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山西省大同一2016-2017学年高一(下)5月月考数学试卷(解析版)

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            2016-2017   学年山西省大同一高一(下)5                    月月考数学试卷
  

 一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共   60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一
项符合题目要求.

 1.已知集合     M={x|(x﹣1)=0},那么(  )

 A.0∈M     B.1∉M     C.﹣1∈M     D.0∉M

 2.已知向量      =(1,2),     =(x,﹣4),若     ∥   ,则   • 等于(  )

 A.﹣10  B.﹣6   C.0    D.6

 3.若  tanα>0,则(  )
 A.sinα>0  B.cosα>0   C.sin2α>0     D.cos2α>0

 4.不等式       ≥2  的解集为(  )

 A.[﹣1,0)     B.[﹣1,+∞)     C.(﹣∞,﹣1]     D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)

 5.已知函数     f(x)=             ,则  f[f(﹣   )]=(  )

 A.cos     B.﹣cos     C.     D.±


 6.设函数                       ,则下列结论错误的是(  )

 A.D(x)的值域为{0,1}         B.D(x)是偶函数
 C.D(x)不是周期函数            D.D(x)不是单调函数

 7.函数                      的值域是(  )

 A.[﹣1,2]  B.[﹣2,2]  C.[﹣1,3]   D.[0,4]

 8.已知   ω>0,函数     f(x)=sin(ωx+     )在(     ,π)上单调递减,则实数            ω 的取值范围是(  
 )

 A.[  ,   ]B.[   ,  ]C.(0,     ]    D.(0,2]

 9.已知   sin(α 一 β)=   ,cos(α+β)=﹣    ,且  α﹣β∈(    ,π),α+β∈(       ,π),则     cos2β 的值为
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 (  )

 A.1    B.﹣1   C.     D.﹣

 10.已知函数     f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中        a>b),若    f(x)的图象如图所示,则函数             g(x)

 =ax+b 的图象大致为(  )


 A.               B.                C.                   D.

 11.已知函数     f(x)是定义在[﹣3,0)∪(0,3]上的奇函数,当                 x∈(0,3]时,f(x)的图象如图

所示,那么满足不等式           f(x)≥2x﹣1  的取值范围是(  )


 A.[﹣2,1]  B.[﹣3,﹣2]∪(0,3]      C.[﹣2,0]∪(1,4]       D.[﹣3,0]∪[2,5]

 12.已知不等式      m2+(cos2θ﹣5)m+4sin2θ≥0  恒成立,则实数        m 的取值范围是(  )

 A.0≤m≤4      B.1≤m≤4       C.m≥4    或 m≤0    D.m≥1   或  m≤0
  

 二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分.
 13.已知锐角△ABC      的面积为     3  ,BC=4,CA=3,则角      C 的大小为           °.

 14.数列{an}是等差数列,若          a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为      q 的等比数列,则       q=      .

                                    2
 15.已知等比数列{an}为递增数列,且              a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式        an=      
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 .


 16.已知正数数列{an}的前         n 项和为   Sn,                     ,设   c 为实数,对任意的三个成等

差数列的不等的正整数           m,k,n,不等式       Sm+Sn>cSk 恒成立,则实数       c 的取值范围是           .
  

 三、解答题:本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

 17.设全集是实数集        R,A={x|2x2﹣7x+3≤0},B={x|x+a<0}.

 (1)当   a=﹣2 时,求  A∩B;

 (2)若   A∩B=A,求实数      a 的取值范围.

 18.设  f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+     ).

 (Ⅰ)求    f(x)的单调区间;

 (Ⅱ)在锐角△ABC       中,角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若    f(    )=0,a=1,求△ABC      面积的
最大值.

 19.已知向量       =(sinθ,1),      =(1,cosθ),﹣        <θ<       .

 (Ⅰ)若             ,求  θ;
 (Ⅱ)求             |的最大值.

 20.已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为                   8.

