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2014年天津高考数学理参考答案及解析

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高中数学审核员

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2014 年天津高考数学理参考答案及解析
一、选择题
题号       1       2        3       4        5       6        7       8
答案       A       B        B       D        A       D        C       C
                       7 + i
                            =
(1)  i 是虚数单位,复数       3+  4i  (  )

                                     17   31          17   25
                                        +   i        -   +    i
    (A)1-   i     (B)-  1+ i   (C)   25   25   (D)     7    7

          7 + i   (7 + i)(3- 4i)  25-  25i
               =                =         = 1- i
          3+ 4i   (3+ 4i)(3- 4i)     25
解:A                                             .

                             x  y  2  0,                 y
                             
                             x  y  2  0,               2
                             y  1,
(2)设变量     x , y 满足约束条件                  则目标函数            1
                                                                           x
                                                          O       2
 z  x  2y 的最小值为(  )
                                                          -2
    (A)2        (B)3      (C)4           (D)5
解:B      作出可行域,如图
                             (1,1)
结合图象可知,当目标函数通过点                   时,  z 取得最小值     3.


(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的                      S 的值为(  )
(A)15         (B)105
(C)245        (D)945

解:B      i = 1时,T   = 3 , S = 3; i = 2 时,T  = 5 , S = 15 ;
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i = 3时,T   = 7 , S = 105 , i = 4 输出 S = 105 .

                      2
          f (x)= log 1 (x - 4)
(4)函数              2        的单调递增区间是(  )
     (0,+ ¥ )            (- ¥ ,0)
(A)                 (B)
     (2,+ ¥ )            (- ¥ ,- 2)
(C)                 (D)

            2                                                f (x)
解:D        x - 4 > 0 ,解得  x < - 2 或 x > 2 .由复合函数的单调性知            的单调递增区
    (- ¥ ,- 2)
间为           .

               x2   y2
                  -    = 1
                2    2    (a > 0,b > 0)                          =    +
(5)已知双曲线       a    b                 的一条渐近线平行于直线           l : y  2x   10 ,

双曲线的一个焦点在直线           l 上,则双曲线的方程为(  )

      x2   y2                   x2   y2
        -    = 1                  -    = 1
(A)   5   20              (B)   20   5

      3x2  3y2                 3x2   3y2
         -     = 1                -     = 1
(C)   25   100          (D)    100   25
                  ïì b = 2a
                  ï
                  íï c = 5
                  ï
                  ï 2    2   2
                  îï c = a + b       a2 = 5  b2 = 20
解:A       依题意得                 ,所以         ,         ,双曲线的                   A
       x2  y2
         -    = 1
                                                                              C
方程为    5   20    .                                               B        E

                                                                        D
(6)如图,     DABC   是圆的内接三角形,ÐBAC           的平分线交圆于点        D ,
                                                                      F
交  BC 于点  E ,过点   B 的圆的切线与      AD  的延长线交于点       F .在上述条件

                                              2
下,给出下列四个结论:①             BD 平分ÐCBF    ;②   FB  =  FD×FA  ;③

 AE ×CE = BE ×DE  ;④   AF ×BD =  AB×BF  .
则所有正确结论的序号是(  )
(A)①②         (B)③④         (C)①②③          (D)①②④

解:D             由弦切角定理得ÐFBD         = ÐEAC  = ÐBAE  ,又ÐBFD     = ÐAFB  ,所以

                      BF    BD
                          =
DBFD   ∽ DAFB   ,所以   AF    AB  ,即  AF ×BD  = AB×BF  ,排除    A、C.
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又ÐFBD    = ÐEAC  = ÐDBC   ,排除   B.

           Î                     a a > b b
(7)设   a,b   R ,则|“  a > b ”是“            ”的(  )
(A)充要不必要条件             (B)必要不充分条件
(C)充要条件                (D)既不充要也不必要条件
                                      ïì x2 , x ³ 0
                               f (x)= íï
                f (x)= x x            ï - x2 , x < 0   f (x)
解:C           设            ,则         îï        ,所以        是  R 上的增函数,“
            a a > b b
 a > b ”是“           ”的充要条件.

