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必修五3.4基本不等式教案

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高中数学审核员

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                                                  a  b
                      3.4  基本不等式:            ab 
                                                    2
                                   第 1 课时
  授课时间:2018     年  6 月 28 日下午第三节
  授课班级:高一(7)
  授课教师:杨胜燕

一、教学目标

   1.知识与技能

     1)掌握基本不等式及其推导,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不

等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

     2)能用基本不等式证明一些简单的不等式.

   2.过程与方法

     经历从实际情境中抽象出基本不等式的过程,提高数学建模的能力;

  3.情感、态度与价值观

     体会数学来源与生活实践,可以解决实际问题,感受数学公式的抽象美.

二、教学重点、难点
                                    a  b
    重点:探究并掌握基本不等式              ab       的推导过程和几何意义;
                                      2
                              a  b
    难点:掌握基本不等式           ab       等号成立条件.
                                2
三、教学方法

    启发式,讲练结合

四、教学过程

   (一)创设情景,导入课题

    如图是在北京召开的第          24 界国际数学家大会的会标,会标是根据

中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风

车,代表中国人民热情好客.              你能在这个图案中找出一些相等关系或

不等关系吗?

    教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.

   (二)师生互动,探究新知
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    1.探究图形中的不等关系

  如图是在北京召开的第          24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的

弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.                                你能在这个图

案中找出一些相等关系或不等关系吗?


    问题  1:在正方形      ABCD 中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为

a,b ,那么正方形的边长为          a2  b2 .

    (1) 则正方形的     ABCD 面积  S=__________________;

    (2)4 个直角三角形的面积的和          S , =________________

    (3) 则正方形的面积       S 与 4 个直角三角形的面积        S , 的大小关系____(用>,<填空)?

    (4)当直角三角形变为等腰直角三角形,即                  a=b 时,则正方形的面积         S 与 4 个直角三

    角形的面积     S , 的大小关系____

     结论  1:重要不等式:如果

 a,b  R,那么a  2  b 2  2ab(当且仅当a    b时取""号)

     (用作差法证明)        a2  b2  2ab


     思考证明:你能给出它的证明吗?

     证明:因为          a 2  b 2  2ab  (a  b) 2

     当 a  b时,当(a时 b)2  0, a  b ,(a  b)2  0,

      所以,   (a  b) 2  0 ,即 a 2  b 2  2ab.
                       a  b
    3.基本不等式        ab      的产生.
                         2
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    问题  2. 

    特别的,如果      a>0,b>0,对于  a 2  b 2  2ab ,我们分别用    a 、   b 代替  a、b ,可得

     一个什么的不等式?__________________;

      结论  2:基本不等式:____________________________________;

      正数  a,b  的算术平均数__________________;

     正数  a,b  的几何平均数__________________;
                               a  b
     通常我们把上式写作:           ab       (a>0,b>0)
                                 2
                                  1
        随堂练习    1:已知   x  0,求x   最小值    (目的是巩固所学公式)
                                  x

                   a  b
4. 基本不等式       ab      的几何意义
                     2
探究:在右图中,AB        是圆的直径,点       C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b.过点       C 作垂直于

AB 的弦  DE,连接   AD、BD.           你能利用这个图形得出基本不等式
       a  b
  ab       的几何解释吗?
        2
    师生共同讨论:

    易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB                即CD=     ab .
                  a  b                          a  b
    这个圆的半径为            ,显然,它大于或等于          CD,即          ab ,
                    2                              2
其中当且仅当点       C 与圆心重合,即       a=b 时,等号成立.
                           a  b
     因此:基本不等式         ab       几何意义是“半径不小于半弦”
                             2
   (三)概念辨析,应用举例

例  1:已知a,b,c    R,求证:a2       b2  c2  ab  ac  bc


 随堂练习    1:已知a,b,c     R,求证:a4     b4  c4  a2b2  a2c2  b2c2  
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例  2:当  x>0,y>0,(1)当    x+y 为定值   p,求 xy 的最大值; 

     (2)当   xy 为定值   s,求 x+y 的最小值
                                 1
 随堂练习 2.(1)已知        x>0,求  2x   的最小值     ;
                                 x
                                     1
                  (2)已知    x  0,求x   最值   ; 
                                     x


例  3:已知   x, y  R ,且x  y 1,求xy的最值


                                1
探究巩固 与复习求函数          f (x)  x    (x  1)的最值          
                               x 1
      

(四)小结

     1. 两个基本不等式的推导及意义

         1)a2+b2≥2ab;
            a  b
         2)      ≥   ab (均值不等式)
              2
        (3)在使用均值不等式时成立的条件(一正二定三相等)

     2. 利用基本不等式证明一些简单的不等式.

(五)作业

     P100 习题  3.4 A 组 1,2

(6)课后反思
    本节课我采用从生活中创设问题情境的方法激发学生学习兴趣,采用类比等式性质的
方法,引导学生自主探究,教给学生类比,猜想,验证的问题研究方法,培养学生善于思
考,观察的学习习惯。从总体来看,本节课已达到预期的效果,但也存在诸多的不足。比
如老师对学生的学情不了解,课堂提问环节出现问而不答,在则导学案又未能提前下发,
从而造成学生没有足够的时间去分析问题,解决问题。学生在使用基本不等式时忽略成立
的条件(一正二定三相等。
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