 (1)求等差数列{an}的通项公式;

 (2)若   a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前           n 项和.
 21.某小区想利用一矩形空地            ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中
阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中                          AD=60m,AB=40m,且△EFG       中,

∠EGF=90°,经测量得到        AE=10m,EF=20m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个

保护栏.设计时经过点           G 作一直线交     AB,DF  于  M,N,从而得到五边形          MBCDN  的市民健身广场,
设  DN=x(m)
 (1)将五边形      MBCDN  的面积   y 表示为   x 的函数;
 (2)当   x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
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                                                    *
22.已知数列{an}满足       an+2=qan(q 为实数,且    q≠1),n∈N     ,a1=1,a2=2,且    a2+a3,a3+a4,

a4+a5 成等差数列

(1)求   q 的值和{an}的通项公式;


                               *
(2)设   bn=               ,n∈N   ,求数列{bn}的前      n 项和.
 
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        2016-2017    学年山西省大同一高一(下)5                         月月考数学试卷

                                      参考答案与试题解析

  

 一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共   60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一
项符合题目要求.

 1.已知集合     M={x|(x﹣1)=0},那么(  )

 A.0∈M     B.1∉M     C.﹣1∈M     D.0∉M

 【考点】12:元素与集合关系的判断.
 【分析】化简      M,即可得出结论.

 【解答】解:集合        M={x|(x﹣1)=0}={1},∴0∉M,

 故选  D.
  

 2.已知向量       =(1,2),      =(x,﹣4),若       ∥   ,则     •  等于(  )

 A.﹣10  B.﹣6   C.0    D.6

 【考点】9R:平面向量数量积的运算.

 【分析】根据        ∥   ,可得﹣4﹣2x=0,解得      x=﹣2,则   •   =x﹣8,运算求得结果.

 【解答】解:∵向量           =(1,2),      =(x,﹣4),      ∥   ,∴﹣4﹣2x=0,∴x=﹣2.

 则   •  =x﹣8=﹣2﹣8=﹣10,

 故选    A.
  

 3.若  tanα>0,则(  )
 A.sinα>0  B.cosα>0   C.sin2α>0     D.cos2α>0
 【考点】GC:三角函数值的符号.
 【分析】化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.

 【解答】解:∵tanα>0,

 ∴                  ,
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则 sin2α=2sinαcosα>0.
故选:C.
 

4.不等式           ≥2 的解集为(  )

A.[﹣1,0)     B.[﹣1,+∞)     C.(﹣∞,﹣1]     D.(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞)

【考点】7E:其他不等式的解法.
【分析】本题为基本的分式不等式,利用穿根法解决即可,也可用特值法.

【解答】解:                    

⇔                  ⇔                 ⇔               ⇔﹣1≤x<0

故选  A
 


5.已知函数     f(x)=                        ,则   f[f(﹣     )]=(  )

A.cos     B.﹣cos     C.        D.±

【考点】3T:函数的值.

【分析】由已知得        f(﹣     )=cos(﹣      )=cos      =   ,从而    f[f(﹣     )]=f(    ),由此

能求出结果.

【解答】解:∵函数         f(x)=                        ,

∴f(﹣      )=cos(﹣      )=cos      =   ,

f[f(﹣    )]=f(     )=       =     .

故选:C.
 


6.设函数                                           ,则下列结论错误的是(  )
                        中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
A.D(x)的值域为{0,1}         B.D(x)是偶函数
C.D(x)不是周期函数            D.D(x)不是单调函数
【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】由函数值域的定义易知              A 结论正确;由函数单调性定义,易知                D 结论正确;由偶函数定义
可证明   B 结论正确;由函数周期性定义可判断                C 结论错误,故选       D
【解答】解:A      显然正确;

∵                                          =D(x),

∴D(x)是偶函数,

B 正确;

∵D(x+1)=                                =D(x),

∴T=1 为其一个周期,

故 C 错误;

∵D(       )=0,D(2)=1,D(           )=0,

显然函数    D(x)不是单调函数,
故 D 正确;
故选:C.
 

7.函数                                          的值域是(  )

A.[﹣1,2]  B.[﹣2,2]  C.[﹣1,3]   D.[0,4]

【考点】HW:三角函数的最值.
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,结合正弦函数的值域求得原函数的值域.

【解答】解:函数                                               =     sin2x+cos2x=2sin(2x+    ),


故该函数的值域为[﹣2,2],

故选:B.
 