                                           
(8)已知菱形      ABCD  的边长为     2,ÐBAD   = 120 ,点   E, F 分别在边   BC, DC 上,

                                           2
                                CE ×CF = -
                 = m                                     l + m=
 BE = l BC , DF     DC  .若 AE ×AF = 1,             3 ,则          (    )

      1          2          5          7
(A)   2     (B)  3     (C)  6     (D)  12
                                   
                                                          
                               AB×AD   = AB  ×AD  ×cos120 = - 2
解:C      因为ÐBAD    = 120  ,所以                                   .
                                
                                           = m   +
因为  BE  = l BC ,所以   AE =  AB + l AD , AF     AB    AD .

                                                    3
             (AB  + l AD)×(mAB +  AD)=  1    2l + 2m-  l m=
因为   AE ×AF = 1,所以                               ,即                 2   ①

                       2                     5
        l m- l - m=  -               l + m=
同理可得                   3   ②,①+②得            6 .

第Ⅱ卷
注意事项:
    1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
    2.本卷共    12 小题,共    110 分。
二、填空题(本大题共          6 个小题,每小题       5 分,共  30 分.把答案填在题中横线上.)
(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层
                                                                                       2
抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为                        300 的样本进行调查.
已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为                            :  :  :  ,
                                                       4  5  5  6                      4
则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
                                                                        2          2
                                   4                                    4          4
                        300´             =  60                        侧 侧 侧      侧 侧 侧
解:60      应从一年级抽取            4 + 5 + 5 + 6    名.
(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

         3
_______ m .                                                           侧 侧 侧
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     20p                           1    2     20p
                            p ×4 +  p ×2 ×2 =       3
解:    3      该几何体的体积为              3           3  m  .

        {a }         a                      S                S ,S ,S
(11)设     n  是首项为     1 ,公差为-1  的等差数列,        n 为其前  n 项和.若   1  2  4 成等比数
      a
列,则    1 的值为__________.

      1                                                              1
    -                 2                    2                   a = -
                    S  = S S       (2a  - 1) = a (4a - 6)       1
解:    2     依题意得     2    1 4 ,所以     1         1  1     ,解得         2 .

                                                            1
                                                     b - c =  a
(12)在   DABC   中,内角    A, B,C 所对的边分别是      a,b,c .已知        4  ,

 2sin B = 3sinC ,则 cos A 的值为_______.

      1                                               3c
    -                                             b =
解:    4     因为  2sin B = 3sinC ,所以  2b = 3c ,解得       2 ,  a = 2c .

            b2 + c2 - a2   1
    cos A =            = -
所以              2bc        4 .

                                  r =     q       r   q =
(13)在以    O 为极点的极坐标系中,圆               4sin 和直线     sin    a 相交于  A, B 两点.若

DAOB   是等边三角形,则        a 的值为___________.

                              2
                   x2 + (y - 2) = 4          =
解:3      圆的方程为                     ,直线为    y   a .
                                              æa    ö
                                              ç   ,a÷
                                              èç    ø÷
因为  DAOB   是等边三角形,所以其中一个交点坐标为                    3   ,代入圆的方程可得         a = 3.
               f (x)= x2 + 3x                                        y
(14)已知函数                     , x Î R .若方程
 f (x)- a x - 1 = 0
                  恰有  4 个互异的实数根,则实数          a 的取值范围为
__________.
                                                                             x
解:  0 < a < 1或 a > 9                                              3  O 1

显然  a > 0 .

        y = - a x - 1         2                        f x  - a x - 1 = 0
(ⅰ)当           (    )与  y = - x - 3x 相切时,   a = 1,此时    (  )            恰有
3 个互异的实数根.
                                                                        此时
            y = a x - 1            2                            y
(ⅱ)当直线           (    )与函数    y = x + 3x 相切时,    a = 9 ,


                                                             3 O 1   x
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 f (x)- a x - 1 = 0
                  恰有  2 个互异的实数根.

结合图象可知      0 < a < 1或 a > 9 .

