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山东省济南市2017届高三数学一模考试试题理

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高中数学审核员

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              山东省济南市           2017 届高三数学一模考试试题 理

    本试卷分第     I 卷和第Ⅱ卷两部分,共         5 页.满分    150 分.考试用时     120 分钟,考试结束后,将

本试卷和答题卡一并交回.    

注意事项:

    1.答题前,考生务必用         0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在

答题卡和试卷规定的位置上.

    2.第  I 卷每小题选出答案后,用          2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.

    3.第Ⅱ卷    必须用   0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶

带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

    4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式:

    如果事件    A,B 互斥,那么     P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件     A,B  独立,那么

P(AB)=P(A)·P(B).


                                  第  I 卷(共  50 分)

一、选择题:本大题共          10 个小题,每小题      5 分,共   50 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符

合题目要求的.

               x  2  
(1)设集合   A  x      0, B  x  4  x 1,则A  B=
               x  3  

(A)[-3,1]    (B)[-4,2]    (C)[-2,1]         (D)(-3,1  ]

(2)若复数   z 满足   3  i z=4i ,其中 i 为 虚数单位,则     z=

(A) 1  3i     (B)  3  i     (C) 3  i       (D)                           1  3i

(3)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在                                              班里开展

了一次诗词默写比赛,班里           40 名学生得分数据的茎叶图如右                                     图.若规

定得分不小于      85 分的学生得到“诗词达人”的称号,小于                 85 分                      且不小于

70 分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好                                              者”的称

号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选                         10 名                     学生,则
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抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为

(A)2           (B)4            (C)5           (D)6

(4)在 ABC中,AC       13, BC 1, B  60o ,则 ABC 的面积为

(A)  3     (B)2            (C) 2  3     (D)3

                          x  2y  0,
                                             y
(5)若变  量 x,y  满足约束条件      x  y  0,  则z        的最小值等于
                                            x  3
                          x  2y  2  0.
                             1
(A) 4     (B)  2     (C)        (D)0
                             8
(6)设 x∈R,  若“   x  a 1a  R”是“   x2  x  2  0 ”的充分不必要条件,则       a 的取值范围是

(A) ,32,         (B) ,32,

(C) 3,2                 (D)[-3,2]

(7)我国古代数学家刘徽在学术研究中,不迷信古人,坚持实事求

是.他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑,为了证实

自己的猜测,他引入了一种新的几何体“牟合方盖”:以正方体相邻的

两个侧面为底做两次内切圆柱切割,然后剔除外部,剩下的内核部

分.如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆,则其俯视图形状为


     1   1
(8 )若      0 ,有四个不等式:①        a3  b3 ;② log  3  log 3;③    b   a   b  a ;④
     a   b                                   a2      b1

a3  b3  2ab2 .则下列组合中全部正确的为

(A)①②      (B)①③           (C)②③       (D)①④

                                 x2  y2
(9)已知  O 为坐标原点,F     是双曲线     C :      1a  0,b  0的左焦点,
                                 a2  b2

A,B 分别为左、右顶点,过点           F 做 x 轴的垂线交双曲线于点         P,Q,连结
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PB 交 y 轴于点  E,连结    AE 交 QF 于点 M,若  M 是线段   QF 的中点,则双曲线        C 的离心率为
                    5                          7
(A) 2          (B)         (C) 3          (D) 
                    2                          2
                    2
                 ax  x, x  0,     1  1 
(1 0)设函数  f  x                当x      ,  时恒有    f x  a  f x  ,则实数    a 的取值范
                   2                                     
                 ax  x, x  0.    2  2

围是

    1  5  1  5                    1  5 
(A)                            (B) 
          ,                      1,      
      2      2                        2   

    1  5                        1  5   1 
(C)                            (D) 
          ,0                           ,  
      2                            2     2 


                                  第Ⅱ卷(共    100 分)

二、填空题:本大题共          5 个小题,每小题      5 分,共   25 分.