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8.已知   ω>0,函数     f(x)=sin(ωx+       )在(        ,π)上单调递减,则实数            ω 的取值范围是
(  )

A.[    ,    ] B.[    ,    ] C.(0,      ]  D.(0,2]
【考点】H5:正弦函数的单调性.


【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得                                                  ,由此求得实数
ω 的取值范围.

【解答】解:∵ω>0,函数           f(x)=sin(ωx+        )在(        ,π)上单调递减,则


                               ,

求得     ≤ω≤     ,
故选:A.
 

9.已知   sin(α 一 β)=     ,cos(α+β)=﹣     ,且   α﹣β∈(      ,π),α+β∈(         ,π),则

cos2β 的值为(  )

A.1    B.﹣1   C.        D.﹣

【考点】GP:两角和与差的余弦函数.

【分析】由已知求出         cos(α﹣β),sin(α+β)的值,再由         cos2β=cos[(α+β)﹣(α﹣β)],展开两角差
的余弦求解.

【解答】解:由       sin(α﹣β)=    ,cos(α+β)=﹣     ,且   α﹣β∈(      ,π),α+β∈(          ,π),

得 cos(α﹣β)=                                                               ,sin(α+β)=

                                                         ,

∴cos2β=cos[(α+β)﹣(α﹣β)]=cos(α+β)cos(α﹣β)+sin(α+β)sin(α﹣β)
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 =(﹣   )×(﹣      )+            =     .

 故选:C.
  

 10.已知函数     f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中        a>b),若    f(x)的图象如图所示,则函数             g(x)

 =ax+b 的图象大致为(  )


 A.                             B.                              C.


                  D.
 【考点】4A:指数函数的图象变换;53:函数的零点与方程根的关系.

 【分析】根据题意,易得(x﹣a)(x﹣b)=0              的两根为    a、b,又由函数零点与方程的根的关系,可得

 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零点就是         a、b,观察     f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象,可得其与            x 轴的两个交

点分别在区间(﹣∞,﹣1)与(0,1)上,又由                  a>b,可得    b<﹣1,0<a<1;根据函数图象变化的规

律可得    g(x)=aX+b  的单调性即与       y 轴交点的位置,分析选项可得答案.

 【解答】解:由二次方程的解法易得(x﹣a)(x﹣b)=0                   的两根为    a、b;

 根据函数零点与方程的根的关系,可得                 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零点就是          a、b,即函数图象与        x 轴
 交点的横坐标;

 观察  f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象,可得其与             x 轴的两个交点分别在区间(﹣∞,﹣1)与(0,1)上,
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 又由  a>b,可得     b<﹣1,0<a<1;

 在函数   g(x)=ax+b  可得,由    0<a<1   可得其是减函数,

 又由  b<﹣1 可得其与    y 轴交点的坐标在       x 轴的下方;

 分析选项可得      A 符合这两点,BCD       均不满足;
 故选  A.
  

 11.已知函数     f(x)是定义在[﹣3,0)∪(0,3]上的奇函数,当                 x∈(0,3]时,f(x)的图象如图

所示,那么满足不等式           f(x)≥2x﹣1  的取值范围是(  )


 A.[﹣2,1]  B.[﹣3,﹣2]∪(0,3]      C.[﹣2,0]∪(1,4]       D.[﹣3,0]∪[2,5]

 【考点】3L:函数奇偶性的性质.

 【分析】由图象可知,当           x∈(0,3]时,f(x)单调递减,当            x∈[﹣3,0)时,f(x)单调递减,分别

 利用函数的图象,结合不等式             f(x)≥2x﹣1,即可得出结论.