                         x2 + 3x
                     a =
                          x - 1
解  2:显然   a ¹ 1,所以               .
                                                      y
                      4
               a = t +  + 5
令 t = x - 1,则         t     .
                                                       9
        4                                              1
    t +  Î (- ¥ ,- 4][4,+ ¥ )                                 t
因为      t                    ,                         O

        4
    t +  + 5 Î (- ¥ ,1][9,+ ¥ )
所以      t                      .

结合图象可得      0 < a < 1或 a > 9 .


三、解答题(本题共         6 道大题,满分      80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.)
(15)(本小题满分        13 分)

                                    2     3
         f x cos x sin x    3 cos x 
已知函数                       3              4 ,  x  R .
         f x
(Ⅰ)求         的最小正周期;
                          
                         ,
         f x         4  4 
(Ⅱ)求         在闭区间            上的最大值和最小值.
(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小
正周期、单调性等基础知识.            考查基本运算能力.        满分  13 分.
                                æ1         3     ö              3
                                ç                ÷        2
                    f (x)= cos x×ç sin x +   cos x÷- 3 cos x +
                                èç2       2      ø÷            4
(Ⅰ)解:由已知,有

                           1              3          3
                         =   sin x×cos x -  cos2 x +
                           2             2          4

                           1          3              3
                         =   sin 2x -  (1+ cos2x)+
                           4         4               4

                           1          3
                         =   sin 2x -  cos2x
                           4         4
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                           1   æ     pö
                         =   sinç2x - ÷
                               èç     ø÷
                           2         3  .

                           2p
       f (x)           T =    =  p
所以,        的最小正周期           2     .

                         é p    p ù                  é p  p ù
                         ê-  ,-   ú                  ê-  ,  ú
               f (x)     ê  4   12ú                  ê 12  4 ú
(Ⅱ)解:因为            在区间   ë        û上是减函数,在区间         ë      û上是增函数.

  æ  pö     1    æ  p ö    1     æpö   1
 f ç- ÷=  -     f ç-  ÷= -      f ç ÷=
  èç  ø÷         èç   ø÷         èç ø÷
     4      4 ,     12     2 ,    4    4 .

                       é  p p ù            1            1
                       ê-  ,  ú                       -
           f (x)       ê      ú
所以,函数          在闭区间    ë  4 4 û上的最大值为      4 ,最小值为      2 .

(16)(本小题满分        13 分)
某大学志愿者协会有         6 名男同学,4     名女同学.    在这  10 名同学中,3     名同学来自数学学院,
其余   7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.                      现从这    10 名同学中随机选取
3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(Ⅰ)求选出的       3 名同学是来自互不相同学院的概率;

(Ⅱ)设    X  为选出的    3 名同学中女同学的人数,求随机变量               X 的分布列和数学期望.

(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列
与数学期望等基础知识.          考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.                  满分   13 分.
(Ⅰ)解:设“选出的          3 名同学来自互不相同的学院”为事件               A ,则
        C1 ×C 2 + C 0 ×C3 49
 P(A)=   3   7    3  7 =
              C3         60
               10           .

                                           49
所以,选出的      3 名同学来自互不相同学院的概率为              60 .

                           2p
       f (x)           T =    =  p
所以,        的最小正周期           2     .

(Ⅱ)解:随机变量         X 的所有可能值为       0,1,2,3.
           C k ×C3- k
 P(x = k)=   4  6
              C3    (k = 0,1,2,3)
               10               .

所以,随机变量       X 的分布列是
             X          0         1          2          3
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                        1          1          3          1
             P
                        6          2         10         30
                                1     1       3       1   6
                     E(X )= 0´   + 1´   + 2´    + 3´    =
随机变量    X  的数学期望                6     2      10      30   5 .

(17)(本小题满分        13 分)
                                                                   AD  ^ AB
如图,在四棱锥       P - ABCD  中,   PA ^ 底面  ABCD  ,
,  AB //DC , AD  = DC  = AP =  2 , AB = 1 ,点 E 为                   棱 PC 的中

点.

