性质
问题1:命题“若直线l平行于平面α,则直
  线l平行于平面α内的一切直线.”对吗?

                     l

                c
                   b


         
 直线和平面平行的性质定理
(1)文字语言:如果一条直线和一个平
面平行,经过这条直线的平面和这个平
面相交,那么这条直线就和交线平行. 


                      a
(2)图形语言:


                     b


                
              a//α
( )  符号语言:
  3           a      β
                        a//b
             α∩β=b
                                            l      
例2. 求证:如果过一个平面内一点的直线
平行于与该平面平行的一条直线,则这条
直线在这个平面内。
已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l,


求证:m       α.
证明:设l与P确定的平面为β,                                         m
且α∩β=m’,                                         P
则l //m’,又知l //m,                            m'
m∩m’=P,                 
                                  l       


由平行公理可知,m与m’重合.


所以m        α. 
                                               m
                                        P
                                 m'
                                       D1
                                                                       C1

                       A1
  、如图,在正方体                       六个表面
(3)              ABCD——A1B1C1D1                           B1
中,

(Ⅰ)与AB平行的直线有:A1B1、CD、C1D1
(Ⅱ)与AB平行的平面有:
                      平面A1C1、平面D1C

                                    D
                                                                       C

                          A                              B
                小结
基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且
方向相同,那么这两个角相等.
直线与平面平行的判定定理

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与
此平面平行.
直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平
面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。
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