 【解答】解:由图象可知,x=0            时,2x﹣1=0,∴f(x)≥0,成立;

 当 x∈(0,3]时,f(x)单调递减,

 当 0<x≤1  时,f(x)>1,2x﹣1≤1,满足不等式            f(x)≥2x﹣1;

 当 1<x<3  时,f(x)<1,1<2x﹣1<7,不满足不等式              f(x)≥2x﹣1; 

 ∵函数   f(x)  是定义在[﹣3,0)∪(0,3]上的奇函数,

 ∴当  x∈[﹣3,0)时,f(x)单调递减,

 当﹣3<x≤﹣2  时,﹣    ≤f(x)<0,﹣       <2x﹣1≤﹣    ,满足不等式      f(x)≥2x﹣1;
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当 x>﹣2 时,f(x)<﹣       ,2x﹣1>﹣   ,不满足不等式        f(x)≥2x﹣1; 

∴满足不等式      f(x)≥2x﹣1  的  x 的取值范围是[﹣3,﹣2]∪[0,1],

故选:B.
 

12.已知不等式      m2+(cos2θ﹣5)m+4sin2θ≥0  恒成立,则实数        m 的取值范围是(  )

A.0≤m≤4      B.1≤m≤4       C.m≥4    或 m≤0    D.m≥1   或  m≤0
【考点】3R:函数恒成立问题.
【分析】先利用三角函数公式将抽象不等式变为三角不等式,再由三角函数的有界性结合一次函数

的性质求参数      m 的范围,即可选出正确选项.

【解答】解:∵m2+(cos2θ﹣5)m+4sin2θ≥0,

∴m2+(cos2θ﹣5)m+4(1﹣cos2θ)≥0;

∴cos2θ(m﹣4)+m2﹣5m+4≥0    恒成立


⇔不等式                                          恒成立

⇔m≤0   或 m≥4,

故选  C.
 

二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共   20 分.
13.已知锐角△ABC      的面积为     3     ,BC=4,CA=3,则角      C 的大小为     60 °.
【考点】HP:正弦定理.

【分析】根据三角形的面积公式              S=   absinC,由锐角△ABC     的面积为     3     ,BC=4,CA=3,代入
面积公式即可求出        sinC 的值,然后根据      C 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出                   C 的大小.

【解答】解:由题知,             ×4×3×sinC=3       ,

∴sinC=      .
又∵0<C<90°,

∴C=60°.
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故答案为    60°.
 

14.数列{an}是等差数列,若          a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为      q 的等比数列,则       q= 1 .
【考点】88:等比数列的通项公式.

【分析】设出等差数列的公差,由               a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为      q 的等比数列列式求出公差,则由

              化简得答案.

【解答】解:设等差数列{an}的公差为               d,

由 a1+1,a3+3,a5+5 构成等比数列,

得:                                              ,

整理得:                                                   ,


即                                                                +5a1+a1+4d.

化简得:(d+1)2=0,即        d=﹣1.

∴q=                                                         =               .
故答案为:1.
 

                                   2                                                 n
15.已知等比数列{an}为递增数列,且              a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式        an= 2   
.

【考点】8H:数列递推式.


【分析】通过                   ,求出等比数列的首项与公比的关系,通过                   2(an+an+2)=5an+1 求出公
比,推出数列的通项公式即可.

【解答】解:∵                    ,∴                              ,

∴a1=q,

∴            ,

∵2(an+an+2)=5an+1,

∴                                  ,
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 ∴2(1+q2)=5q,


 解得  q=2 或 q=   (等比数列{an}为递增数列,舍去)

 ∴            .

 故答案为:2n.
  


 16.已知正数数列{an}的前         n 项和为   Sn,                     ,设   c 为实数,对任意的三个成等

差数列的不等的正整数           m,k,n,不等式       Sm+Sn>cSk 恒成立,则实数       c 的取值范围是 (﹣∞,2] 
 .

 【考点】8H:数列递推式.

 【分析】                        ,可得    n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1=         ﹣1,化为:

                                                     2
        ﹣         =1.利用等差数列的通项公式可得               Sn=n .设  c 为实数,对任意的三个成等差数

                                                                     2        2
 列的不等的正整数        m,k,n,不等式       Sm+Sn>cSk 恒成立,则     2k=m+n,(m+1)     +(n+1)  >
 c(k+1)2,再利用基本不等式的性质即可得出.


 【解答】解:∵                           ,∴n≥2    时,Sn﹣Sn﹣1=         ﹣1,化为:

           =Sn﹣1>0,解得         ﹣          =1.

 n=1 时,                 ﹣1,解得   a1=1=S1.