(Ⅰ)证明      BE  ^ DC ;

(Ⅱ)求直线      BE 与平面    PBD 所成角的正弦值;

(Ⅲ)若    F 为棱   PC 上一点,满足      BF ^  AC ,
求二面角    F - AB  - P 的余弦值.

(17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、
                                                        z
直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.                       考查用     P

空间向量解决立体几何问题的方法.                 考查空间想象能力、运                     E

算能力和推理论证能力.          满分  13 分.                               y
(方法一)                                                       D           C

依题意,以点      A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得                                x
                                                      A      B
 B(1,0,0)  C(2,2,0)   D(0,2,0)  P(0,0,2)
        ,          ,          ,          .由 E 为棱
              E(1,1,1)
 PC 的中点,得            .
                                       
                BE = (0,1,1)  DC = (2,0,0)
(Ⅰ)证明:向量                   ,              ,故  BE ×DC  = 0 . 所以,  BE  ^ DC  .
                          
              BD  = (- 1,2,0) PB = (1,0,- 2)
(Ⅱ)解:向量                     ,               .
                                        
                                    ì 
                                    ï n ×BD = 0, ïì - x + 2y = 0,
                                   í       íï
  n =  x, y, z                      ï n ×PB = 0, ï
设     (     ) 为平面  PBD  的法向量,则îï               即îï x - 2z = 0.
                  
        =         n = (2,1,1)
不妨令    y  1 ,可得            为平面   PBD  的一个法向量.于是有
               
         n ×BE       2        3
cos  n, BE =     =        =
              n ×BE      6´  2    3
                                     .
                                              3
    所以,直线     BE 与平面   PBD  所成角的正弦值为         3  .
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                                      
            BC = (1,2,0) CP = (- 2,- 2,2) AC = (2,2,0) AB = (1,0,0)
(Ⅲ)解:向量              ,              ,           ,          .
                  
由点  F 在棱 PC 上,设 CF = l CP , 0 £ l £ 1.
      
  BF = BC + CF = BC + l CP = (1- 2l ,2- 2l ,2l )
故                                       .
              
由 BF ^ AC ,得 BF ×AC = 0 ,

                                 3   æ 1 1 3ö
                             l =    BF = ç- , , ÷
     2(1- 2l )+ 2(2- 2l )= 0             èç     ø÷
因此,                     ,解得      4 .即      2 2 2 .

                                   ïì x = 0,
                              ïì n ×AB = 0, ï
                              ï 1        í 1    1   3
                            í    ï - x + y + z = 0.
  n = x, y, z                 ï n ×BF = 0, ï
设  1 (    )为平面  FAB 的法向量,则îï   1       即îï 2    2   2
              
              n = (0,- 3,1)
不妨令  z = 1,可得  1        为平面  FAB 的一个法向量.
                
                n = 0,1,0
取平面  ABP 的法向量    2 (    ),则
            
      n ×n    - 3     3 10
cos n ,n = 1 2 =   = -
     1 2                    10
           n1 ×n1  10´ 1
                               .
                                     3 10
易知,二面角    F - AB - P 是锐角,所以其余弦值为      10 .
(方法二)
(Ⅰ)证明:如图,取      PD 中点  M ,连接  EM , AM .
                                              1
                                         EM =  DC
由于  E,M 分别为  PC, PD 的中点,    故 EM // DC ,且     2   ,又由已知,可得

EM  // AB 且 EM = AB ,故四边形 ABEM  为平行四边形,所以     BE // AM .

    因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 PA ^ CD ,而 CD ^ DA ,从而 CD ^ 平面  PAD ,因

为 AM Ì 平面  PAD ,于是 CD ^ AM  ,又 BE // AM ,所以 BE ^ CD .