                    1    3
(11)函数  f x  2x        的定义域为____________.
                    2   x 1

(12)执行下边的程序框图,当输入的             x 为 2017 时,输出的     y=___________.


              n
(13)已知  1 2x n N * 的展开式中第     3 项与第  8 项的二项式系数相等,则展开式中所有项的

系数和为_____________.

                                          0  x  2                   1
(14)在平面直角坐标系内任取一个点             Px, y满足           ,则点   P 落在曲线    y   与直线
                                          0  y  2                   x

x  2, y  2 围成的阴影区域(如图所示)内的概率为__________.
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(15)如图,正方形      ABCD 的边长为   8,点   E,F 分别在边    AD,BC  上,且   AE=3ED,CF=FB,如   果对于常
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数 m,在正方形     ABCD 的四条边上有且只有         6 个不同的点    P,使得   PEgPF  =m 成立,那么     m 的取值范

围是__________.

三、解答题:本大题共          6 小题,共   75 分.

(16)(本小题满分     12 分)

                            2
                  x      x          2 x
已知函数    f x sin  cos    2 3 cos     3 .
                  2      2           2

(I)求 f x的单调区间;

(II)求 f x在,0   上的值域.

(17)(本小题满分     12 分)


如图,正四棱台       ABCD   A1B1C1D1 的高为  2,下底面中心为       O,上、

下底面边长分别为        2 和 4.


(I)证明:直线     OC1 / / 平面 ADD1 A1 ;


(II)求二面角    B  CC1  O 的余弦值.


(18)(本小题满分     12 分)


已知an是公差不为零的等差数列,              Sn 为其前  n 项和,   S3  9,并且a2   ,a5 ,a14 成等比数列,数列

                    3n1  3
b 的前  n 项和为T            .
  n              n     2


(I)求数列an,bn的通项公式;

           2
          an  8 log3 bn
(Ⅱ)若  cn              ,求数列cn的前      n 项和  M n .
              an1bn


(19)(本小题满分     12 分)

2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南,两种车型采用分段计费的方式,
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Mobike Lite 型(Lite 版)每  30 分钟收费    0.5 元  (不足  30 分钟的部分按      30 分钟计算);Mobike(经

典版)每   30 分钟收费    1 元(不足  30 分钟的部分按      30 分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租
                                                                   3  2 1
车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过                     30 分钟还车的概率分别为           , ,  ,三人租
                                                                   4  3 2
车时间都不会超过        60 分钟.甲、乙均租用       Lite 版单车,丙租用经典版单车.

(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;

(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量                    ,求   的分布列    和数学期望.


(20)(本小题满分     13 分)
               1
已知函数    f x  ax2  a 1x  ln x,其中a  R .
               2
(I)当 a  0 时,讨论函数     f(x)的单调性;

(II)当 a  0 时,设  g x xf x 2 ,是否存在区间m,n       1,使得函数     g x在区间

m,n上的值域为     k m  2,k n  2 ?若存在,求实数  k 的取值范围;若不存在,请说明理

由.


(21)(本小题满分     14 分)

         x2  y2
设椭圆   C :      1a  b  0,定义椭圆的“伴随圆”方程为             x2  y2  a2  b2 ;若抛物线
         a2  b2

                                                            6
x2  4y 的焦点与椭圆     C 的一个短轴端点重合,且椭圆            C 的离心率为        .
                                                           3

(I)求椭圆   C 的方程和“伴随圆”E        的方程;

(II)过“伴随圆”E      上任意一点     P 作椭圆   C 的两条切线    PA,PB,A,B   为切点,延长       PA 与“伴随圆”

E 交于点  Q,O  为坐标原点.   

(i)证明:PA⊥PB;


(ii)若直线   OP,OQ 的斜率存在,设其分别为           k1,k2 ,试判断  k1 k2 是否为定值,若是,求出该值;

若不是,请说明理由.
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