 ∴数列               是等差数列,公差为         1.

 ∴        =1+(n﹣1)=n.

      2
 ∴Sn=n .

 设 c 为实数,对任意的三个成等差数列的不等的正整数                      m,k,n,不等式       Sm+Sn>cSk 恒成立,
 则 2k=m+n,(m+1)2+(n+1)2>c(k+1)2,

 ∵2[(m+1)2+(n+1)2]≥(m+1+n+1)2=(2k+2)2=4(k+1)2.

 ∴(m+1)2+(n+1)2≥2(k+1)2,
 则实数   c 的取值范围是      c≤2.

 故答案为:(﹣∞,2].
  
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 三、解答题:本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

 17.设全集是实数集        R,A={x|2x2﹣7x+3≤0},B={x|x+a<0}.

 (1)当   a=﹣2 时,求  A∩B;

 (2)若   A∩B=A,求实数      a 的取值范围.
 【考点】1E:交集及其运算.

 【分析】(1)解不等式求出            A,a=﹣2 时化简集合      B,根据交集的定义写出          A∩B;

 (2)根据    A∩B=A  得 A⊆B,根据子集的定义写出实数              a 的取值范围.

 【解答】解:(1)A={x|2x2﹣7x+3≤0}={x|          ≤x≤3},

 当 a=﹣2 时,B={x|x﹣2<0}={x|x<2},

 ∴A∩B={x|     ≤x<2};
 (2)∵A∩B=A,∴A⊆B,

 又 B={x|x+a<0}={x|x<﹣a},

 ∴﹣a>3,

 解得  a<﹣3,

 即实数   a 的取值范围是      a<﹣3.
  

 18.设  f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+     ).

 (Ⅰ)求    f(x)的单调区间;

 (Ⅱ)在锐角△ABC       中,角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若    f(    )=0,a=1,求△ABC      面积的
最大值.

 【考点】H5:正弦函数的单调性;GQ:两角和与差的正弦函数;HR:余弦定理.

 【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得                       f(x)=sin2x﹣   ,由   2k           ≤2x≤2k

            ,k∈Z  可解得   f(x)的单调递增区间,由           2k            ≤2x≤2k               ,
 k∈Z 可解得单调递减区间.
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(Ⅱ)由    f(    )=sinA﹣   =0,可得   sinA,cosA,由余弦定理可得:bc                       ,且当

b=c 时等号成立,从而可求            bcsinA≤           ,从而得解.

【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=                   sin2x﹣

=   sin2x﹣

=sin2x﹣

由 2k            ≤2x≤2k             ,k∈Z  可解得:k               ≤x≤k              ,k∈Z;

由 2k            ≤2x≤2k               ,k∈Z  可解得:k               ≤x≤k                ,
k∈Z;

所以  f(x)的单调递增区间是[k                     ,k             ],(k∈Z);单调递减区间是:[k

           ,k               ],(k∈Z);

(Ⅱ)由    f(    )=sinA﹣   =0,可得   sinA=   ,

由题意知    A 为锐角,所以      cosA=      ,

由余弦定理     a2=b2+c2﹣2bccosA,

可得:1+       bc=b2+c2≥2bc,即   bc             ,且当    b=c 时等号成立.

因此  S=   bcsinA≤           ,

所以△ABC   面积的最大值为                 .
 

19.已知向量       =(sinθ,1),      =(1,cosθ),﹣        <θ<       .

(Ⅰ)若             ,求  θ;
(Ⅱ)求             |的最大值.

【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系;9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】(I)根据两个向量垂直的性质可得                   sinθ+cosθ=0,由此解得     tanθ 的值,从而得出      θ.
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(II)利用向量的模的定义化简                     |,再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出

         |的最大值.

【解答】解:(I).                ,⇒    •  =0⇒sinθ+cosθ=0                  ,


=


=

当                       =1 时             有最大值,此时                  ,最大值为
                          .

 

20.已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为                   8.

(1)求等差数列{an}的通项公式;

(2)若   a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前           n 项和.
【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式;8G:等比数列的性质.