(Ⅱ)解:连接     BM ,由(Ⅰ)有    CD ^ 平面 PAD ,得 CD ^ PD ,而 EM // CD ,故

PD ^ EM .
又因为  AD = AP , M 为 PD 的中点,故   PD ^ AM ,可得  PD ^ BE ,所以 PD ^ 平面
BEM  ,故平面  BEM  ^ 平面 PBD .
所以直线   BE 在平面 PBD 内的射影为直线     BM ,而 BE ^ EM ,可得ÐEBM    为锐角,故
ÐEBM  为直线  BE 与平面  PBD 所成的角.

依题意,有   PD = 2 2 ,而 M 为 PD 中点,可得   AM =   2 ,进而 BE =  2 .
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                                    EM     AB    1                     3
                        tanÐEBM   =     =     =           sinÐEMB  =
故在直角三角形       BEM  中,               BE     BE     2 ,因此                3 .

                                              3
    所以,直线     BE 与平面   PBD  所成角的正弦值为         3  .

                                                                      AC 于点
(Ⅲ)解:如图,在         DPAC  中,过点     F 作 FH  // PA交
 H .

因为  PA  ^ 底面  ABCD  ,故  FH  ^ 底面   ABCD  ,从而                          FH ^  AC .又 BF ^  AC ,

得  AC ^ 平面  FHB  ,因此   AC  ^ BH  .

在底面    ABCD  内,可得    CH  = 3HA,从而    CF  = 3FP .在平面   PDC  内,作   FG // DC 交

 PD 于点  G ,于是   DG  = 3GP  .

由于  DC  // AB ,故  GF // AB ,所以   A, B, F,G 四点共面.

由  AB ^ PA ,  AB ^ AD  ,得  AB ^ 平面  PAD  ,故   AB ^ AG .

所以ÐPAG     为二面角    F - AB - P 的平面角.

                            1        2
                      PG  =   PD =                  
在 DPAG   中,  PA = 2 ,       4       2  ,ÐAPG    = 45 ,

                     10               3  10
              AG  =        cosÐPAG  =
由余弦定理可得              2  ,               10  .

                                  3 10
所以,二面角      F - AB -  P 的斜率值为      10  .
(18)(本小题满分        13 分)
       x2  y2
              1
        2   2                              F , F
设椭圆    a   b     ( a  b  0 )的左、右焦点为       1  2 ,右顶点为    A ,上顶点为     B .已知

        3
 AB  =     F1F2
        2      .

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

                                                             F
(Ⅱ)设    P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段                PB 为直径的圆经过点         1 ,经过原点的直

线 l 与该圆相切.     求直线的斜率.
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(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 
考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.                 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能
力.满分   13 分.
                                                  3
                                          AB  =     F F
                        F         (c,0)              1 2        2   2     2
(Ⅰ)解:设椭圆的右焦点             2 的坐标为        .由        2      ,可得    a + b  = 3c ,

                  c2   1
    2   2    2     2 =
又 b  = a - c  ,则  a    2 .

                       2
                  e =
所以,椭圆的离心率              2 .

                                                        2
   2    2               2   2    2                 e =
  a +  b =   3c ,所以  2a  - c = 3c ,解得    a =  2c ,     2  .

                                                  x2    y2
                     2     2   2    2               2 +  2 = 1
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知          a =  2c , b  = c .故椭圆方程为      2c    c    .
                                                 
   P(x , y )  F (- c,0) B(0,c)     F P = (x + c, y ) F B = (c,c)
设     0  0 .由  1      ,        ,有   1      0     0 ,  1        .
           
          F P×F B = 0     (x + c)c + y c = 0
由已知,有      1    1     ,即    0         0     .又 c ¹ 0 ,故有
 x + y + c = 0
  0   0       .        ①
又因为点    P 在椭圆上,故

   2    2
 x0    y0
   2 +  2 = 1
 2c    c     .         ②

                                                         4c                c
               2                                   x = -              y =
            3x  + 4cx  = 0                          0                  0
由①和②可得        0      0    .而点  P 不是椭圆的顶点,故                3 ,代入①得          3 ,

              æ  4c cö
              ç-    , ÷
              èç      ø÷
即点  P 的坐标为        3 3  .
                               4                   c
                             -  c + 0                + c
                                         2                 2
                        x =    3     = -   c   y = 3     =   c
            T  x , y     1                      1
设圆的圆心为        ( 1 1) ,则         2        3  ,        2     3  ,进而圆的半径

            2         2     5
 r = (x1 - 0) + (y1 - c) =   c
                           3   .