【分析】(I)设等差数列的公差为               d,由题意可得,                                              ,

解方程可求     a1,d,进而可求通项

(II)由(I)的通项可求满足条件             a2,a3,a1 成等比的通项为       an=3n﹣7,则|an|=|3n﹣7|=

                            ,根据等差数列的求和公式可求

【解答】解:(I)设等差数列的公差为                 d,则  a2=a1+d,a3=a1+2d

由题意可得,

解得             或

由等差数列的通项公式可得,an=2﹣3(n﹣1)=﹣3n+5             或  an=﹣4+3(n﹣1)=3n﹣7
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 (II)当  an=﹣3n+5 时,a2,a3,a1  分别为﹣1,﹣4,2    不成等比

 当 an=3n﹣7 时,a2,a3,a1  分别为﹣1,2,﹣4    成等比数列,满足条件


 故|an|=|3n﹣7|=

 设数列{|an|}的前     n 项和为   Sn

 当 n=1 时,S1=4,当    n=2 时,S2=5

 当 n≥3  时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+(3×3﹣7)+(3×4﹣7)+…+(3n﹣7)

 =5+                               =                      ,当   n=2 时,满足此式


 综上可得
  

 21.某小区想利用一矩形空地            ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中
阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中                          AD=60m,AB=40m,且△EFG       中,

∠EGF=90°,经测量得到        AE=10m,EF=20m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个

保护栏.设计时经过点           G 作一直线交     AB,DF  于  M,N,从而得到五边形          MBCDN  的市民健身广场,
设  DN=x(m)
 (1)将五边形      MBCDN  的面积   y 表示为   x 的函数;
 (2)当   x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.


 【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.

 【分析】(1)作       GH⊥EF,垂足为      H,过   M 作 MT∥BC   交 CD 于  T,求出                        ,

可得   SMBCDW=SMBCT+SMTDN=                                              ,从而可得五边形
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MBCDN 的面积    y 表示为   x 的函数;
(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值.
【解答】解:(1)作         GH⊥EF,垂足为      H,

因为  DN=x,所以    NH=40﹣x,NA=60﹣x,

因为              ,

所以                      ,所以                         …
过 M 作  MT∥BC  交  CD 于 T,


则 SMBCDN=SMBCT+SMTDN=                                              ,

所以                                                                                 =

                            …

由于  N 与 F 重合时,AM=AF=30     适合条件,故       x∈(0,30],…

(2)                                                                                  ,

…

所以当且仅当                         ,即   x=20∈(0,30]时,y    取得最大值      2000,…
所以当   DN=20m  时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为                     2000m2.…


 

                                                    *
22.已知数列{an}满足       an+2=qan(q 为实数,且    q≠1),n∈N     ,a1=1,a2=2,且    a2+a3,a3+a4,

a4+a5 成等差数列

(1)求   q 的值和{an}的通项公式;


                               *
(2)设   bn=               ,n∈N   ,求数列{bn}的前      n 项和.
【考点】8E:数列的求和.
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【分析】(1)通过        an+2=qan、a1、a2,可得   a3、a5、a4,利用     a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列,计算
即可;


                                 *
(2)通过(1)知       bn=        ,n∈N   ,写出数列{bn}的前       n 项和  Tn、2Tn 的表达式,利用错位相减
法及等比数列的求和公式,计算即可.

                                                   *
【解答】解:(1)∵an+2=qan(q         为实数,且     q≠1),n∈N     ,a1=1,a2=2,

           2
∴a3=q,a5=q  ,a4=2q,

又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5  成等差数列,

∴2×3q=2+3q+q2,

即 q2﹣3q+2=0,

解得  q=2 或 q=1(舍),


∴an=                                ;


                                                               *
(2)由(1)知      bn=               =               =         ,n∈N  ,

记数列{bn}的前     n 项和为   Tn,


则 Tn=1+2•   +3•     +4•      +…+(n﹣1)•          +n•         ,


∴2Tn=2+2+3•   +4•      +5•     +…+(n﹣1)•           +n•        ,


两式相减,得      Tn=3+   +     +      +…+         ﹣n•


=3+                          ﹣n•

=3+1﹣        ﹣n•

=4﹣        .
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2017   年  8 月   7 日
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