                                         =
设直线   l 的斜率为   k ,依题意,直线       l 的方程为   y   kx .学科网
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                                   æ  2cö   2c
                                  kç-   ÷-
                  kx - y           èç  3 ø÷ 3      5
                    1   1 = r                  =    c
                     2                 2          3
由 l 与圆相切,可得        k  + 1    ,即       k + 1           ,

        2
整理得   k  - 8k + 1= 0 ,解得  k = 4 ±  15 .

所以,直线     l 的斜率为   4 +  15 或 4-   15 .

(19)(本小题满分        14 分)
                                        M = {0,1,2,,q - 1}
已知  q 和 n 均为给定的大于       1 的自然数.设集合                         ,集合

                            n- 1
 A = {x x = x1 + x2q + + xnq  , xi Î M ,i = 1,2,,n}
                                                  .
        q = 2
(Ⅰ)当         ,  n = 3时,用列举法表示集合          A ;

        s,t Î A  s = a + a q + +  a qn- 1 t = b + b q + + b qn- 1
(Ⅱ)设           ,      1   2         n   ,      1   2        n    ,其中

 a ,b Î M    =                  a  < b
  i i    ,  i  1,2,,n . 证明:若    n    n ,则 s < t .
(19)本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前                       n 项和公式,不等式的证明等基
础知识和基本方法.        考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.                   满分  14 分.
            q = 2            M  = {0,1}
(Ⅰ)解:当           ,  n = 3时,            ,
 A = {x x = x + 2x + 4x , x Î M ,i = 1,2,3}
            1     2    3  i             .
       A = {0,1,2,3,4,5,6,7}
可得,                       .

              s,t Î A  s = a + a q + + a qn- 1 t = b + b q + + b qn- 1
(Ⅱ)证明:由              ,     1    2         n   ,     1    2        n    ,

     Î                     <
 ai ,bi M , i = 1,2,,n 及 an bn ,可得

                                             n- 2          n- 1
 s - t = (a1 - b1)+ (a2 - b2 )q + + (an- 1 - bn- 1)q + (an - bn )q

     £ (q - 1)+ (q - 1)q + + (q - 1)qn- 2 - qn- 1
     
       (q - 1)(1- qn- 1)
     =                - qn- 1
            1-  q
     

     = - 1< 0 .

    所以,   s < t .

(20)(本小题满分        14 分)
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

         f (x)= x - aex (a Î R)              y = f (x)          x , x
已知函数                         , x Î R .已知函数            有两个零点      1 2 ,且
 x < x
 1    2 .

(Ⅰ)求    a 的取值范围;学科网


            x2
             x
(Ⅱ)证明        1 随着  a 的减小而增大;
            x + x
(Ⅲ)证明        1   2 随着  a 的减小而增大.
(20)本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和
方法.   考查函数思想、化归思想.           考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.                      满
分  14 分.
             f (x)= x - aex     f ¢(x)= 1- aex
(Ⅰ)解:由                    ,可得                 .
下面分两种情况讨论:

(1)  a £ 0 时

     f ¢(x)> 0                  f (x)
             在  R 上恒成立,可得           在  R 上单调递增,不合题意.

(2)  a > 0 时,

       f ¢(x)= 0
    由          ,得   x = - ln a .

            f ¢ x   f x
当  x 变化时,     ( ),   ( ) 的变化情况如下表:

        x               (- ¥ ,- ln a)  - ln a          (- ln a,+ ¥ )

        f ¢(x)         +               0               -

        f (x)          ↗               - ln a - 1      ↘

       f (x)               (- ¥ ,- ln a)              (- ln a,+ ¥ )
这时,        的单调递增区间是                   ;单调递减区间是                    .

            y = f  x
于是,“函数            ( ) 有两个零点”等价于如下条件同时成立:
    f (- ln a)> 0        s Î (- ¥ ,- ln a)    f (s )< 0
1°             ;2°存在     1              ,满足      1    ;
       s Î (- ln a,+ ¥ )     f (s )< 0
3°存在    2              ,满足      2     .

   f (- ln a)> 0                             - 1             =
由             ,即-   ln a - 1> 0 ,解得  0 < a < e ,而此时,取      s1  0 ,满足
              中国现代教育网   www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                   2    2
                                 =  +
s Î - ¥ ,- ln a  f s = - a < 0 s2     ln      s Î - ln a,+ ¥
 1 (        ),且   ( 1)      ;取     a    a ,满足  2 (        ),且
       æ2  2 ö æ 2   2 ö
       ç   a ÷ ç     a ÷
 f (s2 )= ç - e ÷+ çln - e ÷< 0
       èça  ø÷ èç a   ø÷
                          .
                (0,e- 1)
所以,  a 的取值范围是        .
                                 x
                      x      a =
            f (x)= x - ae = 0     x
(Ⅱ)证明:由                   ,有     e .

        x          1- x
  g x =      g¢ x =
   ( )   x     ( )   x     g x   - ¥ ,1           1,+ ¥
设       e ,由        e  ,知   ( ) 在(   )上单调递增,在(         ) 上单调递

          x Î (- ¥ ,0] g(x)£ 0  x Î (0,+ ¥ ) g(x)> 0
减. 并且,当           时,        ;当           时,        .

       x , x  a = g(x ) a = g(x )    a Î (0,e- 1) g(x)
由已知,    1 2 满足      1 ,      2 .   由         ,及     的单调性,可得
x Î (0,1) x Î (1,+ ¥ )
 1     ,  2       .

                    - 1
            a1,a2 Î (0,e ) a > a g(x )= g(x )= a    0 < x < 1< x
    对于任意的             ,设   1  2 ,  1     2    1 ,其中    1     2 ;
g(h )= g(h )= a     0 < h < 1< h
   1     2    2 ,其中    1      2 .

    g(x) (0,1)             >      g(x )> g(h )    x > h
因为     在     上单调递增,故由     a1 a2 ,即   1     1 ,可得  1   1 ;类似可得

x < h
 2   2 .

              x   h   h
               2 < 2 < 2
    x ,h > 0  x   x   h
又由  1 1   ,得  1   1   1 .

     x2
     x
所以,   1 随着 a 的减小而增大.

            x = aex1 x = aex2   ln x = ln a + x ln x = ln a + x
(Ⅲ)证明:由     1     ,  2     ,可得    1       1 ,   2       2 .
                     x
  x - x = ln x - ln x = ln 2
   2  1     2    1   x
故                     1 .

                 ïì x = tx ,
  x2             ï 2   1           lnt      t lnt
    = t          í              x =     x =
  x              ï x - x = lnt, 1        2
设  1   ,则 t > 1,且îï 2 1     解得     t - 1 ,  t - 1 .所以,
        (t + 1)lnt
x1 + x2 =
         t - 1 .    ①
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                                                        1
                                           - 2ln x + x -
         (x + 1)ln x                h¢(x)=              x
  h(x)=              x Î (1,+ ¥ )              (x - 1)2
令           x - 1  ,            ,则                        .

                                        2
                     1            æx - 1ö
  u  x = - 2ln x + x -     u¢(x)= ç    ÷
    ( )                           èç   ø÷
令                    x ,得            x   .
   x Î (1,+ ¥ )  u¢(x)> 0       u(x)   (1,+ ¥ )
当            时,           .因此,       在        上单调递增,故对于任意的
 x Î (1,+ ¥ ) u(x)> u(1)= 0           h¢(x)> 0    h(x)   (1,+ ¥ )
           ,                ,由此可得             ,故      在         上单调递增.
              x + x
因此,由①可得        1   2 随着  t 的增大而增大.

                                     x + x
而由(Ⅱ),      t 随着 a 的减小而增大,所以          1   2 随着 a 的减小而增大.      学科网
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